余弦定理公式的含义及其证明

1、余弦定理公式的含义及其证明少三(2)宋伊辰 在做参考书的时候，我有时会遇到“一个一般三角形的两边长及其夹角的度数，要求第三边长度的情况。与直角三角形不同，这时直接求第三边长显得有些困难，往往要花很大力气。那么，有没有什么方法可以直接求解呢？我向爸爸提出了我的疑问。“可以用余弦定理求啊。"他答复道。“余弦定理是什么？"怀着满腹的疑问，我开始上网搜寻答案。余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类三角形两边及夹角求第三边或者是三个边求角的问题。同理，也可描述为:如左图所示，在 AABC中，余弦定理可表示为

2、c2 = ?2 + b2 -2 汕 cos(卩)b2 =c2 + a2 -2MC0S(0) a2 = b2 + c2 -2fcccos(a)勾股定理杲余弦定理的特例当T为90。时cos(y) = 0；余弦定理可简化为 X二/十於即勾股 定理。那么，我们又如何证明余弦定理的成立呢？我又对此展开了探究。力R右面命云 A ARCr卜懾宣c = acos(0) + bcos?r竣竺：甘面冷 后盂卜丿c徂互II?c2 = flccos(/5) + &c<os(ff2a = accost)+aF?制 +屏=accos(A) + t?Acos(y) + Accc?s(a) + 必 co5()o

3、2 + b2 = occos(A) + bccos(a) + 血& s、汐耳a2 + i?2 = c2+ 2 皿 cos(y)c2 = a2 + b2 -2afecos(y)+ 0bcos(y)BC=b, AC二c以B为圆心，以长边 AB为半径做 圆(这里要用长边的道理在于，这样能 保证C点在圆内)。延长BC交0B于点D和E.DC=a-b, CE=a+b, AC=c ? ?AG=2acoso( .'.CG=2acosa-co? DCxCE=ACxCG(a-b)(a+b)=c(2acoso(-c)化简得:b2 -a1 +c2 +2ac(cosa)法三(平面几何)：在 ZABC 中

4、， AC 二 b, BC=a, ZC=y?求 c。过点A作AD丄BC于D,B? ? AD 二 AGsiny 二 b? siny, CD 二 AGcosy 二 b? cosy .? BD 二 BC-CD 二 &- b*cosy在 RtAABD 中，乙 ADB 二 90。/. AB2 = AD1 + BD2 = (b-si ny)2+ (a- b-cosy )2=a2 -b2 - 2abcosy法四(解析几何)：a.、以点c为原点0, AC为x轴，建立如右图所示的平面直角坐标系。4 A ABC 中，AC=b, CB=a, AB=c,那么 A, B. C 点的坐标分别为 A(b, 0),B(

5、acosCt asinC) f C (0f 0).AB 2=(6/cosC-Z?)2 +(asinC-Of=cr cos2C-2n/?cosC + /?2 +a2 sin2C=cr +b 2 -2"cosC即 c2 = a2 +b 2 -2abcosC个公式在实经过一番思考和尝试，我成功地运用多种方法证明了余弦定理公式。那么，这 际的题目当中有什么应用呢？网上的资料给了我答案。余弦定理可应用于以下两种需求：1、 当三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出角的对边。2、 当三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。 余弦定理还可以变换成以下形式：a = b2 + c2 -2bccosA.b2 +c2 -a2 cos A =2bcb = yc2 +a2 - IciccosBn c2 +a2 -b2cos B =2cac = la2 +b2 -2cibcosCc a2+b2-c； gosC =由此看来，余弦定理是一个简洁却