初中数学一次函数和几何综合(一)教师版

1、记力一次函数和几何综合模块一：直线与坐标轴围成的面积i.一条直线和坐标轴围成的面积(1)求一次函数y kx b和坐标轴的交点坐标，即 (0, b)和 b, 0 ; k(2)直线和坐标轴围成的面积：S 1 | b | |b I2 k2.两条直线和坐标轴围成的面积(1)求两个一次函数的交点，联立方程组，解方程组；(2)求直线和x轴或y轴的交点，进行面积求解.模块二：几何中的割补思想和铅锤法对于平面直角坐标系下的任意图形的面积，都可以采用割补思想。遇到一个比较难处 理或不能直接处理的图形的面积，不妨尝试割补，让图像变得规则能够对面积间接的进行 求解.铅锤法：(1)求三个一次函数两两的交点坐标，联立方

2、程组，解方程组;(2)铅垂法求三角形面积：s 1水平宽 铅锤高.253模块一直线与坐标轴围成的面积例题1(1)求一次函数y-x 4的图象与两坐标轴的交点坐标,3并求出该一次函数与两坐标轴围成三角形的面积.(2)已知一次函数y kx 3的图象与x轴、y轴围成的三角 形面积为15,则此一次函数解析式为 .【解析】(1)设该一次函数与 x轴的交点为A,与y轴的交点为B.4得x 4 0,解得 x 3,故 A(3,0), OA 3; 3则 Sa ABC(2)得y1OA 23x104 ,故 B(0, 4)八 1OB - 3 42-33或 y x10【教师备课提示】这道题主要考查一条直线和坐标轴围成的图形面

3、积:(1)求一次函数y kx b和坐标轴的交点坐标，即 (0, b)和 ,0 ; k(2)直线和坐标轴围成的面积：S - | b| |- | .2 k例题22(1)已知两直线y x 3和y 2x 1,则它们与y轴所围成的三角形的面积是 3,与x轴围成的三角形面积是(2)已知直线li经过点A( 1,0)与点B(2, 3),另一条直线12经过点B,且与x轴相交于点 P(m, 0).求直线li的解析式；若 APB的面积为3,求m的值.(1) 3, 4; (2) y x 1; m 1 或 3.【教师备课提示】这道题主要考查两条直线和坐标轴围成的图形面积：(1)求两个一次函数的交点，联立方程组，解方程组

4、;(2)求直线和x轴或y轴的交点，进行面积求解.例题3b(k 0)过点 C(1,0),直线y x 2与x轴、y轴分别交于点A和点B,另一条直线y kx 且把 AOB分成两部分.(1)若AOB被分成的两部分面积相等，求(2)若4AOB被分成的两部分面积之比为(1) A(2,0)、C(1,0), OA 2, OC 1 ,.C 为 OA 的中点.SAboc SA ABC 将 B(0, 2)和 C(1,0)代入 y kx b, 得 k 2 , b 2 ;(2)本题有两种情形：过点C作直线11交AB于点R,或作直线12交y轴于点F2 ., Sa aobSacop21SAAOB6又OC，点己的纵坐标都为易

5、得P 3,22一、 P2 0, 一毛)+m 4 2把 Pi -,-3 3将 P2 0, 2 3和C(1,0)的坐标代入y kiX b ,求得ki 2和C(1,0)的坐标代入y k2x b2,求得k2-3b2【教师备课提示】这道题主要考查分面积比例的问题.模块二割补思想和铅锤法例题4四边形各顶点坐标分别为A(2,3) , B(1,0), C(5,2)(1)如图4-1,在平面直角坐标系中,D(6,0).则四边形 ABCD的面积为(2)如图4-2,在平面直角坐标系中，三角形各顶点坐标分别为A(4,0) , B(1,3), C(7,5),则4ABC的面积是55(“割”)(“补”)直角梯形).【解析】|

6、(1)答案：10.过A、C点作x轴垂线，垂足分别为 E、F.(2)答案：12.过B、C点作x轴垂线，垂足分别为 D、E. 则 SAABC S梯形 BDEC SA BDA S CEA .【教师备课提示】割补思想：割(割成梯形、三角形)；补(补成矩形、(笔h 区j例题51- - - - - - (1)如图5-1,已知一次函数的图象经过A( 3, 5), C(5, 1)两点，则 A0c的面积为.(2)如图5-2, 4ABC三个顶点的坐标分别为A(4,1) , B(5,5), C( 1,2),则三角形的面积为.1(3)已知直线l1：y x 2,L：y x 6,L：y x , I1与I2交于点A, I2

7、与I3交于点B,2I1与I3交于点C,则ABC的面积为.【解析】(1)答案：14.使用铅锤法，可以以 0点出发(0B为铅锤高)，可以以C点出发 (作平行于x轴的水平宽)，还可以以A点出发(作平行与x轴或y轴的直线，与0C或CO的延长线交于一点，再使用铅锤法)，最后一种情况需要讲一下.(2)铅垂线法得：21.2(3)铅垂线法得：12.【教师备课提示】这道题主要考查三条直线围成的图形面积：(1)求三个一次函数两两的交点坐标，联立方程组，解方程组；1(2)铅垂法求二角形面积：S 水平宽铅锤高；2一定要让学生理解并学会灵活运用铅锤法.例题6. 一五 如图，直线y x 1与x轴、y轴分别父十点 A、3内

8、作等腰RtAABC , BAC 90 ,如果在第二象限内，1Pa,1,且4ABP的面积与 ABC的面积相等，求2【解析】由题意得，y x 1 ,3B,以线段AB为直角边在 A象限一点a的值.八1金Wo 4、X57令y0,得$1,解得x点，故A（&,0）;令 x 0 ,得 y 1 ,故 B(0,1) . OA 战，OB 1 , 由勾股定理得，AB 2 ,SAABP Saabc 2.（割补法）连POSa aopSa bop由 Sa bopSa aobS AOPSa abpSa abc，得一2法二：（铅锤法） 思路：可以过 P点作x轴平行线（水平宽），求4ABP的面积;可以过P点作y轴平行线，交 A

9、B延长线于点D,再运用铅锤法.【教师备课提示】这道题主要考查含参的面积的计算：（1）这道题注意参数的取值范围,第二象限的点，a值为负数；（2）这道题在解法上也可以采用铅锤法, 通过总结发现当我们遇到有动点时一般考虑的是过动点去作铅锤线.教师备选【解析】 思路：可以割（铅锤法），可以补此题方法很多：分四为三，连接 AC,再运用铅锤法；分割成四个三角形和一个矩形；补成一个大的矩形等等.【教师备课提示】这道题主要是让学生们开动脑筋，对割补思想更加理解，对铅锤法的运 用更加熟悉.模块三一次函数和全等综合例题7（武侯区期末压轴） 如图7-1所示,直线 AB交x轴于点A（4, 0）,交y轴于点B（0, 4

10、）.(1) 标；(2)(3)DN如图，若C的坐标为（1,0）,在（1）的条件下，如图 7-2,且AH BC于点H , AH交OB于点连接OH,求证： OHP 45 ;如图7-3,若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连结DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子P,试求点P的坐MDS BDM过点D作Sadn的值是否发生改变，如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值.图7-2(1)由题意得， OA OB 4 .丁 AH BC 于 H OAPOPABPH OBC OAPOBC .在AOAP与OBC中，COBOA OBOAPPOA 90OBCHAOAPA O

11、BC(ASA), OP OC 1,则 P(0, 1).(2)过O分别做OM CB于M点,在四边形OMHN中， COM PON 90在ACOM与APON中,MON 360 MOP.COM OMC OC OPON3 90HA于90N点,ACOM PON(AAS).OM ONOHPHO平分CHA,CHA4.连接OD,BODMDOAOD 45NDA 90OAD 45MDAPONONP则OD90,OD AD59MDO NDA在 ODM 与 ADN 中， OD OADOM DAN 135.ODM ADN (ASA),-SA ODMSA ADN，SabdmSaadnSabdmSaodmSa bod1c111

12、1,Saob AOBO 4 4 422 22 2例题8平面直角坐标系内有两点A(4,0)和B(0, 4，点P在直线 AB上运动.(1)若P点横坐标为Xp2 ,求直线OP的函数解析式;(2)若点P在第四象限，作 BM OP于M,作AN OP于N,求证：MN BM AN ;(3)若点P在第一象限，仍作直线 OP的垂线段BM、AN,试探究线段 MN、BM、AN所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明.【解析】(1)设直线AB函数解析式为y kx b0 4kbk 14 bb 4y x 4 ,当x为2时，y 6 , P的坐标为(2,6).直线OP过原点，解析式为 y 3x(2)由题意可证 RtABM

13、ORtAONABM ON , AN MOMN BM AN .(3)如右图，证明 RtABMO RtAONA可得结论MN BM AN .【教师备课提示】 这道题实际上是在考查弦图，第三问中还是有一定的难度.复习巩固模块一直线与坐标轴围成的面积(1) 一次函数y 2x 3的图象与两坐标轴围成三角形的面积为 .3(2)两条直线y 3x 12, y 3 士 x与y轴所围成的三角形面积是2(3)已知一次函数 y kx b(k 0)图象过点(0, 2),且与两坐标轴围成的三角形面积为2,则一次函数的解析式为 .【解析】(1) 9 ； (2) 9; (3) y x 2或 y x 2 .4演练2(实外期末)如

14、图，直线li过点A(0,3)，点D(3,0),直线12：直线li, 12相交于点B.(1)求直线li的解析式和点B的坐标；(2)求4ABC的面积.4 5【解析】(1)直线11为：y x 3;点B，,一 .3 34 5点 C( 2,0) , D(3,0) , A(0,3 ， B -,-,3 33)10一； 311(法)割补法：SA ABC SA ACD SA BCD (2 3) 3 -(222(法二)铅垂线法：设直线 BC与y轴的交点E是(0,1),SA ABC12 (3 1)1061x轴于B,连接OA.(3)1如图，已知一次函数 y -x b的图象经过点 A(2, 3), AB2(1)求一次函

15、数的解析式；(2)求4AOB的面积；1(3)设点P为直线y-x b上的一点，且在第一象限内，2点P的坐标.【解析】(1) y-x 4;2(2) SA AOB 3 ；16 12, 55模块二割补思想和铅锤法 如图，直线l1：y 2x 4与x轴、y轴分别交于A, B两点,1 cI2 : yx 3直线2与x轴、y轴分别交于C, D两点.设直线11 , 12交于点P,求4ADP的面积.【解析】28 .求出A、B、D、P三点坐标，从 D点出发， 3若BD是铅锤高，P点与A点的横坐标之差为水平 宽，(水平宽和铅锤高情况不唯一).已知4ABC是边长为2的等边三角形，点A, B分别在x轴, 在第一象限内，且满

16、足 2&abp=Saabc ,求a的值.【解析】 而.可以用铅锤法，也可以连接 OP补全图形.演练6ADOB在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD各顶点的坐标分别为A( 1,3) , B( 3, 2),C(4, 3) , D(3,2),求四边形 ABCD面积【解析】28.此题方法很多：分四为三，连接 AC,再运用铅锤法;分割成四个三角形和一个矩形；补成一个大的矩形等等.模块三一次函数和全等综合演练7 已知：在平面直角坐标系 xOy中，点A(0, 4)、点B和点C在x轴上(点B在点C的左边) 点C在原点的右边， 作BE AC ,垂足为E (点E在线段AC上，且点E与点A不重合) 直线BE与y轴交于点D,若BD AC .(1)求点B的坐标；(2)设OC长为m, BOD的面积为S,求S与m的函 数关系式，并写出自变量 m的取值范围.(1)如图，由BODWAOC,可知BO AO 4,B点坐标为(4,0);(2)由(1)可知 DO OC m, . SS 2m , m的取值范围是0 m 4 .如图，直线AB : y x 点，以P为直角顶点， 于点K,当P点运动时, 请说明理由.演练86分别与x、y轴交于A、B两点，点P