一级倒立摆系统的鲁棒方差控制

1、一级倒立摆系统的鲁棒方差控制RobustVarianceControlforanInvertedPendulumZENGLin-sen，YANGTie-bao，MIAOJian-wei(SchoolofMechanicalEngineering，SouthwestJiaotongUniversity，Chengdu610031，China)：Invertedpendulumisanonlinear，multivariable，unstableuncertainsystem.Thispaperproposesarobustvariancecontrolmethodtohandlemodeling

2、errorsandexternaldisturbances.Thecontrolsystemnotonlyhasacertaincovariancetoensureitsstability，butalsocansuppresstheinfluenceofinterferenceonthesystem.SimulationresultsshowthattheinvertedpendulumsystemwiththerobustvariancecontrolhasbetterdynamicsandstabilityperformancethanthatofconventionalLQcontrol

3、.对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如鲁棒问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理不稳定性问题的能力1。所以对倒立摆系统的控制研究具有重要的理论意义和实际应用价值。运用现代控制理论的许多结果研究倒立摆系统都是基于对象的一个数学模型，根据系统的性能要求，通过对被控对象的数学模型进行分析来设计系统的控制律，进而将所得到的控制律应用于被控对象来保证闭环系统具有所期望的性能2 。但是真实的倒立摆控制系统总是在不断变化的环境中运行，使用精确的数学模型设计出的控制规律往往是很难保证具有所期望的性能要求。近年来随着控制方法研究的不断发

4、展，各种新的控制方法被提出，如模糊控制3,云模型控制4,H8控制5,神经网络控制67等等，以上控制方法运用于倒立摆系统的研究89，已经获得了很好的控制效果。然而将这些控制方法与鲁棒控制相结合，有些的控制稳定状态方差较大10，有些动态性能不理想11，有些输出力上限并非最小12。基于此点，该文以一级倒立摆为例，提出采用鲁棒方差控制13与不确定性鲁棒H8最优控制理论网相结合的方法设计出同时具有如下三方面性能的鲁棒控制器就能进一步改善系统的性能。(1)为了使控制系统在存在不确定性和外界的扰动的情况下，仍然能使系统稳定并保持所希望的性能。(2)通过使系统稳定状态方差不超过一定的上界来确保闭环控制系统具有

5、所预期期望的性能。(3)设计最小能量的方差控制器是更具有实际意义，其意义在于使得控制器K的各参数值较小，利于实际控制。1 问题描述考虑不确定性系统如下：x(t)=(A+AAx(t)+(B+AB)u(t)+Da(t)z(t)=Cx（t）（1.1）x(t)为系统的状态，u(t)为系统的控制输入，3(t)为外界对系统的扰动，z(t)为系统的输出，A、B和C为常数矩阵，AA,AB为具有一定维数的不确定时变的矩阵并且满足以下等式：AAAB=NFE1E2(1.2)其中N,E1,E2为已知定常矩阵，F为不确定性函数矩阵，并且满足以下等式：FTFWI(1.3)丫为一给定的正数，Pii是稳态状态方差矩阵的对角线

6、上的第i个元素，R是一个给定的正定加权矩阵，系统具有如下性质：(a)闭环系统时渐进稳定的且从系统的外部扰动输入(t)到系统输出z(t)的传递函数Tzw(S)的伸8的范数Tzw(S)P440满足Riccati方程：PA+ATP+Q-PBR-1BTP=0(2.2)2 .2鲁棒控制器设计对于AA中0,AB中0和3(t)中0不确定系统(1.1)和性能指标(a),存在状态反馈控制律u(t)=-Kx(t),使得不确定性闭环鲁棒系统稳定的充分必要的条件是存在适当正数丫>0、£>0和矩阵P=PT>0、K使得(1)闭环系统渐近稳定；(2)从系统的外部扰动输入3(t)到系统输出z(t)

7、的传递函数Tzw(S)的Hs的范数Tzw(S)图2鲁棒方差控制与LQ控制时小车的位移曲线和速度曲线的仿真图3鲁棒方差控制与LQ控制时摆杆角度曲线和角速度曲线的仿真图2、图3为用鲁棒方差控制与LQ控制时，系统输出响应在稳定性能和动态性能上的对比效果。图2中鲁棒方差控制最大负向位移为0.1089m左右，最大正向位移为0.0033m左右，达到稳定的时间约为2.67s;而LQ控制控制最大负向位移为0.1183m左右，最大正向位移为0.0450m左右，达到稳定的时间约为7.34so鲁棒方差控制稳定性明显优于LQ控制。图3中鲁棒方差控制的负向最大为0.0299,正向超调量为0.0117,远小于LQ控制的负向最大为0.0784，正向超调量为0.0944；在摆杆角速度的响应稳定时间上，LQ控制约为7.31s,鲁棒方差控制仅约为1.72s。但是，动态响应时间明显缩短，动态响应效果得到了提升。图4鲁棒方差控制和鲁棒方差最小能量控制时控制力曲线的仿真图4为用鲁棒方差控制与最小能量鲁棒方差控制时，控制力输出的对比效果。在1s之内能量输出偏离0的距离有明显的差距，在1s之外几乎没有差距。经过计算得出鲁棒方差控制的能量上界为J2(u)<4.0343,最小鲁棒方差能量上界为J'2(u)<1.1386。能量上界明显减小。5