导数专题复习

1、导数专题复习(配详细答案)体型一：关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结 合思想”，创建不等关系求出取值范围。注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立;1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令f'(x) 0得到两个根;第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

2、2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0 )第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数) -(已知谁的范围就把谁作为主元 )；例1：设函数y f(x)在区间D上的导数为f (x), f (x)在区间D上的导数为g(x),若在区间D上,43 c 2xmx3xg(x) 0恒成立，则称函数yf(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，f(x) 1262(1)若y f (x)在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围;(2)若对满足 m 2的任何一个实数 m,函数f(x)在区间a,b上都为“凸函数”，求b a的最大值.43c

3、 232xmx3x/口一、xmx八解：由函数f (x) 得f (x) 3x1262322g (x) x mx 3则 g(x) x2 mx 3 0在区间0,3上恒成立g(0) 0g(3) 0解法一：从 二次函数的区间最值 入手：等价于gmax(x) 03 0m 29 3m 3 0解法二：分离变量法：当 x 0 时， g(x) x2 mx 33 0 恒成立，当0 x 3时，g (x) x2 mx 3 0恒成立一.一 x2 33等价于m x 一的最大值(0 x 3)恒成立,x x+3 一而 h(x) x (0 x 3)是增函数，则 hmax(x) h(3) 2 xm 2(2) 当m2时f (x)在区

4、间a,b上都为“凸函数”则等价于当m2时g(x) x2 mx 3 0恒成立变更主元法再等价于F(m) mx x2 3 0在m2恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)F( 2) 0F(2) 02x x 3 021 x 12x x 3 0例 2：设函数 f (x)1 x3 2ax2 3a2x b(0 a 1,b R)3(I)求函数f (x)的单调区间和极值；(n)若对任意的 x a 1,a 2,不等式f (x) a恒成立，求a的取值范围(二次函数区间最值的例子)2.- 2_斛：(I) f (x) x 4ax 3a x 3a x a令f (x)0,得f (x)的单调递增区间为(a,3a)令f (x)

5、 0,得f (x)的单调递减区间为(一 ，a)和(3a, + )3 3，当x=a时，f (x)极小值= -a b； 当x=3a时，f (x)极大值=a4(n)由 | f (x)|wa,得：对任意的 x a 1,a 2, a x2 4ax 3a2 a恒成立则等价于g(x)这个二次函数 gmax(x) a g(x) x2 4ax 3a2的对称轴x gmin(x) aQ 0 a 1, a 1 a a 2a (放缩法)2ag(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。即定义域在对称轴的右边,g(a 2)4a 4 a,解得 4g(a 1)2a 1a 5g(x) x2 4ax 3a2在a 1,a

6、2上是增函数.g(x)maxg(a 2)2a 1.g(x)min g(a 1)4a 4.于是，对任意x a 1,a 2,不等式恒成立，等价于a 1.点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：f(x) g(x)恒成立 h(x) f(x) g(x) 0恒成立；从而转化为 第一、二种题型例3；已知函数f(x) x3 ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为3,3 t 6 2 g(x) x x (t 1)x 3 (t 0)2(i)求a, b的值；(n)当x 1,4时，求f(x)的值域;(出)当x 1,4时，不等式f(x) g(x)恒成立，求实

7、数t的取值范围。解：(I) f/(x) 3x2 2ax .(n)由(I)知， f(x)在又 f( 1)4, f(0) 0, f(2) f(x)的值域是4,16(出)令 h(x) f (x) g(x)f/(1)3-a3,解得b 1 ab21,0上单调递增，在0,2上单调递减，在2,4上单调递减4, f (4) 16-x2 (t 1)x 3 x 1,422x) 2x 6分离变量思路1：要使f(x) g(x)恒成立，只需h(x) 0,即t(x2思路2:二次函数区间最值二、参数问题题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为f (x) 0或f (x) 0在给定区间上恒成立，回归基础题

8、型解法2：利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是( a,b )”，要弄清楚两句话的区别:前者是后者的子集例4：已知a R,函数f (x)1 3一 x 12(4a 1)x .(I )如果函数 g(x) f (x)是偶函数，求f (x)的极大值和极小值;(n)如果函数 f (x)是()上的单调函数，求a的取值范围.1 2斛：f (x) x (a 1)x (4a 1). 4 11c(1) f (x)是偶函数， a 1. 此时 f (x) 一 x3 3x, f (x) -x2 3,

9、124令 f (x) 0,解得：x 23.列表如下:x(°°,一243)-273(一273,2 V3)2 33(2 J3，+ 00)f (x)+0一0+f(x)递增极大值递减极小值递增可知：f (x)的极大值为f ( 2J3) 4J3 ,f(x)的极小值为f (2J3)4<3 .(n) .函数f (x)是(，)上的单调函数，1 2f (x) -x2 (a 1)x (4a 1) 0,在给定区间R上恒成立判别式法41则 (a 1)2 4 (4 a 1) a2 2a 0,解得：0 a 2.4综上，a的取值范围是a0 a 2.1312例 5、已知函数 f (x) -x (2

10、a)x (1 a)x(a 0). 32(I)求f (x)的单调区间；(II )若f (x)在0 ,1上单调递增，求a的取值范围。子集思想，.、一2(I) f (x) x (2 a)x 1 a (x 1)(x 1 a).1 、当a 0时，f (x) (x 1)2 0恒成立，当且仅当x 1时取“=”号，"*)在(，)单调递增。2 、当 a 0时，由 f (x) 0,得x11,x2a 1,且 x1 x2,单调增区间：(，1),(a 1,)f (X)/_ 单调增区间：(1,a 1)(II )当Q f(x)在0,1上单调递增, 则0,1是上述增区间的子a-1集:1、a 0时，“刈在()单调递增

11、符合题意2、 0,1 a 1,综上，a的取值范围是01。0三、题型二：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点= 即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组)；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式(组)即可；1 . (k 1) o1例6、已知函数f (x) -x x , g(x) 一 kx ,且f (x)在区间(2,)上为增函数.323(1) 求实数k的取值范围；(2) 若函数f (x)与g(x)的图象有三个不同

12、的交点，求实数k的取值范围.解：(1)由题意f (x) x2 (k 1)x f(x)在区间(2,)上为增函数， f (x) x2 (k 1)x 0在区间(2,)上恒成立(分离变量法)即k 1 x恒成立，又x 2, . k 1 2,故k 1，k的取值范围为k 1(2)设 h(x) f (x) g(x) x x2kx 1,3232h (x) x (k 1)x k (x k)(x 1)令h (x) 0得x k或x 1由(1)知k 1 ,当k 1时，h (x) (x 1)2 0, h(x)在R上递增，显然不合题意当k 1时，h(x), h (x)随x的变化情况如下表：x(,k)k(k,1)1(1,)h

13、 (x)0一0h(x)极大值,3. 2.kk1623极小值k 12欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,即方程h(x) 0有三个不同的实根，故由于k20,即(k 1)(k2 2k 2)k 10 2k2 2k综上，所求k的取值范围为k 1 <3根的个数知道，部分根可求或已知。例7、已知函数(1)若是的极值点且的图像过原点，求的极值;(2)若，在(1)的条件下，是否存在实数,使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由。解：(1) :的图像过原点，则f(0) 0-2f (x) 3axx 2,又丁是的极值点，则f ( 1)3a 1 2f (x

14、)3x2(3x2)(x 1)f极大值(x) f (1)f极小值(x)吗)22(2)设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点,等价于f(x) g(x)有含x 1的三个根，即:f( 1)g(1) d12(b 1)312Q1,2x-x2x-bx221o即：x (b 1)x x2(计算难点来了： )h(x)1x (b21 (b 1)231x 一(b21)整理得:0恒有含x1)x2 x则h(x)必可分解为(x 1)(二次式)1的三个不等实根1一(b 1) 0 有含 x20 ,故用添项配凑法因式分解,1的根,1)x2 x 1 (b2十字相乘法分解:12(b 1)x2等价于21x (b 1)x212(

15、b 1)2 442 11)2 (b 1)x2(x2/x (x12(b12(b2(b2(bx2(x1)(x1)1)1)1)题2:切线的条数问题=以切点例7、已知函数f (x) ax3为(1,3),求：(1)值范围.(1)由题意得:11)2(b11) - (b21(b 1)x22_1)x2 2x (b(b 1) x 11)1)2111) x2(b 1)x 2(b 1)0恒有含x1的三个不等实根0有两个不等于-1的不等实根。0b (, 1) ( 1,3) (3,0X0为未知数的方程的根的个数2bx cx在点Xo处取得极小值-4,f(x)的解析式;(2)若过点P( 1,m)可作曲线使其导数f'

16、(X) 0的X的取值范围y f(x)的三条切线，求实数 m的取-2f '(x) 3ax2bx c 3a(x 1)(x 3),( a0). .在(,1)上 f'(x) 0；在(1,3)上 f '(x) 0 ;在(3,)上 f '(x) 0因此f (x)在Xo 1处取得极小值4a b c4，f'(1) 3a 2bc 0,f'(3)27a 6b c 0由联立得:(2)设切点 Q(t, f (t)y ( 3t212tb 6 , f(x)c 932x 6x9xy f(t)9)(x t)_ 2_ 2(3t 12t 9)x t(3t_ 2- 2(3t 12t

17、9)x t(2tf,(t)(x t)(t3 6t2 9t)一 一2 一12t 9) t(t 6t灰)过(1,m)9)m ( 3t2 12t 9)( 1) 2t3 6t2g(t) 2t3 2t2 12t 9 m 0令 g'(t) 6t2 6t 12 6(t2 t 2) 0,求得：t 1,t 2,方程g(t) 0有三个根。厘 g( 1) 02 3 12 9 m 0m 16g(2) 016 12 24 9 m 0m 11故：11m 16;因此所求实数 m的范围为：(11,16)题3：已知f (x)在给定区间上的极值点个数 则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法例8、解：函数的定义域为

18、 R (I)当m= 4时，f (x) = ；x3：x2+10x, 32f (x) =x2-7x+ 10,令 f (x) 0 ,解得 x 5,或 x 2.令f (x) 0 ,解得2x5可知函数f(x)的单调递增区间为(，2)和(5, +8),单调递减区间为2,52(n) f(x) = x(m+ 3)x+m 6,要使函数y=f (x)在(1, +8)有两个极值点， f (x)=x2(许2+ 0°)6) 0;m 6 0;,解得 m> 34例9、已知函数f (x) ax3 3.14.、(a R,a 0) (1)求 f(x)的单调区间；(2)令 g(x) = -x + f(x)(xCR)

19、有且仅有3个极值点，求a的取值范围.解：(1) f (x) ax2 x x(ax 1)I ，1当a 0时，令f (x) 0解得x或x 0,令f(x) 0解得 一x 0,aaII所以f(x)的递增区间为(，1) (0,)，递减区间为(1,0).aa1、1当a 0时，同理可得f(x)的递增区间为(0,),递减区间为(，0)(,).aa(2) g(x) 1x4 ax3 lx2有且仅有3个极值点43232,22g (x) x ax x x(x ax 1)=0 有 3 个根，则 x0或 x ax 1 0 , a 2方程x2 ax 1 0有两个非零实根，所以a2 4 0,a 2或 a 2而当a 2或a 2

20、时可证函数y g(x)有且仅有3个极值点其它例题：2,11、(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在R上的函数f(x) ax3 2ax2 b (a 0)在区间上的最大值是5,最小值是11.(I)求函数f(x)的解析式；(n)若t 1,1时，f (x) tx 0恒成立，求实数x的取值范围.解：(I) Q f (x) ax3 2ax2 b, f (x) 3ax2 4ax ax(3x 4)“4令 f(x)=0，得 0,x2 2,13因为a 0,所以可得下表:x2,000,1一，f (x)+0-f(x)极大因此 f (0)必为最大值，. . f (0) 5因此 b 5, Qf( 2) 10 5,f

21、a 5, f(1) f( 2),即 f( 2)16a 511, . a 1 ,f(x) x32x2 5.(n) 2f (x) 3x 4x, f (x) tx0等价于23x 4x tx 0,2xt 3x 4x,则问题就是g(t)1,1上恒成立时，求实数 x的取值范围,为此只需23x2 5x 02,x x 0解得0 x1,所以所求实数x的取值范围是0,1.2、(根分布与线性规划例子)，、一，2(1)已知函数f(x) -x3ax* 2 3 bx c(I )若函数f (x)在x1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线3x y 0平行，求f (x)的解析式;(n)当 f(x)在 x (0,1

22、)取得极大值且在 x (1, 2)取得极小值时,设点M(b 2, a 1)所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分，求直线L的方程.解：(I).由 f (x) 2x22ax b ,函数 f (x)在 x1时有极值，2a b 2 0 f(0) 1又 f(x)在(0,1)处的切线与直线3x y0平行,.7分(n)解法一：由f (x)22x 2ax b 及f (x)在 x(0, 1)取得极大值且在x (1,2)取得极小值，f (0) 0f (1) 0f (2) 0b 0即 2ab 2 0令 M(x, y),4a b 8 0易得A( 2,0),2y4yB( 2,1),同时DE为

23、 ABC的中位线，所求一条直线L的方程为：另一种情况设不垂直于与AC,BC分别交于F、G,0 故点M所在平面区域 S为如图 ABC,C(2,2),D(0,SdEC；S四边形 ABEDx轴的直线L也将S分为面积比为k 0, S四边形DEGF1),E(0,1:3的两部分，kx得点F的横坐标为Xf2k 1由4ykx得点G的横坐标为xG64k 1DEGFS OGES OFD解得：k综上，所求直线方程为：(n)解法f (x)2x22ax(舍去)2 4k 1 22k故这时直线方程为(0)Q)b2a4a易得A( 2,0),2y4yB( 2,1),同时DE为 ABC的中位线，S DEC3), S ABC2设直

24、线L方程为y.2- 1 即 16k2 2k 5 1f(x)在x (0, 1)取得极大值且在x(1,x令 M(x, y), 则y故点M所在平面区域S为如图 ABC,C(2,2),D(0,1),E(0,1)kx ,它.12分2)取得极小值，S ABC 23S'四边形ABED所求一条直线 L的方程为：1另一种情况由于直线 BO万程为：y - x,设直线BO与AC交于H ,21. y -x由,22y x 2 0(I)由图可知函数f ( x)的图像过点(0,3 )，且 f 1 = 01得直线L与AC交点为：H ( 1,-)2- 一 11-111-11S ABC 2,S DEC2, S ABH S

25、 ABO S AOH 212 2 22222 21所求直线方程为：x 0或y 1x23、(根的个数问题)已知函数f(x) ax3 bx2 (c 3a 2b)x d (a0)的图象如图所示。(i)求c、d的值；(n)若函数f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为3x y 11 0 ,求函数f ( x )的解析式;(出)若x0 5,方程f(x)8a有三个不同的根，求实数 a的取值范围。解：由题知：f (x) 3ax2 2bx+c-3a-2bd 3d 33a 2b c 3a 2b 0 c 0(n )依题意 f 2 = - 3 且 f ( 2 ) = 5解得a = 112a 4b 3a 2b 3

26、8a 4b 6a 4b 3 5所以 f ( x ) = x3 - 6 x2 + 9 x + 3(m)依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 - ( 3 a + 2 b ) x + 3 ( a>0 )f x = 3 ax2 + 2 bx- 3a- 2b 由 f5 = 0 b = - 9 a 若方程f ( x ) = 8 a有三个不同的根，当且仅当满足f ( 5 ) v 8av f ( 1 )由 得25 a + 3 <8av 7a + 3 <a<311, 1，、，“一，一所以当一 v a< 3时，方程f ( x ) = 8 a有二个不同的根。12分111 OC4、(根的个数问题)已知函数f (x) - x