二次函数与平行四边形

1、二次函数与平行四边形作者:日期:我们先思考三个问题：1 .已知A、B、C三点，以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个，怎么画？2 .在坐标平面内，如何理解平行四边形 AB CD的对边A B与DC平行且相等？3 .在坐标平面内，如何理解平行四边形ABC D的对角线互相平分？S3如图1 ,过B C的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个D。如图2,已知点A (0,3) , B (-2,0), C(3,1),如果四边形A BCD是平行四边形，怎样求点D的坐标呢？点B先向右平移两个单位，再向上平移3个单位与点A重合，因为B A与CD平行且相等，所以点C先向右平移2个单位，再向上平移 3个

2、单位得到点D ( 5, 4 )。如图3,如果平行四边形ABCD的对角线交于点G ，那么过点G画任意一条直线(一般与坐标轴垂直)。点A、C到这条直线的距离相等，点B、D到这条直线的距离相等。关系式三 +用二.+干-和匕1+尸匚二/日+,0有时候用起来很方便。1 .(青海倒一)如图，在平面直角坐标系中 ，矩形OABC的顶点A, C分别在x轴，y轴的正半轴上，且O A=4 , OC=3，若抛物线经过O, A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D,E的坐标分别为(3, 0), (0, 1).(1)求抛物线的解析式；(2)猜想 EDB的形状并加以证明；(3)点“在对称轴右侧的抛物线上，点N在x

3、轴上，请问是否存在以点 A, F, M , N为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请求出所有符合条件的点 M的坐标；若不存在，请说明理由.2 .(陕西倒二)在同一直角坐标系中，抛物线C i：y=ax2-2 x -3与抛物线C 2: y = x 2+m x + n关于y轴对称，C2与x 轴交于A、B两点,其中点A在点B的左侧.(1)求抛物线C i, C2的函数表达式;(2 )求人、B两点的坐标；(3)在抛物线Ci上是否存在一点P,在抛物线C2上是否存在一点Q,使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为 顶点的四边形是平行四边形 ？若存在，求出 P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由3 .(宿迁倒一

4、)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y =x2- 2 x - 3交x轴于A , B两点(点A在点B的左侧)， 将该抛物线位于x轴上方曲线记作M,将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作 N,曲线N 交y轴于点C,连接AC、 BC.(1 )求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；(2)求BC外接圆的半径；(3)点P为曲线M或曲线N上的一动点，点 Q为x轴上的一个动点，若以点B , C, P, Q为顶点的四边形是平行四4 .(临沂倒一)如图，抛物线y= ax2+ bx- 3经过点A( 2 , - 3),与x轴负半轴交于点B,与y轴交于点C ,且OC=3 O B .(1)求抛物线的解

5、析式;(2)点D在y轴上，且/ BDO = / B AC,求点D的坐标；(3)点“在抛物线上，点 N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A, B, M, N为顶点的四边形是平行四边形 ？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.,、,.一 2,、, 一 ._»、.，,5 .(枣庄倒一)如图，抛物线y=-1/2 x +bx+c与x轴交于点A和点B ,与y轴交于点C,点B坐标为(6, 0 ) 点C坐标为(0, 6),点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E,连接BD.(1 )求抛物线的解析式及点 D的坐标；(2)点F是抛物线上的动点，当/ FBA = /BDE时，求

6、点F的坐标；(3)若点M是抛物线上的动点，过点 M作MN / x轴与抛物线交于点N,点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线 段MN为对角线作正方形 MPNQ,请写出点Q的坐标.6 .(烟台倒一)如图1,抛物线y=ax2bx+2与轴交于A,B两点，与y轴交于点C, AB=4,矩形O B D C的边CD =1, 延长DC交抛物线于点E.(1)求抛物线的表达式；(2)如图2,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线 EO于点G,作PH，EO,垂足为H.设PH的长为l,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系是(不必写出m的取值范围),并求出l的最大值； (3)如果点N是抛物线对称轴

7、上的一点，抛物线上是否存在点 M,使得以M,A,C, N为顶点的四边形是平行四边 形？若存在，直接写出所有满足条件的M的坐标；若不存在，请说明理由.S 1隹号:Myunk 鼻27 .(邵阳倒一)如图所示，顶点为(1/2, 9 14)的抛物线y=ax +bx+c过点M (2, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)点A是抛物线与x轴的交点(不与点 M重合)，点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点(处 于x轴下方)，点D是反比例函数y=k/x (k>0)图象上一点，若以点A, B, C, D为顶点的四边形是菱形，求 k 的值.2 2工产一工+DX+C8 .(岳阳倒一)如图，抛物线

8、 3经过点B(3, 0) , C(0, -2),直线且与抛物线交于A、D两点.P为抛物线上一动点(不与A、D重合).(1 )求抛物线的解析式；(2)当点P在直线,下方时，过点P作PM / |工轴交/于点M , PN交y轴交/于点N .求PM+P N的最大值 (3)设F为直线上的点，以E、C、P、F,为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能求出点F的坐标；若 不能，请说明理由.9 .(湖北咸宁)如图，抛物线y = 1 /2x2+bx + c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C ,其对称轴交抛物线于点(1)求抛物线的解析式.(2)若点P在直线BD上，当PE=PC时，求点P的坐标.(3)在(2 )的条

9、件下，作PF，x轴于F ,点M为x轴上一动点，N为直线P F上一动点，G为抛物线上一动点, 当以点F、N、G、M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标.D,交x轴于点E ,已知O B=OC= 6 .求抛物线的解析式及点 D的坐标；连接B D,F为抛物线上一动点，当/ FAB=/E DB时，求点F的坐标；平行于x轴的直线交抛物线于M,N两点，以线段M N为对角线作菱形 MPNQ ,当点P在x轴上，且 PQ=1/2MN时，求菱形对角线M N的长.24题图1 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+b x + c的顶点坐标为(2,9),与y轴交于点A (0, 5 ),与x轴交于点E、 B.(1)求二次函数y=a x 2+bx + c的表达式；(2)过点A作A C平行于x