初中数学辅助线技巧(含练习

1、一、补成三角形1. 补成三角形例1.如图1 , E为梯形ABCD勺腰CD的中点；证明： ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。这也是梯形中常用 的辅助线添法之一。略证：2. 补成等腰三角形CF= 2CE,再例 2 如图 2. / A= 90°, AB= AC, / 1 = Z 2, CE! BD 求证：BD= 2CE分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现证BD= CF即可。略证：S13. 补成直角三角形图2例 3.如图 3,在梯形 ABCD中, AD/ BC, / B+Z

2、C= 90°, F、G分别是 AD BC的中点，假设 BC= 18, AD= 8，求FG的长。分析：从Z B、Z C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BACD要求FG 需求PF、PG略解：4. 补成等边三角形例4.图4 , ABC是等边三角形，延长 BC至D,延长BA至E,使AE= BD,连结CE EDb证明：EC= ED分析：要证明 EC= ED,通常要证Z ECD=Z EDC但难以实现。这样可采用补形法即延长BD到F,使BF= BE,连结 EF。略证：二、补成特殊的四边形1. 补成平行四边形例5.如图5，四边形 ABCD中, E、F、G H分别是AB CD AG BD的中

3、点， 并且E、F、G H不在同一条直线上，求证：EF和GH互相平分。分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边形 GEHF是平行四边形。略证：2. 补成矩形例 6.如图 6,四边形 ABGD中, / A= 60°, / B=Z D= 90°, AB= 200mGD= 100m,求 AD BC的长。分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角 形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。略解：3. 补成菱形例 7.如图 7,凸五边形 ABCDE中/ A=Z B= 120°, EA= AB= BG= 2, GD= DE=4,

4、求其面积分析：延长EA CB交于P,根据题意易证四边形 PCDE为菱形。 F略解：4.补成正方形图8例 8.如图 8,在厶 ABC中，AD丄 BC于 D,/ BAC= 45°, BD= 3, DC= 2。求 ABC的面积。分析：此题要想从条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，如果从题 设/ BAC= 45°, AD丄BC出发，可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信 息，那么问题立即可以获解。略解：5. 补成梯形例9.如图9，: G是厶ABC中BC边上的中线的中点， L是厶ABC外的一条直线，自 A、B C G向L1作垂线，垂足分别为 A、Bi、G、G。求证：GG= 4

5、 (2AA 1 + BB+ CC)。图9分析：此题从条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形来加 以解决比较恰当，故过 D作DD丄L于D，那么DD既是梯形BBCC的中位线， 又是梯形 DDAiA的一条底边，因而，可想到运用梯形中位线定理突破，使要证 的结论明显地显示出来，从而使问题快速获证。略证：1三、练习1、在厶ABC中，AC=BC D是AC上一点，且 AE垂直BD的延长线于 E,又AE=BD求证:2BE平分/ ABC2、如图，：在 ABC / BAC=60 , / ACB=40 ,P、Q分别在BC CA上，并且AP、BQ分别是/ BAC / ABC的角平分线，求证： BQ+AQ=A

6、B+BPBC3、/ BAC=90 , AB=AC AD=DC AEL BD,求证：/ ADB2 CDEA4、设正三角形 ABC的边长为2, M是AB边上的中点,2 2分别记为S和，求：S - t的值。P是BC边上的任意一点，PA+PM的最大值和最小值CMB口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接那么成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上假设有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个接圆，角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 外相切的两圆，经