概率论与数理统计公式(考试版专用)

1、第1章随机事件及其概率(1)排列 组合公式Pmn 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。(m n)!nm!Cm 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。n!(m n)!(2)加法 和乘法原 理加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n某件事由两种方法来完成，A种方法可由m种方法完成，第二种方法可由 n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mx n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由 n种方法来完成，则这件事可由mx n种方法来完成。(3) 一些 常见排列重复排列和非重复排列(有序) 对立事件(至少有一个) 顺序问题(4)

2、随机 试验和随 机事件如果一个试验在相同条件卜XJ以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 验。试验的可能结果称为随机事件。(5)基本 事件、样本 空间和事 件在一个试验下，不管事件有多少个， 总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母A, B, C,表示事件，它们是的子集

3、。为必然事件，?为/、可能事件。不可能事件(？)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件()的概率为 1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。(6)事件 的关系与 运算关系：如果事件A的组成部分也是事件 B的组成部分，(A发生必启事件B发生)： A B如果同时有 A B, B A,则称事件A与事件B等价，或称A等于B： A=B,A、B中至少有一个发生的事件：A B,或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为 A与B的差，记为A-B,也可表示为A-AB或者AB,它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：A B,或者AB A B=?,则表示 A与B不可能同时发生

4、，称事件A与事件B互小相容或者互斥。基本事件是互小相容的。-A称为事件A的逆事件，或称 A的对立事件，记为人。它表示A不发生 的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(A U C) A (B U C) (A U B) n C=(AC) U (BC)AiAi _ _ _ _德摩根率：i 1i 1ABAB,ABAB(7)概率 的公理化 定义设 为样本空间，A为事件，对每一个事件 A都有一个实数P(A),若满 足卜列三个条件：1° 0WP(A)W 1,2 P( Q ) =13°对于两两互不

5、才目容的事件A1, A2,有PAiP(Ai)i 1i 1常称为可列(完全)可加性。则称P(A)为事件A的概率。(8)古典 概型1o1, 2n，12 P( 1) P( 2)P( n) 一。n设任一事件A,它是由1, 2m组成的，则有P(A)= ( 1)(2)( m) = P( 1) P( 2)P( m)m A所包含的基本事件数n基本事件总数(9)几何 概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A,P(A) -()0其中L为几何度量(长度、面积、体积) 。L()(10)加法 公式P(

6、A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)=0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)(11)减法 公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=时,P( B )=1- P(B)(12)条件 概率定义 设A、B是两个事件，且 P(A)>0,则称P(AB)为事件A发生条件下，事P(A)件B发生的条件概率，记为 P(B/A) P(AB)。P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P( Q /B)=1 P( B /A)=1-P(B/A)(13)乘法 公式乘法公式：P(AB) P(A)P(B/A)更一般地，对事件

7、A, Aa,A,若P(A1A2An-1)>0 ,则有P(A1A2 An) P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2)P(An| A1A2 An 1) 0(14)独立 性两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB)P(A)P(B),则称事件a、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且P(A) 0,则有P(B|A)迫 P(A)P(B) P(B) P(A)P(A)若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、人与缶也都相互独 立。必然事件和不可能事件？与任何事件都相互独立。?与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ; P

8、(BC)=P(B)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A B、C相互独立。对于n个事件类似。(15)全概 公式设事件B1，B2，Bn满足1。B1, B2, 同相容，P(Bi) 0(i 1,2, ,n), nABi2i 1J,则有P(A) P(B1)P(A| B1) P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A | Bn)。(16)贝叶 斯公式设事件B1，B2,，Bn及A满足1 ° B1, B2 ,，Bnn相容，P(Bi)>0, i 1, 2,，n, nABi2i 1, P(A) 0,则D/a/A、P(Bi)P(A/Bi)

9、P(Bi / A)n, i=1 , 2,n。P(Bj)P(A/Bj) j 1 此公式即为贝叶斯公式。P(Bi),(i 1 , 2,，n),通常叫先验概率。P(BJA),(i 1,2, n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了 “因果”的概率规律，并作出了 “由果朔因”的推断。(17)伯努 禾概型我们作了 n次试验，且满足每次试验只用两种可能结果，A发生或A不发生；门次试验是重复进行的，即 A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验 A发生与否是互/、影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则人发生的概率为1 p q，用

10、”卜)表示n重伯努利试验中 A出现k(0 k n)次的概率，八、_kknk_Pn(k) Cn p q , k 0,1,2, ,n o第二章随机变量及其分布(1)离散 型随机变 量的分布 律设离散型随机变量 X的可能取值为 X(k=1,2,)且取各个值的概率，即事 件(X=Xk)的概率为P(X=Xk)=p k, k=1,2,，则称上式为窗放型随机变重X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：X| x1,x2, ,xk,P(Xxk) p1, p2, , pk,o显然分布律应满足卜列条件：pk 1(1) pk 0 , k 1,2,(2) k 1o(2)连续 型随机变 量的分布 密度设F(x)是

11、随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x),对任意实数x ,有xF(x)f(x)dx则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有卜面4个性质：1 。 f(x) 0。f(x)dx 12 o(3)离散 与连续型 随机变量 的关系P(X x) P(x X x dx) f(x)dx积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(Xxk) pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。(4)分布 函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x) P(X x)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a X b) F(b) F(a) 可以彳#

12、到 X落入区间(a, b的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间(-8, x内的概率。分布函数具有如下性质：1°0 F(x) 1,x;2 F(x)是单调/、减的函数，即 xi x2时，有 F(xi) F(x2)；3 F( ) lim F(x) 0,F() lim F(x) 1;xx4 。 F(x 0) F(x),即F(x)是右连续的；5° P(X x) F(x) F(x 0)。对于离散型随机变量，F(x)pk ；xk xx对于连续型随机变量，F(x)f(x)dx 。八大 分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为

13、p。事件A发生的次数是随机变量，设为 X ,则X可能取值为0,1,2, ,n。_ k k n kP(X k) Pn(k) Cnp q,其 中q 1 p,0 p 1,k 0,1,2, ,n,则称随机变量X服从参数为n, p的二项分布。记为X B(n,p)o当 n 1 时，P(X k)pkq1k, k 0.1 ,这就是(0-1 )分布，所以(0-1 )分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X的分布律为kP(X k) e ,0, k 0,1,2,k!则称随机变量X服从参数为 的泊松分布，记为 X ()或者 P()。泊松分布为二项分布的极限分布(np=入，n-8)。超几何分布CM ?cn M k 0

14、,1,2 ,l P(X k) n,CNl min(M,n)随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为 H(n,N,M)。几何分布P(X k) qk1p,k 1,2,3,其中 p>0, q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为 G(p)。均匀分布设随机变量X的值只落在a, b内，其密度函数f(x)在a, b，一 1上为常数，即b a1.!_a< x< bf(x) b a,甘他其他， u,则称随机变量 X在a, b上服从均匀分布，记为XU(a, b)。分布函数为0,x<a,x a,b aawxwbxF(x)f (x)dx工 1,x>b。当awxyxzw

15、b时，X落在区间(xi，x2)内的概率为_x2x1P(x1X x2)21 ob a指数分布xe e ,x 0,f(x)0,x 0,其中0,则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为X1 e ,X 0F(x) «,0L 0,x<0。记住积分公式：xne xdx n!0正态分布设随机变量X的密度函数为1)2f(x)72- e 2，x，其中 、0为常数，则称随机变量X服从参数为、2722的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为 X N ( ,)。f(x)具有如下性质：1 。 f(x)的图形是关于x对称的；。 、， 一，12 当x 时，f ( )为最大值；2<2若X N(

16、)x, 心的分布函数为F(x) -r= e 2 dt “ Jo o参数0、1时的正态分布称为标准止态分布，记为X N(0,1)4其密所函数记为(x) J=e '2,x,分布函数为 1 x寸 (x) ：= e 2 dt °(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x) = 1-(x)且 (0)=。X 2如果 XN( , 2),贝UN(0,1) oP(xXx2)。(6)分位 数下分位表：P(X)=;上分位表：P( X)=。(7)函数 分布离散型已知X的分布列为XX1, X2, xn,P(X Xi) P1, P2, pn,Y g(X)的分布列(yi g(xi)互不相等

17、)如下：Yg(x1), g(x2), g(xn),若用某些g(xip相等,用U应将对,应让，pi相加作为g(xi)的概率。连续型先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y) = P(g(X) <y),再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。第三章二维随机变量及其分布(1)联合 分布离散型如果二维随机向量(X, Y)的所有可能取值为至多可列个启序对(x,y ),则称为离散型随机量。设 =(X, Y)的所有可能取值为(xi0)。/ 1,2,),且事件 =(Xi，yj)的概率为pj,称P(X,Y) (xi,yj)pij(i, j 1,2,)为 二(X, Y)的分布律或称为 X和Y

18、的联合分布律。联合分他后 时也用卜面的概率分你去来表7K:Xy1y2yjx1pnp12pux2p21p22p2jxip1Pu这里pij具有卜面两个性质：(1) pij >0 (i,j=1,2,)；(2) pij1.连续型对于二维随机向量(X,Y),如果存在非负函数f (x, y)(x,y),使对任忠个其邻边分别平行丁坐标轴的矩形区域 D,即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d 有P(X,Y) Df(x,y)dxdy,D则称 为连续型随机向量；并称 f(x,y)为=(X, 丫)的分布密度或称为X和丫的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有卜面两个性质：(1) f(

19、x,y) >0;(2) f (x, y)dxdy 1.(2)二维 随机变量 的本质(X x,Y y) (X x Y y)(3)联合 分布函数设(X, Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数F(x,y) PX x,Y y称为二维随机向量(X, Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件( 1, 2)|X( 1) x,Y( 2) y的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：(1) 0 F(x,y) 1;(2) F (x,y )分别对x和y是非减的，即当 x2>x1 时,有 F (x2,y) >

20、 F(x 1,y);当 y2>y1 时,有 F(x,y 2) > F(x,y 1);(3) F (x,y )分别对x和y是右连续的，即F(x, y) F(x 0, y), F(x,y) F(x,y 0);(4) F( ,) F( , y) F(x, ) 0,F(,) 1.(5) 对于 x x2，y1y2，F(x2, y2) F(x2, y1) F(x1, y2) Fd, yj 0.(4)离散 型与连续 型的关系P(X x, Y y) P(x X x dx, y Y y dy) f(x, y)dxdy(5)边缘 分布离散型X的边缘分布为Pi?P(XXi)Pij(i, j1,2,);Y

21、的边缘分布为P?jP(Yyj)Pij(i,j1,2,)。连续型X的边缘分布.密度为fx(x)f(x,y)dy;Y的边缘分布密度为fy(y)f(x, y)dx.(6)条件 分布离散型在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为PijP(Y yj|X 为)；Pi?在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为PijP(X x"Y yj)，P?j连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为fJf(x| y) 丁丁 fY(y)在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为f(y|x) R fX(x)(7)独立 性一般型rF(X,Y尸F X(x)F Y(y)离散型Pij Pi?P?j后零不独立连续型f(x,

22、y)=f X(x)f Y(y)直接判断，充要条件：可分离交量正概率密度区间为矩形二维正态分 布221x _12_(x _1 )(y _ 2) y _212(12 )11 22f (x, y): e,21 2 V12=0随机变量的函数若X1,X2，X,Xm+1,X相互独立，h,g为连续函数，则：h (X1, X2,X)和g (Xm+1,为)相互独立。特例：若X与丫独立，则：h (X)和g (Y)独立。例如：若 X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。(9)二维 正态分布设随机向量(X, Y)的分布密度函数为 221x 12 (x i)(y2) y 212(12)11 22f(x, y) =re,

23、212M2其中1，2, 10，20,11 1是5个参数，则称(X, 口服从二维正态分布，记为(X, Y) N ( 1，2, 12, 2,).由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，X-N( 1, 12),yn( 2, 2).但是若XN( 1, 12),YN( 2, ；), (X, Y)未必是二维正态分布。(10)函数 分布Z=X+Y根据定义计算：FZ(z) P(Z z) P(X Y z)对于连续型，fz(z) = f (x, z x)dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布(12, 122)。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。_2_ 22Ci i ,

24、Ci iZ=max,min(X1,X2，Xn)若Xi,X2 Xn相互独立，其分布函数分别为Fx1 (x), Fx2 (x)F/(x),则 Z=max,min(X 1,X2，Xn)的分布函数为：Fmax(x)八(x)?Fx2(x)Fxn(x)Fmin(x) 1 1 Fxi(x)?1 Fx2(x)1 Fxn(x)2分布设n个随机变量Xi, X 2, X n相互独立，且服从标准止态分布，可以证明它们的平方和n 2 WXii 1的分布密度为1n 1 u-u2 e 2 u 0,f(u) 22 n 2Qu 0.我们称随机变量 W艮从自由度为n的2分布，记为 M 2(n), 其中nn in2 _ xx2 e

25、 dx.20所谓自由度是指独立止态随机变量的个数，它是随机变量 分布中的一个重要参数。2分布满足可加性：设Yi2(n)则k r、，2，、ZYi (ni n2nk).i 1t分布设X, Y是两个相互独立的随机变量，且X N(0,1),Y 2(n),可以证明函数T看 vY / n的概率密度为n 1n 12t2 丁f(t)21 t(t)./nn、n一2我们称随机变量 T服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)。L (n) t (n)F分布设X 2(njY 2伯2),且X与丫独立，可以证明l X /%F 的概率密度函数为Y/n2n1 n2nini n22ni 2 3 ni2八f(v)y 1y，y 0f(

26、y)n1n2n2n2220,y 0我们称随机变量F服从A个自由度为 ni,第二个自由度为 n2的F分布，记为 Ff(n i, n 2).L ，、iFi (ni,n2)F (n2, ni)第四章随机变量的数字特征(i) 一维 随机 变量 的数 字特 征离散型连续型期望期望就是平均值设X是离散型随机变量，其分布律为 P( X Xk ) = pk ,k=i,2,n ,nE(X)XkPkk i(要求绝对收敛)设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x),E(X) xf(x)dx(要求绝对收敛)函数的期望Y=g(X)nE(Y)g(Xk)Pkk iY=g(X)E(Y) g(x)f(x)dx力差D(X)=EX

27、-E(X) 2,标准差(X) JD(X),D(X)Xk E(X)2Pkk2D(X) x E(X)2 f (x)dx矩对于正整数k,称随机变量X 的k次哥的数学期望为 X的k 阶原点矩，记为Vk,即V k=E(Xk尸XikPi ,k=1,2,对于正整数k,称随机变量X 与E (X)差的k次哥的数学期望为X的k阶中心矩，记为k ,即kk E(XE(X).=(XiE(X)kPi,k=1,2,.对于正整数k,称随机变量X的 k次哥的数学期望为 X的k阶原点 矩，记为Vk,即v k=E(Xk)=xkf(x)dx,k=1,2,对于正整数k,称随机变量X与 E (X)差的k次哥的数学期望为 X的k阶中心矩，

28、记为k,即k E(X E(X)k .k=(X E(X) f(x)dx,k=1,2,.切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望 E (X)=小 方差D (X) =(/,则对于 任意正数£ ,后卜列切比雪夫不等式2P(|X)切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率P(|X|)的一种估计，它在理论上启重要忌义。(2) 期望 的性 质(1) E(C尸C(2) E(CX尸CE(X) nn(3) E(X+Y尸E(X)+E(Y) , E( gXi)GE(Xj)i 1i 1(4) E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和 Y独立；充要条件：X和丫不相关。(3) 方差 的性 质(1) D

29、(C)=0; E(C)=C(2) D(aX)=a 2D(X); E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b)= a 2D(X) ; E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X2)-E 2(X)(5) D(X± Y)=D(X)+D(Y),充分条件：X和 Y 独立；充要条件：X和Y不相关。D(X±Y)=D(X)+D(Y) ± 2E(X-E(X)(Y-E(Y),无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。(4) 常见 分布期望力差0-1 分布 B(1, p)pP(1 P)的期 望和 力差二项分布B(n, p)npnp(1 p)泊松分布P()几

30、何分布G(p)1P1 p2 p超几何分布H(n,M,N)nMNnMMN n1 NNN 1均匀分布U (a,b)a b2(b a)212指数分布e()11-2正态分布N ( , 2)22分布n2nt分布0n / c、(n>2)n 2二维 随机 变量 的数 字特 征期望nE(X)XiPi?i 1nE(Y)yjP?jj 1E(X)xfX (x)dxE(Y)yfY(y)dy函数的期望EG(X,Y) =G(Xi,yj)pjEG(X,Y) =G(x,y) f(x, y)dxdy力差_2D(X)XiE(X) pi?D(Y)Xj E(Y)2p?jD(X)x E(X)2fX(x)dx2D(Y)y E(Y)

31、2fY(y)dy协力差对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩11为X与丫的协方差或相关矩，记为XY或COV(X ,Y),即xy 11 E(X E(X)(Y E(Y).与记号 xy相对应，X与Y的方差D(X)与D( Y)也可分别记为xx与CJ YY °相关系数对于随机变量X与Y,如果D (X) >0, D(Y)>0 ,则称XYJd(X)Jd(Y)为X与丫的相关系数，记作 XY (有时可简记为)。| 心1,当|=1时，称X与丫完全相关：P(X aY b) 1小日关 正相关，当1时(a °)，兀全相关负相关，当1时(a 0),而当0时，称X与丫不相关。以卜五个命题

32、是等价的： XY 0 ； cov(X,Y)=0; E(XY尸E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y尸D(X)+D(Y).协方差矩阵XXXYYXYY混合矩对于随机变量X与Y,如果有E(XkYl )存在，则称之为 X与丫的k+l阶混合原点矩，记为 kl ； k+l阶混合中心矩记为： klUki E(X E(X) (Y E(Y).(6) 协方 差的 性质(i) cov (X, 丫尸cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X 1+X2, Y)=cov(X i,Y)+cov(X 2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(

33、XY)-E(X)E(Y).独立(i)若随机变量X与丫相互独立，则XY 0；反之不真。和不22相关(ii )若(X, Y) N ( 1，2，12,:,),则X与丫相互独立的充要条件是 X和Y不相关。第五章大数定律和中心极限定理(1)大数定律X切比雪定律设随机变 常数CI特房 则上式力lim Pn:量 Xi, X历界：D(X)lim P - nn果情形：若X 彷1 n、， 一X i n i i相互独立，均具有有限方差，且被同一<C(i=1,2,)，则对于任意的正数e,有n1nXi E(Xi)1.i 1n i 11, X2,具有相同的数学期望 E (X)=科，1.伯努利 大数定 律设1 每次试

34、供伯多 的频率上这就以严n是n次独立 亍中发生的概率li n与利大数定律刈试验中 则无m Pa明，岂 制的反m P;描述了事件 A发生的次数，p是事件A在 f于任意的正数£ ,有-P1.n3试验次数n很大时，事件A发生能性很小，即一 p0.n'频率的稳定性。J概率后较大判li n1格的数学形式辛钦大 数定律设X,(Xn )=lim Pn"，Xn, 11,则对于任一1 n1 Xin i 1,是相互独立同分布的随机变量序列，且E意的正数£有1.(2)中心极限定列维设随机变量X1, X2,相互独立，服从同一分布，且具有理林德伯相 同 的 数 学 期 望和 方差

35、：X2N(,) n格定理E(XQ ,D(Xk)2 0(k 1,2,n）,则随机变量Xk nYk 1n 而的分布函数Fn(X)对任意白实数X,有nXk nlim Fn (x) lim P xnnVn1 x42 -et22 dt.此定理也称为独立同分布的中心极限定理。棣莫弗-拉普设随机变里 Xn为具后参数 n, p（0<p<1）的二项分布，则对于制定任意实数X,有理X n np1 X 一lim pxf et2?dt.nJnp(1 p)V2(3)二项定理N时,一p（n,k/、父），则NC k C n kCm CnMck k /An nk八！、nCnp (1p)(N).Cn超几何分布的极限

36、分布为二项分布。(4)泊松定理n时，np0,则kk k ” n kCn p (1 p)-ek!(n).其中k=0, 1, 2,，n,。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布(1)数：理总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全统计的基 本概念体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随 机变量（或随机向量）。个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。样本我们把从总体中抽取的部分样品x1, x2, , xn称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是 n个相互独立的且与总体有相同分布的随机 变量，这样的样本称为简单

37、随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，Xi,X2, ,Xn表示n个随机变量(样本)；在具体的一次抽取之后，Xi,X2, ,Xn表示n个具体的数值(样本值)。我们称之为样本的两重性。样本函数和 统计量设Xi, X2 , Xn为总体的一个样本，称(Xi,X2, Xn)为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称(Xi, X2 , ,Xn )为一个统计量。常见统计量 及其性质1、一一- 1 n样本均值X Xi.n i i样本力差1 n一S2-(Xi X)2.n 1 i i样本标准差S J(Xi x)2.样本k阶原点矩1 n kMk - xi ,k 1,2,.n i 1样本k阶中心矩

38、n n-1k-Mk 一(xix) ,k 2,3,.n i 1 2E(X) , D(X), nE(S2)2, E(S*2) n 1 2,n“一 21 n一 2其中S* (Xi X)，为二阶中心矩。n i 1(2)正态 总体下的 四大分布正态分布设Xi,X2, ,Xn为来自止态总体 N( , 2)的一个样本，则样 本函数def Xu-N(01)./ v'nt分布设X1,X2, ,Xn为来自止态总体 N( , 2)的一个样本，则样 本函数def xt l t(n 1), s/V n其中t(n-1)表示自由度为 n-1的t分布。2分布设Xi,X2, ,Xn为来自止态总体 N( , 2)的一个样

39、本，则样 本函数def (n 1)S22w-2 (n 1),其中2(n 1)表示自由度为n-1的2分布。F分布设X1,X2, ,Xn为来自止态总体N( , 12)的一个样本，而-.2 一 .y1，y2, ,yn为来自止态总体 N( , 2)的一个样本，则样本 函数def S2 / 2F-T-4F(n1 1,n2 1), S3 2其中cnn1-Cc1n2一S2d(Xi X)2,S22(yiy)2;1 i 11 i 1F(n11, n21)表示第一自由度为 n11,第一自由度为n2 1的F分布。(3)正态 总体下分 布的性质X与S2独立。极大似 然倩计当总体 X为连续型随机变量时，设其分布密度为f

40、 (x； 1 , 2 , m),其中1,2, m为未知参数。又设Xi , X2 , ,Xn为总体的一个样本，称nL( 1 , 2, , m)f(Xi； 1, 2, m)i 1为样本的似然函数，简记为Ln.当总体 X为离型随机变量时，设其分布律为PX X p(x； 1 , 2, m),则称nL(x1 , X2 , ,Xn； 1, 2 , , m)p(Xi ； 1 , 2 , , m)i 1为样本的似然函数。若似然函数 L(X1,X2, Xn； 1, 2, m)在 1, 2, m 处取到最大值，则称1, 2, , m分别为1, 2, , m的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。ln L

41、no ； 12 m0,1 1,2, , m ii i若 为 的极大似然估计，g(X)为单调函数，则g(?)为g()的极大 似然情计。估 计量的 评选标 准无偏性设板1«2, ，Xn)为未知参数的估计量。若E ()=,则称为的无偏估计量。E ( X) =E (X), E (S2) =D (X)后效性设 11(X1,X,2, ,Xn)和 22(X1, X,2 , ,Xn)Mfl参数的两个无偏估计量。若 D( 1) D( 2),则称1比2有效。一B性设n是 的一串估计量，如果对于任意的正数，都有lim P(| n |) 0,则称n为的一致估计量(或相合估计量)。若为的无偏估计，且D( ?)0(n，则为的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相 应总体的一致估计量。区 间倩计置信区 间和置 信度设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本x1,x,2 , ,xn出发，找出两个统计量 1i(xi,x,2 , ,Xn)与22(xi,x, 2 , ,xn)( i2),使得区间1, 2以1(01)的概率包含这个待估参数，即P i2 1,那么称区间1，2为 的置信区间，1为该区间的置信度(或置信水平)。单正态 总体的 期望和 方差的 区间估 计设为，x,2 , ,xn为总体X