求数列通项公式和前n项和的常用方法(含高考题精选)

1、求数列通项公式和前n项和的常用方法、求数列通项公式的常用方法1 .公式法：等差数列或等比数列的通项公式。2 .归纳法：由数列前几项猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。 a。 a。 a3 .累乘法：利用 an ai (an 0,n 2)型如：a- g(n)anai a2 an i4.构造新数列：类型1累加法an ianf (n) 类型 2 累乘法 an i f (n)an类型3 ani pan q (其中p, q均为常数，(pq(p i) 0)。解法(待定系数法)：把原递推公式转化为：ani t p(an t),其中t -q,转化为等比数列求解。i P类型 4 an i pan q

2、n (其中 p,q 均为常数，(pq(p i)(q i) 0)。 (或 an i pan rq'其中p, q, r均为常数) 解法：先在原递推公式两边同除以qni,得： 引 卫？霁 1引入q q q q辅助数列bn (其中bn 勺)，得：bn i Ebn3再待定系数法解决。qq q类型5递推公式为Sn与an的关系式。(或Sn f (小)、上 十皿S1(n i)解法：i.利用an2.升降标相减法Sn Sni(n 2)二、数列求和的常用方法1 .直接或转化等差、等比数列的求和公式求和(i)等差数列求和公式：Sn n(ai an) nai n(n i)d22(2)等比数列求和公式：Snnai

3、ai(i qn)i q(q i)aianqi q(q i)2 .错位相减法 设数列an的等比数列，数列bn是等差数列，则求数列anbn的前n项和Sn。23 .裂项求和法 (i)ani一 1(2) an 3 i 1(- )等。n(n i) n n i(2n i)(2n i) 2 2n i 2n i4 .分组求和法：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为 几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。5 .逆序相加法把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)i / 7三、数列高考题1.(2011年高考辽宁卷理科 17)(本小题满分12

4、分)已知等差数列an满足a2=0, a6+a8= -10an(I)求数列an的通项公式；(II)求数列 一rt 的刖n项和.2为常数.2. （2014全国1）已知数列an的前n项和为Sn, &=1,an0,anan1Sn1,其中(I)证明：an 2 an； (n)是否存在，使得4为等差数列？并说明理由3 / 73. (2016年全国III高考)已知数列an的前n项和Sn 1 an ,其中 0.(I)证明an是等比数列，并求其通项公式；(II )若 S531 ,求.324. (2016年山东高考)已知数列 an的前n项和0=3n2+8n, bn是等差数列，且anbn bn 1. 1)n

5、1(I)求数列 bn的通项公式；(n)令 Cn L.求数列 Cn的前n项和Tn.(bn 2)n5. （2011年高考全国新课标卷理科17）（本小题满分12分）9 a2 a6. （1）求数列an的通项公式等比数列an的各项均为正数，且2a1 3a2 1,a32一.1 设bnlog 3 al log3a2 log3 an,求数列 一 的刖项和bn6.（2015 全国 1） Sn 为数列an的前 n 项和.已知 an>0, a; + 2aa = 43n + 3（I）求an的通项公式：（R）设a,求数列九的前n项和 ancn.i-i.求数列通项公式和前n项和的常用方法答案1. (I)设等差数列a

6、n的公差为d,由已知条件可得& d 0, 2al 12d解得10,ai d1,1.故数列an的通项公式为an 2 n. 分(II)设数列事的前n项和为即Snai曳 L 鼻,故§1,2 n22 n Sn2a12a24anT.所以，当n 1时, 2naia2 一21 1(2 4(1 JLanan1an_ n1_ n221 2 n2n 12门 )2 n2nn2n所以Sn21T.综上，数列哥的前n项和Sn.7 / 72 .解(I)由题设，anan 1Sna 1, n 斜Sn 1 1两式相减得 an 1 (an 2 an)Hn 1 ,而 Hn 1 。，Hn 2 Hn(n) a1a2&#

7、167; 1a1 1 ,而 a1 1,解得 a21 ,又an令 2a2a1a3,解得4。此时 aa 1, 23, a35,ana2n 4an是首项为1,公差为2的等差数列。即存在 4,使得an为等差数列。3 .解,Sin = 1试题分析：（I ）苜先利用公式/。*得到数列/的递推公式j然后通过变换结合等§一打"比班列的定义可证$ （ 口）利用（I ）前修项和邑化为上的表达式，结合邑的值,建立方程可求得人的值.试题解析：。）由题意碍二$1=1-/吗，散上H1, %二:A，叫工0，1 -Z由£ = 1+21P $亚+尸1 +枇+i得一血，即凡（2-。=翘2.由研注0/

8、注0得/hOj所以也二二.玛人-1因此4是首项为工，公比为©的等比数列于是 =工（工尸.1 -Xz-11-X Z-1（口）由 3）1&=1一（£）1 由鸟="得1T1y=,即（1y = 2,A 132/- -1 j2 z 132解得上二一1 .4.解（I）因为数列an的前n项和Sn 3n2 8n , 所以a1 11 ,当n 2时，an Sn Sn 1 3n2 8n 3(n 1)2 8(n 1) 6n 5,又 an 6n 5对 n 1 也成立，所以an 6n 5 .又因为bn是等差数列，设公差为 d ,则an bn bn 1 2bn d .当 n 1 时，2

9、bl 11 d ；当 n 2 时，2b217 d ,解得d 3,所以数列bn的通项公式为bnan d2(an 1)n1 (6n 6)n1(bn 2)n (3n 3)n(3n 3) 2n 1 ,于是Tn 6 22 9 23 12 24（3n 3） 2n 1 ,两边同乘以2 ,得2Tn 6 23 9 24(3n) 2n 1 (3n 3) 2n2,两式相减，得Tn6223233243 2n 1 (3n 3)2n23 22(1 2n)(3n 3) 2n 2Tn12 3 22(1 2n) (3n 3) 2n 2 3n 2n 2232 25.解：（I）设数列an的公比为q,由a3 9a2a6得a3 9a4

10、所以q由条件可知a>0,故q故数列a n的通项式为1-cc一。由 2al 3a2 1 得 2al 3a2q31ano3n1-o91a 一 03(n ) bn log3a1log 3 a2. log3an(1 2 . n)n(n 1)2故二 bn2n(n 1)2(1 nbib2bn2(11(一n2n1所以数列1的前n项和为 2nn 16.解：由an2 an24Sn 3 ,可知 an 12an4Sn3.可得an 1an2(an 1a) 4an 1 即 2(an 1an)2an 12an(ana)(an 1 a)所以an(II)由0 可得 an1 an 2.又 a； 2a1 4a1 3 ,解得 a