初中数学动态几何问题探讨

1、、课题容： 初中动态几何问题研讨二、问题梳理1、动态几何问题是初中数学中教与学的一个重点和难点，也是中考命题中经常考查的容。动态几何一般是指在一个几何图形的背景下，由点、线等简单图形通过在运动过 程中构成新的几何图形，由此而产生的问题。2、动态几何问题一般包括题型：点动、线动、图形动等类型，其核心是函数 知识，不仅包括空间观念、应用意识、推理能力等容，而且表达了运动观点、方程思 想、数形结合思想、划归思想和分类思想等数学思想，同时还包含解方程、相似三角 形、三角函数和整式运算等知识，故要求具有较强的分析、推理、计算综合解决问题 的能力。3、动态几何问题最突出的特点就是图形是运动的、变化的，解决

2、动态问题时：首先 需要把动态问题静态化，化为几个静态的过程，“以静制动，抓住变化中的“不变量， 以不变应万变；其次，考虑问题要全面化，经常会遇到分两种或多种情况来解决的问题， 比照拟常见的分情况考虑的问题要熟悉，例：说到等腰三角形的角要考虑是顶角还是底 角，说到等腰三角形的边要考虑是底边还是腰；其三，将几何图形简单化，学会利用几 何图形来分散难点、降低难度，并从特殊位置点着手确定自变量取值围；第四，动态试 题作为选拔性试题难度较大，但入口容易。三、实现目标1、让学生具有能分析动态问题的思路， 不再对几何动态问题感到陌生， 增强学生解 题的自信心2、让学生理解并掌握数形结合的解题思想与解题技巧3

3、、培养学生具备全面分析问题的能力，掌握知识的连贯性和多面性四、教学重难点1、重点：用浅显易懂的语言教会学生分析动态几何问题2、难点：培养学生将动态问题转化为静态问题的思维模式五、典型例题透析例1、如图，在梯形 ABCD中, AD/ BC, E是BC的中点，DAD=5 BC=12 CD=42，/ C=45°，点 P是BC边上一动点，7设PB的长为x 。/B PEC1当x的值为时，以点P、A、D E为顶点的四边形为直角梯形；2当x的值为时，以点P、A、DE为顶点的四边形为平行四边形；3点P在BC边上运动的过程中，以点P、A D E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由分析(1)注意P点的

4、位置，如图1,过点A作AP 1丄EC交EC过点D作DP 2丄EC交EC于点P 2，满足条件的点应C(2)注意P点的位置，如图2，过点A作AP3 /DE ,交EC于点P 3，过点D作DP /AE交EC于点P4满足条件的点应有两个所以四边形AEPD3由2可知，当e p = 1 1时，以点 点的四边形是平行四边形，通过计算可知，此时 菱形解略P、A、D E为顶DP =5=AD，有两个注：方法与规律1、在探讨图形的形状时，一定要抓住图形的已有特征，添加缺乏的局部，如 1 中的四边形APED已经是梯形，要成为直角梯形，只需添加腰垂直于底边即可， 2中 四边形APED已有AD/ PE要成为平行四边形，只需

5、添加另一组对边平行或 AD=PE!卩可;2、对存在性的探讨，注意其特殊性，同时注意各小题之间是独立的关系，还是从属的关系，如3中四边形APEDg成为菱形，它必须是平行四边形，故只需讨论2 中的两种特殊情况即可；3、应注意点的运动方向和位置，以防漏解。例2、 2021如下列图，抛物线 y=ax2+bx+ca工0的顶点坐标为 Q2,-1,且与y轴交于点C0,3,与x轴交于A、B两点点A在B点E的右侧，点P是该抛物线 上一动点，从点C沿抛物线向点A运动点P与点A不重合AC于点Do1求该抛物线的函数关系式；2当厶ADP是直角三角形时，求点P的坐标；3在问题2的结论下，假设点E在X轴上，点F在 抛物线上

6、，问是否存在以点 A、P、E、F为顶点的平行四边 形？假设存在，求点F的坐标；假设不存在，请说明理由分析21利用抛物线的顶点式：y=a x+h+ k a丰0很容易求出函数关系式为：y=x2 - 4x+3.2 要解决第二个问题，首先，由于点 P是从点C沿抛物线运动到点A,从直观上判 断，有哪些点能使AADP为直角三角形？其次，注意直角顶点的可能性，可判断出分两 种情况： 当点P ,为直角顶点时，点P ,与点E重合，如下列图令 y = 0，得 x2 -4x+3 = 0，可解得：x 1 =l，x 2 = 3点A在点E的右边El，0，点 A3，0点 P 1 l，0 当点A为AAPD 2的直角顶点时，如

7、下列图/ OA = OC，ZAOC=9 0 /.ZOA D2 =45当Z D2AP 2 = 9 0 0 时，ZOAP 2 =45 °， / AO 平分 ZDAP又 P2D2 /y 轴，/ P2D2 丄AO , P2、D2 关于 X轴对称设直线AC的函数关系式为：y=kx+b,将A3，0，C 0, 3代入上式得：k=-1，b=3/ y=-x+3/ D2 在 y=-x+3 上, p 2 在 y=x2 - 4x+3 上:.D2 x，-x+3 ， p 2 x， x2- 4x+3 / -x+3 + x2 -4x+3 =O,即卩 x2 -5x+6=0,/x 1 = 2，x 2 = 3舍去/当 x

8、 =2 时，y=x2 -4x+3=2 2 -4*2+3=-1/ p 2的坐标为p 2 2，-1 即为抛物线的顶点/p点的坐标为 P 1 l，0，P22，- l3由题2知，当点P的坐标为P 1 1,0时，点A、P、E在一条直线上，故 不能构成平行四边形；当点P的坐标为P 22, - 1即顶点Q时，平移直线AP交想X轴于点E,交 抛物线于点F当AP = FE时，四边形PAFE是平行四边形P2，- 1二可设 F x，1 /. x2-4x+3 =1，解之得：x 1 = 2- . 2， x 2 = 2 + ., 2 F 点有两点，即 F 1 2-2，1F 2 2 + .一2，1方法与规律:1、注重直观性

9、；2中根据题目条件，/ PDA不可能为直角；2、注意特殊2中/ABD为直角；3、结合特殊性，研究一般性；2中由于/ CAOZ5 0，再使/ CAP=9 0 0，贝U / BAPN5 0，可以求出直线AP的解析式，再求出AP与抛物线的交点即可。六、拓展训练注：请学生根据对上述两道题的研究思想分析和讨论以下三个问题：1、如下列图，直角梯形 OABC中，OC/ AB, C 0，3，B 4，1，以BC为直径的 圆交X轴于E、D两点D点在E点的右方1求点E、D的坐标2求过B、C、D三点的抛物线的函数关系式3过e、c、d三点的抛物线上是否存在点 0,使厶BDQ是以BD为直角边的直角三 角形？假设不存在，请

10、说明理由；假设存在，求出点 Q的坐标2、在某段限速公路BC上公路视为直线，交通管理部、50门规定汽车的最高行驶速度不超过 60千米/时即一米/秒，并在离该公路100米处 3设置了一个监测点A。在如下列图的直角坐标系中，点 A位于y轴上，测速路段BC在 x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在A的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y上，AO为其中的一段1求点B和点C的坐标2辆汽车从点B匀速行驶到点C,所用的时间为15秒，通过计算判断该汽车在这段限速路上是否超速参考数据：3 73假设一辆大货车在限速路上由 C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由 A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少？3、，如图一次函数y=x+1的图像