初中数学-平面直角坐标系教师版

1、平面直角坐标系模块一：平面直角坐标系的概念1 .有序数对：(a, b)和(b, a)有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作 (a, b). 注意：有序数对是有顺序的，可以准确地表示出平面内一个点的位置,表示的意义是不同的.2 .平面直角坐标系：两条互相垂直的共原点数轴组成.水平的数轴叫做横轴( x轴)，取向右为正方向；竖 直的数轴叫做纵轴(y轴)，取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点.注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同.3 .点的坐标：如下图，由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足 A在x轴上的坐标是a,垂足B在y轴上的坐标是b,则点P的坐标为(a,

2、 b),其中a为点P的横坐标,4.象限和坐标轴：b为点P的纵坐标.(1)(3)(4)(5)(6)第一象限内的点第二象限内的点第三象限内的点第四象限内的点(x, y)的坐标满足:(x, y)的坐标满足:(x, y)的坐标满足:(x, y)的坐标满足:yAx轴上的点(x, y)的坐标满足：yy轴上的点(x, y)的坐标满足：xx> 0x< 0x< 0,x> 00 ；0；y yyy0 ；0 ；0；0.3A 一 x注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限.5 .坐标系中的特殊直线：(1)与x轴平行的直线：所有点的纵坐标都相等，即直线为(2)与y轴平行的直线：所有点的横坐标都相等

3、，即直线为(3) 一、三象限角平分线：横坐标与纵坐标相等，且直线为(4)二、四象限角平分线：横坐标与纵坐标互为相反数，且直线为6 .点到特殊直线的距离：|b m|;|a n| (1)点(a,b)到x轴的距离为|b|;到直线y m (m为常数)的距离为(2)点(a,b)到y轴的距离为|a|;到直线x n ( n为常数)的距离为模块二：平面直角坐标系中点的变换1 .坐标系中的平移：(1)将点(x, y)向右(或向左)平移 a个单位可得对应点(x a, y)或(x a, y).(2)将点(x, y)向上(或向下)平移 b个单位可得对应点(x, y b)或(x, y b).总结：点的左右平移横坐标满足

4、左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减.2 .坐标系中的对称：(1)点P(a, b)关于x轴的对称点是P'(a, b),即横坐标不变，纵坐标互为相反数.(2)点P(a, b)关于y轴的对称点是P'( a, b),即纵坐标不变，横坐标互为相反数.总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数.(3)点P(a, b)关于坐标原点的对称点是P'( a, b),即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.(4)点P(a, b)关于点Q(m, n)的对称点是 P'(2m a, 2n b).(5)点P(a,b)关于x m的对称点是 P'(2m

5、a,b).(6)点P(a, b)关于y n的对称点是 P'(a, 2n b).(7)点(x, y)关于一三象限的平分线的对称点为(y, x).(8)点(x, y)关于二四象限的平分线的对称点为(y, x).模块三：两个公式(1)中点公式：若 A(xi,yi)、B(x2,y2),则 AB 中点 C 坐标为： x1 x2 , y1 y2 ；222 一一 2(2)两点距离公式：已知两点：A(x1,y1)、B(x2,y2),则 AB Jx1x2(y1y2).(都可以由这两个点来构造直角三角形进行推导，中点公式用中位线，距离公式用勾股定理推导)模块平面直角坐标系的概念例题1(1)点(a 1, 2

6、 a)在第一象限，则 a的范围为 .(2)已知点(2 a, 2a 1)在第二象P则点(a 2, 2 5a)在第 象限.(3)已知点(a 3,1 a)在第三象限且它的坐标都是整数，则该点的坐标 .(4)点(3 m,1 m),若在x轴上，则该点坐标为 ;若在y轴上，则该点坐标 为.(5)已知点A(a 2,3b)在第一象限，点B(4 a,b 3)在第四象限，若a, b都为整数，则 2a b .【解析】| (1)1 a 2 ; (2)四；(3) 1 a 3,a 2, 点的坐标为(1, 1)；(4) (4,0) , (0, 4) ; (5) 7 或 8.【教师备课提示】这道题主要考查四个象限和坐标轴上点

7、的横纵坐标的关系.例题2(1)点P(2x,x 3)在第一象限坐标轴夹角平分线上，那么点Q( x 2,2x 3)的坐标为(2)已知点A(3a 5,5a 3)在第二、四象限的角平分线上，则a2009 a的值为.(3)已知点P(2x,x 3)在坐标轴夹角平分线上，则点Q(x 2,2x 3)的坐标为(4)过点(3,5)且与x轴平行的直线是 ,与y轴平行的直线是 .(5)线段AB的长度为3并且平行于x轴，已知点 A坐标为(2, 5),则点B的坐标为(6)若过点P和点A(3, 2)的直线平行于x轴，过点P和B( 1, 2)的直线平行于y轴，则 点P的坐标为.【解析】(1) Q( 1,9 ； (2)2; (

8、3) (3,1)或(1,9); (4) y 5, x 3;(5) ( 1, 5)或(5, 5) ; (6) ( 1,2).【教师备课提示】这道题主要考查平面直角坐标系中特殊的直线.例题31s (1)点A( 3,4)到横轴的距离为 ,到纵轴的距离为 (2)点A到x轴的距离为1,到y轴的距离为3,该点坐标为 ).D. (0,3)或(3,0)(3)若x轴上的点P到y轴的距离为3,则点P坐标为(A . (3, 0)B . (3, 0)或(3,0)C. (0,3)(4)点A(3,1)到直线x 1的距离为,到直线y 1的距离为(5)在平面直角坐标系中，点A. 5B.1P(a, b)到直线x 2的距离为C.

9、 5 或 13,则a的值为()D. 5 或 1(6)点M (2a 1,1 a)到直线y 1的距离为1,求M的坐标.【解析】(1) 4, 3; (2) (3,1)、(3, 1)、( 3,1)、( 3, 1); (3) B; (4) 4, 2; (5) C;(6)|(1 a) 1| 1 , a 1 , 点 M 的坐标为(3,0)或(1,2).【教师备课提示】这道题主要考查点到特殊直线的距离.例题4x轴距离为2,则该点坐标为x轴距离为4,则该点坐标为(1)在一三象限的角平分线上有一点到 在二四象限的角平分线上有一点到(2)已知点(m 1,3m 4)到x轴、y轴的距离相等，那么该点坐标为模块二平面直角

10、坐标系中点的变换O例题5(1)点A( 2,2)向上平移3个单位，再向右平移5个单位得到点 A ,点A的坐标为(2)点A(m,n)向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到点 A (2, 3),则A的坐标为(3)在平面直角坐标系中有一个已知点 A,现在x轴向下平移3个单位，y轴向左平移2 个单位，单位长度不变，得到新的坐标系，在新的坐标系下点A的坐标为(1,2),在旧的坐标系下，点A的坐标为.【解析】(1) (3,5) ; (2) (3,5) ; (3) ( 3, 1).【教师备课提示】这道题主要考查点的上下左右平移.例题6(1)如图6-1 ,在平面直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得

11、到的，左边图案中左、右眼睛的坐标分别是(4, 2) , ( 2, 2),右边图案中左眼的坐标是(3 4),则右边图案中右眼的坐标是.(2)如图，把图6-2中的0A经过平移得到 Qo (如图6-3),如果图6-2中0A上一点P 的坐标为(m, n),那么平移后在图 2中的对应/ P的坐标为 .图6-1y0-2y图#32【解析】(1)左眼坐标由(4, 2)变为(3 4),由此可知由左图得到右图是向上平移2个单位，向右平移7个单位，从而得到右眼平移后的坐标为(5 4).(2) (m 2, n)；0A向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到Qo .【教师备课提示】这道题主要考查整个图形的平移，

12、则所有点的平移规律都是一样的.例题7(1)点P(35)关于x轴对称的点的坐标为()A.( 3,5)B.(5,3)C.( 3,5)D.(3,5)(2)点P( 2,1)关于y轴对称的点的坐标为()A.( 2,1)B.(2,1)C.(2, 1)D.( 2,1)(3)在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于原点对称点 P'的坐标是【解析】(1) D; (2) B; (3) ( 2,3).【教师备课提示】这道题主要考查基本的关于x轴、y轴和原点的对称.例题82(1)已知点P(x, y)的坐标满足万程|x 1| (y 2)0 ,则点P关于x轴的对称点在(A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四

13、象限(2)点P(a, 3)和点P2( 2,b)关于y轴对称，则a , b .(3)(嘉祥半期)在直角坐标系中，已知点 P( 3,2),点Q是点P关于x轴的对称点，： 点Q向右平移4个单位得到点R,则点R的坐标是 .(4)已知点P(a 1,2a 1)关于x轴的对称点在第一象限，求 a的取值范围.(5)点P(2,3)关于直线x 3的对称点为 ,关于直线y 5的对称点为 【解析】| (1) C;(2) 2, 3;(3) (1, 2);1(4) 1 a 1；2(5) (4,3), (2,7).【教师备课提示】这道题主要考查点的对称，相对要综合.例题9 - - - - - - - - 1- - - -

14、- - - - - - - - - - - - - -如图，在平面直角坐标系中，直线 l是第一、三象限的角平分线.(1)实验与探究：由图观察易知A(2, 0)关于直线l的对称点A'的坐标为(0, 2),请在图中分别标明；B(5,3), C( 2,5)关于直线l的对称点B、C的位置，并写出他们坐标：B, C .(2)归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点 P(a, b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为 (不必证明).一；一【解析】(1) B(3,5) , C (5, 2) ; (2) (b,a).【教师备课提示】这道题主要考查关于一三

15、象限的角平分线的对称点，建议老师讲解时带 着孩子做这道题时总结(顺便提及一下二四象限的角平分线的对称点情 况).模块三两个公式例题10- - - - - - - - .一 - - - - - - -(1)在平面直角坐标系中，点P(2,4)到原点的距离是 .(2)在同一直角坐标系中，点A坐标(2, 1)、点B坐标(3, 4),则线段AB的长度为(3)若点A( 1,4)、B(3,2),则线段AB的中点坐标是 .(4)线段AB的中点坐标C(1,4),且已知A( 3,3),则点B坐标是.(5)点(2,3)关于点(1,2)对称的点是 .(6)已知点M(1,5),点N( 3,1),则线段MN的中点到原点的

16、距离为 .【解析】(1) 2M(2)扃；(3) (1,3);(4)(5,5);(5)(4,1);(6)屈.【教师备课提示】主要记住两点间距离公式和中点坐标公式.两个公式都可以由已知的两 个点构造直角三角形进行推导，中点公式用三角形中位线，距离公式用 勾股定理推导.记 1笔»(区力复习巩固模块一平面直角坐标系的概念.(1)点(2a 2,1 a)在第一象限，则 a的取值范围是 .(2)在直角坐标系中，点P(2x 6, x 5)在第四象限，则x的取值范围是 .(3)点(a2 l,a2 1)在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】| (1)1 a 1 ; (2) 3

17、x 5; (3) B.演练2 _ (1)已知|x 2| (y 3)2 0 ,则P(x, y)的坐标为 ,在第 象限.(2)如果点M(1 x,1 y)在第二象限，那么点 N(1 x, y 1)在第 象限.(3)已知点A(m, n)在第二象PM,则点 B(|m|, n)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(4)已知点(2a, a 1)在y轴上，则该点坐标为 .【解析】(1) P(2, 3),在第四象限； 三；(3) D; (4) (0,1).(1)若点A 1,1在第二象限的角平分线上，则 m 3 m,1 . _* _(2)点 2,1在第三象限的角平分线上，则 a .(3)若点M在

18、第一、三象限的角平分线上，且点 M到x轴的距离为2,则点M的坐标是 ( )A. (2,2)B. ( 2, 2) C. (2, 2)或(2, 2)D. (2, 2)或(2, 2)(4)点A的坐标为(3, 1),点B的坐标为(3, 3),则线段AB所在的直线与x轴的位置关 玄早(5)已知：A(4, 0),点C在x轴上，且 AC 5.则点C的坐标为.(6)已知：点 A坐标为(2, 3),过A作AB/X轴，则B点纵坐标为()A. 2B.3C.1D.无法确定【解析】(1) 3; (2)1; (3) C; (4)垂直；(5) ( 1,0)或(9,0) ; (6) B.2演练4(1)点P( 5,4)到x轴距

19、离为,到y轴距离为 .(2)若点P(a, b)到x轴的距离是2,到y轴的距离是3,则这样的点P有()A.1个B.4个C. 3个D. 2个(3)已知点P(2 a, 3a 6),且点P到两坐标轴的距离相等，则点 P的坐标是.(4)点(2,3)到直线y 2的距离为 ,到直线x 7的距离为.(5)如果点M在第三象限，且点M到x轴距离为3,到y轴的距离为4,求点M的坐标.(1)将点P( 4,3)先向右平移2个单位，再向上平移 1个单位后，则得到点 P的坐标为 ( )A. ( 2,2)B. ( 6,2)C. ( 6,4)D. ( 2,4)(2)点A向左平移3个单位，再向下平移1个单位到点(1, 3),则点A的坐标为 .(3)在平面直角坐标系中