创新设计(江苏专用)高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题四立体几何练习理

1、3专题四 立体几何练习 理立体几何高考定位 高考对本内容的考查主要有：（1）空间概念，空间想象能力，点线面位置关系判断， 表面积与体积计算等，A级要求；（2）线线、线面、面面平彳T与垂直的证明，B级要求.真题感悟考点整合 明考向花变点真题感悟1.（2015 江苏卷）现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为 2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新白底面半径为 .1 2 2 1 2 2解析 设新的底面半径为r,由题息得371r4+兀8=g兀X5X4+7tX2X8,解得r =7.答案 ,72.（2016 江苏卷）如图，

2、在直三棱柱 ABC-AB1C1中，D, E分别为AB, BC的中点，点 F在侧棱 BB上，且 BD，AF, AGXABi.求证：（1）直线DE/平面ACF;(2)平面BDEL平面A1GF.证明 （1）在直三棱柱 ABC- ABC中，AQ/AC在ABC4因为D, E分别为AB BC的中点,所以DE/ AC于是 DE/ AG.又DE平面ACF, A1C?平面ACF,所以直线DE/平面ACF.（2）在直三棱柱 ABC- ABC中，AA1平面 ABC.因为AC?平面 ABC,所以A1A1A1G.又 AGLAB, A1A?平面 ABBA1, AB?平面 ABEA1, AAA AB = A,所以 AG，平

3、面 ABBA.因为BD?平面ABBA,所以A10XB1D.又 BiD)±AF, AC?平面 AC1F, AF?平面 ACF,A1CAA1F= A.所以 BDL平面 ACF,因为直线BD?平面BDE 所以平面BDEL平面AGF.考点整合1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系四核柱底向是平行叫边呼平行六面体直四槌柱杈闾为'卜仃四.以直平行二面市LE方胫正四桂柱核及相等正方体捶匕长方体2.空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：S柱侧=ch(c为底面周长，h为高)；-1S锥侧=22(c为底面周长，h为余ta)；1S台侧

4、= 2(c+ c' )h' (c' , c分别为上下底面的周长，h'为斜局)；S球表=4兀R2(R为球的半径).(2)柱体、锥体和球的体积公式:V柱体=Sh(S为底面面积，h为高)；-1, ,一V锥体=三SKS为底面面积，h为局)；33.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理:(2)线面平行的性质定理:(3)面面平行的判定定理:a? a ,b?a , a/ b? a / a .a II a , a? 3 , a n 3 =b? a/ b.a? 3 , b? 3 , anb=P, a/ a , b/ a ? a(4)面面平行的性质定理：4.直线、平面

5、垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：(2)线面垂直的性质定理：(3)面面垂直的判定定理：a / 3, a n y = a, sriY=b?a/b.m? a , n? a , mA n=P, l ±m l ± n? l ± a a± a , b± a ? a b.a? 3 , a1 a ? a 1 3 .(4)面面垂直的性质定理：a _L 3 ,a ri 3 = l , a? a , a _L l ? a_L 3 .时热点析角度热点聚焦题型突破热点一空间几何体的有关计算问题AB【例1】(1)(2016 连云港调研)如图，在棱长为6的正方体

6、ABCD-口 ED耳BD贝U几何体ABCD 中，E, F分别在 CD与 CB 上，且 GE= 4, GF= 3,连接 EF, FB, EFC DBG勺体积为.(2)如图，正方体 ABCD-ABGD的棱长为1, E, F分别为线段 AA, BC 上的点，则三棱锥 D EDF勺体积为.(3)(2016 南京、盐城*II拟)设一个正方体与底面边长为243,侧棱长为#0的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为 .解析(1)如图，连接DF DC,那么几何体 EFC DBCt分割成三棱锥D- EFC及四棱锥 D- CBFC那么几何体 EFC BDC勺体积为V= 1X 1X 3X4X6+1X1X (3 +6

7、) X6X6= 12+54=66. 3 23 2故所求几何体EFC DBC勺体积为66.1111(2) VD- EDF= VF- DDE= 3SA DDE- ab= 3 X 2 X 1X 1 X 1.另解(特殊点法):让E点和A点重合，点F与点C重合,11 11贝 UVDEDF=3x&ACR DD= 3x2x1x1x1=6.(3)由题意可得正四棱锥的高为2,体积为3X(2 43)2X2=8,则正方体的体积为8,所以棱 长为2.1答案(1)66(2) 6 (3)2探究提高 (1)涉及柱、锥及其简单组合体的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线(面)，再分析几何体的

8、结构特征，从而进行解题.(2)求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求， 底面放在已知几何体的某一面上.(3)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法求解.【训练1】(1)(2014 江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S, 体积分别为 V1,%.若它们的侧面积相等，且 |1 = 9,则V1的值是.& 4 V(2)(2012 江苏卷)如图，在长方体 ABCDABCD中，AB= AD= 3 cm,口弓AA=2 cm,则四棱锥 A-BBDD的体积为 cm3.一(3)(2016 苏州调研)将半径为5的圆分割成面积之比为 1：2：3的三个

9、扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为1,2,八"3,则1+2+3= .32.2_Si 9 r i 9- r i解析（1）设两个圆枉的底面半径和图分别为ri,2和hi, h2,由k =得三二=二，则一S24% r 2 4 r 22 ,_ hi2 V兀rihi3由圆柱的侧面积相等，得 2兀rihi= 2兀r2卜2,即rihi= r2h2,则匚=不，所以，？=%.h23V兀2h|22(2)关键是求出四棱锥 A - BBDD的高，连接AC交BD于Q 在长方体中，AB= AD= 3,，BD= 3啦且 AC! BD又 BBL底面 ABCD BBXAC又 DBH BB= B,ACL

10、平面 BBDD,.AO为四黏t A-BBDD的高且AO= 1bD= 平. S矩形 BBDD= BDK BB=3#X2=6地， .VA-BBDD= 1s 矩形 BBDD- A0= ；x 6陋 x 孚=6(cm3). 3312（3）由题意可得三个扇形的弧长分别为52,9，5兀，分别等于三个圆锥底面圆的周长,335555 5 55= 6，r2= 3, r3= 2,所以+r2+r3=6+§+2= 5.3答案(i) 2 (2)6(3)5热点二空间中的平行和垂直的判断与证明问题微题型i空间线面位置关系的判断【例2i】（i）已知平面“、3 ,直线m n,给出下列命题：若 ni/ a , n / 3

11、 , m/ n,则 a / 3 ；若 a / 3 , m/ a , n/ 3 ,则 m/ n;若 mLa, n± 3 , ml n,则 a ± 3 ；若 a ± 3 , mL a , n, 3 ,则 m£ n.其中是真命题的是 （填写所有真命题的序号）.（2）（20i6 全国n卷）“，3是两个平面，3n是两条直线，有下列四个命题：如果 mL n, mL a , n / 3 ,那么 a ± 3 .如果mL a , n / a ,那么ml n.如果a / 3 , m? a ,那么m/ 3 .如果m/ n, a / 3 ,那么m与a所成的角和n与3所

12、成的角相等.其中正确的命题有.（填写所有正确命题的编号）解析（i）若m/ a , n/ 3 , m/ n,则a , 3可能平行或相交，是假命题；若 a / 3 / a , n/ 3 ,则n可能是平行、相交、异面中的任何一种位置关系，是假命题；由线面垂直的性质和面面垂直的判定可知是真命题，故真命题序号是（2）当ml n, mL a , n / 3时，两个平面的位置关系不确定，故错误，经判断知均 正确，故正确答案为.答案（2）探究提高 长方体（或正方体）是一类特殊的几何体，其中蕴含着丰富的空间位置关系.因此,对于某些研究空间直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直关系问题，常构造长方体（

13、或正方体），把点、线、面的位置关系转移到长方体（或正方体）中，对各条件进行检验或推理，根据条件在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，判断条件 的真伪，可使此类问题迅速获解.微题型2 平行、垂直关系的证明【例2 2（2015 江苏卷）如图，在直三棱柱 ABC- ABC中，已知 4K才ACL BC BC= CC.设 AB 的中点为 D, BCn BC= E：/求证：（1） DE/平面 AACC;A_（2） BC,AB.证明 由题意知，E为BC的中点，又 D为AB的中点，因此 DB AC鸟又因为D日平面AAGC, AC?平面AACC, 所以DE/平面AACC （2）因为棱柱 ABC-

14、ABG是直三棱柱,所以CC，平面ABC 因为AC?平面ABC所以ACL CG又因为 ACL BC CC?平面 BCCB, BC?平面 BCGB, BCn CC= C, 所以ACL平面BCCB.又因为BC?平面BCCB,所以BG± AC因为BC= CC,所以矩形 BCGB是正方形，因此BG± BC因为 AC BC?平面 BiAC AS BC= C,所以BC,平面BAC又因为AB?平面BACABCD所以BG±AB.【例2 3】（2016 昆明统考）如图，在侧棱与底面垂直的四棱柱AiBiCiD 中，AB/ CQ ABI BC 且 AA=AB= BC= 1, CD= 2.

15、（1）求证：AB,平面ABC（2）在线段CD上是否存在点 N,使得DN/平面ABC?若存在，求出三棱锥 N AAC的体积；若不存在，请说明理由(1)证明 因为四棱柱 ABCD- ABCiD的侧棱垂直底面，所以AA，平面 ABCD又BC?平面ABCD所以BCL AA,因为 BCL AB ABH AA=A, AB?平面 AABB,AA?平面AABB,所以BCL平面 AABB.又AB?平面AABiB,所以ABXBC；因为AiA± AB AA= AB= 1,所以四边形 AABB为正方形,所以AB±AB,因为 ABn BO B, AB, BC?平面 ABC所以AB，平面ABC (2)

16、解 法一 在线段CD上存在点N,且当N为CD的中点时，DN/平面 AiBC证明如下：连接 BN DN,因为 AB/ CD AB= 1, CD= 2,所以AB/ DM1. AB= DN所以四边形 ABND平行四边形，所以 BN/ AD且 BNh AD在四棱柱 ABCD AiBGD 中，AiD/AD且 AiD = AD所以 AD / BN且 AiD=BN所以四边形AiBNM平行四边形，所以 DN/ AiB.又DN?平面AiBC AiB?平面AiBC所以DN/平面ABCii连接AM AN AC所以 8ac后 8bc尸2* ixi=2，又 AiA，平面 ABCD 且 AA= i,所以 VNH AAC=

17、 VA-ACNh Sa acM AiA= 1xx i=i, 33 26即三棱锥N- AAC的体积为1. 6法二 在线段 CD上存在点 N,且当N为CD的中点时，DN/平面AiBC证明如下：取CD的中点M连接AN AM DN、MC因为四棱柱 ABCD ABCD 中，AB/ CD AB= i, CD= 2,所以 AB/CD,AiB=i, CD=2,所以AB / MC且ABi= MC,所以四边形 AiBCM为平行四边形,所以 AM/ BG且 AM= BG.又 BC/ BC 且 BO BiC,所以 AM/ BC且 AM= BC所以四边形AiBCM平行四边形，所以 ABH CM又 DIM= NC= 1

18、且 DIM/ NC所以四边形DMC由平行四边形，所以CM DN,所以DN/ AB 又DN?平面AiBC AiB?平面AiBC所以DN/平面ABC , ii连接AM AC所以 S»AACN= 5 X i X i = ,又 AiAL平面 ABCD 且 AA= i,所以 VN- AAC= VA-ACN= Sa acM AiA= !x?xi=!33 26即三棱锥N- AAC的体积为1.6探究提高 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型(i)证明线面、面面平行，需车t化为证明线线平行(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直

19、，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.【训练2】(20i6 苏北四市模拟)如图，在四B隹P ABCW, ABLACABL PA AB/ CD AB= 2CD E, F, G M N分别为 PR AR BC PD, PC 的中点.求证：(i) CE/平面PAD(2)平面EFGL平面EMN证明(i)法一 如图i,取PA的中点H,连接EH DH 又因为E为PB的中点， ,11所以 EH/ AB 且 EH= 2AB图1一- 八 1又 AB/ CD CD= 2AB所以EH CD且EHk CD所以四边形DCEHb平行四边形所以CE DH又DH?平面PADC日平面PAD因此，CE/平面PAD图2,

20、 ，一 一 ,1法二 如图2,连接CF.因为F为AB的中点，所以 AF= 5AB又 CD= 2AB所以 AF= CD 又 AF/ CD所以四边形 AFC泗平行四边形.因此CF/ AD又CF?平面PAD AD?平面PAD所以CF/平面PAD因为E, F分别为PB AB的中点，所以EF/ PA又EF?平面PAD PA?平面PAD所以EF/平面PAD因为 Cm EF= F,故平面 CEF/平面PAD又C曰平面CEF所以CE/平面PAD(2)因为E, F分别为PB AB的中点，所以EF/ PA又AB! PA 所以ABL EF同理可证 ABL FG又 EFA FG= F, EF?平面 EFG FG 平面

21、 EFG因此ABL平面EFG又M N分别为PR PC的中点，所以 MN/ DC 又 AB/ DC所以MN/ AB所以MN_平面EFG又MN平面EMN所以平面EFGL平面EMN内纳总结思维升华I探规律前失误1 .求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算 .(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解 .(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用 .(4)求解几何体的表面积时要注意 S表=S侧+ S底.2 .锥体体积公式为 V 1Sh,在求解锥体体积中，不能漏掉 ；

22、 333 .空间中点、线、面的位置关系的判定(1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例 (2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义.4 .垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法： 一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平 行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2)证明线线垂直常用的方法： 利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平

23、面即可，l，a , a?a ? l _L a.专题崩练对接高考I求落实迎高考一、填空题1. (2016 浙江卷改编)已知互相垂直的平面 a , 3交于直线l ,且直线mi n满足m/ a , n ± 3 ,给出下列结论： m/ l ； m/ n； n，l ； ml n.则上述结论正确的是 (填序号).解析 由已知，a n 3 =l , l? 3 ,又n，3 , n1l ,正确.答案2 .已知圆柱的底面半径为 1,母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为 .解析 利用圆柱的侧面积公式求解， 该圆柱的侧面积为 2兀x1X2 = 4兀，一个底面圆的面积 是兀,所以该圆柱的表面积为 4 %

24、 +2兀=6兀.答案 6兀3 . (2016 徐州、宿迁、连云港模拟 )已知圆锥的母线长为 10 cm,侧面积为60兀cm2,则此圆锥的体积为 cm3.解析 设圆锥底面圆的半径为 r,母线为1,则侧面积兀rl =10兀r = 60兀，解得r = 6,则高h = M 2- r2 =8，则此圆锥的体积为 彳兀2卜=彳兀x 36X 8 = 96兀. 33答案 96兀4 .如图所示，ABC匿正方形，PA1平面ABCD E, F分别是AC PC的中 限点，PA= 2, AB= 1,求三棱锥 C PED勺体积为 ./fA解析PAL平面ABCD，PA是三麴t P CED勺高，PA= 2.1A ABCD1正方

25、形，E是AC的中点，爵 f.CE*等腰直角三角形.AB= 1,故 CE= ED=号,Sace户 1CE- ED=?.乎二22224故 VC-PED= VP-CE-二 SL CED， PA= 1 . 1 . 2=1.33 46答案65 .如图，正方体 ABCD-ABCD中，AB= 2,点E为AD的中点，点 F在CD上，若EF/平面ABC,则线段EF的长度等于 .解析 EF/平面 ABC, EF?平面ABCD平面 ABCD 平面 ABC= AC . . EF/ AC又E是AD的中点，.F是CD的中点，即EF是AACD勺中位线,11EF= 2AC= 2*25=啦.答案 ,26 . （2016 镇江高

26、三期末）设b, c表示两条直线，“，3表示两个平面，现给出下列命题:若 b? a , C/ a ,则 b/ C;若 b? a , b/ C,则 C/ a ；若 C/ a , a，3 ,则 C, 3 ；若 C/ a , C, 3 ,则 a ± 3 .其中正确的命题是 （写出所有正确命题的序号）.解析 中直线b, C平行或异面，则错误；中 C/ a或C? a ,则错误；中C, 3的位置关系可能平行、相交或者直线在平面上，则错误；由线面平行的性质、线面垂直的性质、面面垂直的判定定理可知正确，故正确命题是.答案7. (2016 -苏、锡、常、镇调研 ）设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V

27、, S,底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2, S2,若1 = 3,则假的值为V2兀 S解析棱长为a的正方体的体积 V = a3,表面积S = 6a2,底面半径和高均为r的圆锥的体积%=不兀3,侧面积 S2= 2/2 % r2,则；7 = ：；31V2133兀则a= r,所以 兀S6a23 2ST -27 厂;8. （2016 无锡高三期末）如图，在圆锥 VO中，O为底面圆心,半径 OAL OB 且 OA= V0= 1,则O到平面VAB勺距离为AOB , VO=.6解析由题意可得二棱锥V AOB勺体积为V三棱锥VAOB= VA蝠边长为 也的等边三角形，其面积为乎x （淄）2=乎，设

28、点O到平面VAB的距离为h, 贝V三棱锥O VAB=工0VAB h=二 X RPh= V三棱锥 VAOB=1, 3326解得3即点O到平面VAB勺距离是丁3答案 二、解答题 9.（2014 江苏卷）如图，在三棱锥 P-ABO, D, E, F分别为棱PC ACAB 的中点.已知 PAL AG PA= 6, BC= 8, DF= 5.求证：直线PA/平面DEF (2)平面BDEL平面 ABC证明（1）因为D, E分别为棱PC AC的中点，所以 DB PA11又因为PA?平面DEFDE?平面DEF所以直线PA/平面DEF#(2)因为D, E, F分别为棱PC AC AB的中点，P/A= 6, BO 8,所以iDE/ PA DE= -PA= 3,iEF= 2BO 4.又因为 DF= 5,故 DU=DE+ EF2,所以/ DEF= 90° ,即 DEL EF又 PAL AC DB PA,所以 DEL AC因为 A6