变量间的线性关系

1、2.3.1变量之间的相关关系.一、实例探究，引入新课一、实例探究，引入新课 对于两个变量，如果当一个变量的取值一定对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被时，另一个变量的取值被惟一确定惟一确定，则这两个变，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系量之间的关系就是一个函数关系. .问题问题1、什么是函数关系？、什么是函数关系？判断下列关系是否是函数关系？判断下列关系是否是函数关系？1.1.球的体积与该球的半径球的体积与该球的半径; ;2.2.粮食的产量与施肥量粮食的产量与施肥量; ;3.3.小麦的亩产量与光照小麦的亩产量与光照; ;4.4.匀速行驶车辆的行驶路程与时间匀速行驶车

2、辆的行驶路程与时间; ;问题问题2 2. .在中学校园里，有这样一种说法在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题就不会有什么大问题.”.”按照这种说法，似乎按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？关系吗？一、实例探究，引入新课一、实例探究，引入新课分析分析: :1.1.我们不能通过一个人的数学成绩是多少

3、就准我们不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定其物理成绩能达到多少，学习兴趣、确地断定其物理成绩能达到多少，学习兴趣、学习时间、教学水平等，也是影响物理成绩的学习时间、教学水平等，也是影响物理成绩的一些因素。一些因素。2.2.但这两个变量是有一定关系的，它们之间是但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系一种不确定性的关系. .3.3.类似于这样的两个变量之间的关系，有必要类似于这样的两个变量之间的关系，有必要从理论上作些探讨，如果能通过数学成绩对物从理论上作些探讨，如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计，将有着非常重要的现实理成绩进行合理估计，将有着非常重要的现实意义意义

4、. .一、实例探究，引入新课一、实例探究，引入新课 两个变量间两个变量间存在存在着着某种关系某种关系，但带有，但带有不确定性不确定性(随机性），随机性），不能用函数关系精确地表达出来，我不能用函数关系精确地表达出来，我们说这两个变量具有相关关系们说这两个变量具有相关关系.问题问题3 3：上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为称之为相关关系相关关系，那么相关关系的含义如何？，那么相关关系的含义如何？ 注：相关关系和函数关系的异同点注：相关关系和函数关系的异同点 相同点：两者均是指两个变量间的关系相同点：两者均是指两个变量间的关系不同点：函数关系

5、是一种确定关系，不同点：函数关系是一种确定关系， 相关关系是一种非确定的关系。相关关系是一种非确定的关系。知识探究（一）：变量之间的相关关系知识探究（一）：变量之间的相关关系2.3.2两变量的线性相关知识探究（二）：散点图知识探究（二）：散点图 知识探究（二）：散点图知识探究（二）：散点图 【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：的研究中，研究人员获得了一组样本数据： 其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数人群脂肪含量的样本平均数. .年龄年龄 23232727393

6、94141454549495050脂肪脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2年龄年龄 5353545456565757585860606161脂肪脂肪 29.629.6 30.230.2 31.431.4 30.830.8 33.533.5 35.235.2 34.634.6思考思考1 1：对某一个人来说，他的体内脂肪含：对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少，但是量不一定随年龄增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起，就可能表现出如果把很多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性一定

7、的规律性. .观察上表中的数据，大体上观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？变化？年龄年龄 2323272739394141454549495050脂肪脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2年龄年龄 5353545456565757585860606161脂肪脂肪 29.629.6 30.230.2 31.431.4 30.830.8 33.533.5 35.235.2 34.634.6思考思考2 2：为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明：为了确

8、定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象. .以以x x轴表示年龄，轴表示年龄，y y轴表示脂肪含量，你能在直角坐轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？标系中描出样本数据对应的图形吗？ 年龄年龄 2323272739394141454549495050脂肪脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2年龄年龄 53535454565657575

9、85860606161脂肪脂肪 29.629.6 30.230.2 31.431.4 30.830.8 33.533.5 35.235.2 34.634.6思考思考3 3：上图叫做散点图，你能描述一下散：上图叫做散点图，你能描述一下散点图的含义吗？点图的含义吗？ 在平面直角坐标系中，表示具有相关关系在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图的两个变量的一组数据图形，称为散点图. . 思考思考4 4：观察散点图的大致趋势，人的：观察散点图的大致趋势，人的年龄的与人体脂肪含量具有什么相关关年龄的与人体脂肪含量具有什么相关关系？系？ 知识探究（二）：散点图知识探究（二）

10、：散点图 思考思考5 5：在上面的散点图中，这些点散布在：在上面的散点图中，这些点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为这种相关关系，我们将它称为正相关正相关. .一般一般地，如果两个变量成正相关，那么这两个变地，如果两个变量成正相关，那么这两个变量的变化趋势如何？量的变化趋势如何？ 思考思考6 6：如果两个变量成负相关，从整：如果两个变量成负相关，从整体上看这两个变量的变化趋势如何？其体上看这两个变量的变化趋势如何？其散点图有什么特点？散点图有什么特点？ 一个变量随另一个变量的变大而变小，一个变量随另一个变量的变大而变小，

11、散点图中的点散布在从左上角到右下角散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域的区域. .思考思考7 7：你能列举一些生活中的变量：你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关的实例吗成正相关或负相关的实例吗? ? 知识探究（二）：散点图知识探究（二）：散点图 正相关正相关。(1)年龄越大，体内脂肪含量越高年龄越大，体内脂肪含量越高负相关负相关.(1)高原含氧量与海拔高度高原含氧量与海拔高度的相关关系，海平面以的相关关系，海平面以上，海拔高度越高，含上，海拔高度越高，含氧量越少。氧量越少。(2)汽车的载重和汽车每消汽车的载重和汽车每消耗耗1升汽油所行使的平均升汽油所行使的平均路程路程O知识探究（二）：

12、散点图知识探究（二）：散点图 点的位置散布在从左下角到右上角的区域。点的位置散布在从左下角到右上角的区域。散点分布在从左上角到右下角的区域内散点分布在从左上角到右下角的区域内。我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附近我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这这条直线叫做回归直线，该方程叫条直线叫做回归直线，该方程叫回归方程回归方程。思考思考7 7、那么，、那么，我们该怎样我们该怎样

13、来求出这个来求出这个回归方程？回归方程？请同学们展开请同学们展开讨论，能得讨论，能得出哪些具体出哪些具体的方案？的方案？202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540知识探究（三）：回归方程知识探究（三）：回归方程 .方案方案1、先画出一条直线，测量出各点与它的距、先画出一条直线，测量出各点与它的距离，再移动直线，到达一个使距离的和最小时，离，再移动直线，到达一个使距离的和最小时，测出它的斜率和截距，得回归方程。测出它的斜率和截距，得回归方程。202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540如图如

14、图 ：知识探究（三）：回归方程知识探究（三）：回归方程 .l方案方案2、在图中选两点作直线，使直线两侧、在图中选两点作直线，使直线两侧 的点的个数基本相同。的点的个数基本相同。 202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540知识探究（三）：回归方程知识探究（三）：回归方程 方案方案3、如果多取几对点，确定多条直线，再求出、如果多取几对点，确定多条直线，再求出 这些直线的斜率和截距的平均值作为回归这些直线的斜率和截距的平均值作为回归 直线的斜率和截距。而得回归方程。直线的斜率和截距。而得回归方程。 如图如图l我们还可以找到我们还可以找到 更多的方

15、法，但更多的方法，但 这些方法都可行这些方法都可行 吗吗?科学吗？科学吗？ 准确吗？怎样的准确吗？怎样的 方法是最好的？方法是最好的？202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540知识探究（三）：回归方程知识探究（三）：回归方程 实际上实际上,求回归直线的关键是求回归直线的关键是如何用数学的方法来刻画如何用数学的方法来刻画“从整从整体体上看上看,各点到此直线的距离最小各点到此直线的距离最小”.1122211nniiiiiinniiiixxyyxynxyb,xxxnxay bx ()()()即各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫即各点到该直

16、线的距离的平方和最小，这一方法叫最最小二乘法小二乘法。Q = (y1-bx1-a)2 + (y2-bx2-a)2 + (yn-bxn-a)2 问题归结为问题归结为:a,b取什么值时取什么值时Q最小最小,即总体偏差最小即总体偏差最小.经运算经运算a,b的值由下列公式给出：的值由下列公式给出：练习练习. .已知回归直线的斜率的估计值是已知回归直线的斜率的估计值是1.231.23，样本点的中，样本点的中心为心为(4(4，5)5)，则回归直线的方程是则回归直线的方程是( )( ) 例题：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究例题：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得

17、到一个卖出气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：的热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36热饮杯数热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)画出散点图；画出散点图；(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一 般规律；般规律；(3)求回归方程；求回归方程；(4)如果某天的气温是如果某天的气温是2 C,预测这天卖出的热饮杯数。预测这天卖出的热饮杯数。三、例题分析，归纳知识三、例题分析，归纳知识解

18、解: (1)散点图散点图(2)气温与热饮杯数成负相关气温与热饮杯数成负相关,即气温越高，即气温越高， 卖出去的热饮杯数越少。卖出去的热饮杯数越少。温度温度热饮杯数热饮杯数(3)从散点图可以看出，这些点大致分布从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线附近。在一条直线附近。Y=-2.352x+147.767（4）当）当x=2时，时，y=143.063,因此，这天大因此，这天大约可以卖出约可以卖出143杯热饮。杯热饮。这是一种预测，不这是一种预测，不一定就卖出一定就卖出143杯杯。小结作业小结作业1.1.求样本数据的线性回归方程，可按求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：下列步骤进行：第一步，计算平均数第一步，计算平均数 , xy1niiix y21niix第二步，求和第二步，求和 , 1122211()(),()nniii iiinniiiixx yyxynx ybay bxxxxnx 第三步，计算第三步，计算 第四步，写出回归方程第四步，写出回归方程 abxy2.2.回归方程被样本数据惟一确定，各样本点回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近大致分布在回归直线附近. .对同一个总体，对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归