高二数学独立重复试验(章承国)

1、高二数学独立重复试验教学目标:理解独立重复试验的概念,明确它的实际意义;n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式;了解概率计算公式与二项式定理的内在联系教学重点:n次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率计算公式教学难点:独立重复试验的判定教学过程:一、创设情境,引出课题:问题:(1在投掷一枚硬币一次时,正面向上的概率为p,那么反面向上的概率是多少?(1-p(2在投掷一枚硬币两次时,第一次反面向上的概率是多少?第二次反面向上的概率又是多少?(都是1-p(3投掷一枚硬币n次时,第k次反面向上的概率会是多少?(1kn,kN (4在投掷一枚硬币n次时,第m次出现正面向上,对第k次出现反面向上

2、的概率有没有影响?(没有(5在投掷一枚硬币n次时,其中任何两次之间出现正面或反面的事件是相互独立的还是互斥的?二、独立重复试验:1 什么是独立重复试验?如何判定?(1定义:指在同样条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验(2练习:判断下列试验是不是独立重复试验,为什么?a依次投掷四枚质地不同的硬币。(不是b某人射击,击中目标的概率是稳定的;他连续射击了十次。(是 c口袋中装有5个白球、3个红球、2个黑球,依次从中抽取5个球。(不是(3评议:a是试验的条件不同。c是试验的结果有三种。然后归纳出独立重复试验的基本特征:(A每次试验是在同样条件下进行。(B各次试验中的事件是相互独立的。(C每次试验都

3、只有两种结果、即某事件要么发生要么不发生。2.如何推导独立重复试验的概率公式?它与二项式定理有什么关系?(1问题:a 某射手射击一次时,击中目标的概率为,他连续射击4次。是不是独立重复试验?(是b 射击4次时,恰好第一枪未击中的概率是多少? P(1=(1-p·p·p·p=(1-pp3c 问射击4次时,恰好第二枪未击中的概率是多少?恰好第三枪未击中的概率是多少?恰好第四枪未击中的概率是多少?P(2=p(3=p(4=(1-p p3d某射手射击4次时,恰有三枪击中时,共有几种情况?e某射手射击4次时,恰有三枪击中的概率是多少?f请思考,某射手射击4次时,恰有两枪击中的概

4、率是多少?恰有一枪击中的概率又是多少?g若射手射击6次,恰有三枪击中的概率是多少?h若某射手射击n次,那么恰有k枪击中的概率是多少?(2引导归纳:n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式一般地,如果在1次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率knkknnPPCkP-=1(或knkknnqpckP-=(其中q=1-p,一次试验中事件发生的概率为p.三、讲解范例:例1.某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留两个有效数字:(15次预报中恰有4次准确的概率;(25次预报中至少有4次准确的概率解:(1记“预报1次,结果准确”为事件A .预报5次

5、相当于5次独立重复试验,根据次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率计算公式,5次预报中恰有4次准确的概率4454455(40.8(10.80.80.41P C -=-= 答:5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.(25次预报中至少有4次准确的概率,就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和,即4454555555555(4(5(40.8(10.80.8(10.8P P P P C C -=+=-+-450.80.80.4100.3280.74=+ 答:5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74.例2.某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14,求1小时内5台机床中

6、至少2台需要工人照管的概率是多少?(结果保留两个有效数字解:记事件A =“1小时内,1台机器需要人照管”,1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率55513(0(1(44P =-=, 1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率145511(1(144P C =-, 所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为551(0(10.37P P P =-+答:1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为0.37. 点评:“至多”,“至少”问题往往考虑逆向思维法例3.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就

7、算胜出并停止比赛.(1试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率.(2按比赛规则甲获胜的概率. 解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为12,乙获胜的概率为12. 记事件A =“甲打完3局才能取胜”,记事件B =“甲打完4局才能取胜”,记事件C =“甲打完5局才能取胜”.甲打完3局取胜,相当于进行3次独立重复试验,且每局比赛甲均取胜甲打完3局取胜的概率为33311(28P A C =. 甲打完4局才能取胜,相当于进行4次独立重复试验,且甲第4局比赛取胜, 前3局为2胜1负甲打完4局才能取胜的概率为2231113(22216P B C =. 甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复

8、试验,且甲第5局比赛取胜,前4局恰好2胜2负甲打完5局才能取胜的概率为22241113(22216P C C =. (2事件D =“按比赛规则甲获胜”,则D A B C =+,又因为事件A 、B 、C 彼此互斥,故1331(816162P D P A B C P A P B P C =+=+=+=. 答:按比赛规则甲获胜的概率为12.四、课堂练习:1.每次试验的成功率为(01p p <<,重复进行10次试验,其中前7次都未成功后3次都成功的概率为( (A 33710(1C p p -(B 33310(1C p p -(C 37(1p p -(D 73(1p p -2.某车间有5台车

9、床,每台车床的停车或开车是相互独立的,若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为31,求:(1在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率;(2至少有一台处于停车的概率3.种植某种树苗,成活率为90%,现在种植这种树苗5棵,试求:全部成活的概率; 全部死亡的概率;恰好成活3棵的概率; 至少成活4棵的概率4.(1设在四次独立重复试验中,事件A 至少发生一次的概率为8081,试求在一次试验中事件A 发生的概率2某人向某个目标射击,直至击中目标为止,每次射击击中目标的概 率为13,求在第n 次才击中目标的概率答案:1. C 2.(1(323551240333243P C = (2(5552211113243

10、P B P B C =-=-= 3.5550.90.59049C =; 5550.10.00001C =; (3325530.90.10.0729P C =; (55450.91854P P P =+= 4.(123P = (2 112(33n P -= 五、课堂小结 :1.独立重复试验要从三方面考虑第一:每次试验是在同样条件下进行的事件是相互独立的第三,每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生2.如果1次试验中某事件发生的概率是P ,那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为 ,对于此式可以这么理解:由于1次试验中事件A 要么发生,要么不发生,所以在n 次独立重复试验中A 恰好发生k 次,则在另外的n k -次中A 没有发生,即A 发生,由(P A P =,(1P A P =-所以上面的公式恰为n P P 1(+-展开式中的第1k +项,可见排列组合、二项式定理及概率间存在着