x02-5柯西中值定理与洛必达法则ppt课件

1、2-52-5柯西中值定理与洛必达法则柯西中值定理与洛必达法则 拉格朗日拉格朗日 (Lagrange) 中值定理中值定理.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理:若函数 f (x)满足(1) f (x) 在 a, b 上连续;(2) f (x) 在(a, b) 内可导.则在 (a, b) 内至少有一点 ,使等式 f (b)f (a)=f ( )(ba). (1)成立.xyAa0BCbabafbff)()()(若图 中的曲线弧 AB 由参数方程)( )()(btatfytFx表示,其中 t 为参数,那末,曲线上点( x , y )处的切线的斜率为)()(tFtfdxdy弦 AB 的斜率为)()()()(

2、aFbFafbfxyAF(a)0BCF(b)所以),( ) () ()()()()(baFfaFbFafbf1.柯西中值定理柯西中值定理若函数 f (x) 及 F (x)满足:(1) f (x) 及 F (x) 在 a, b上连续; (2) f (x) 及 F (x) 在 (a, b) 可导; (3) F (x) 0 x(a, b).则在 (a, b) 内至少存在一点 ,使等式) () ()()()()(FfaFbFafbf成立.注注: 当 F (x)= x 时,F (b)F (a) = ba,F (x)= 1公式(5)为1) ()()(fabafbf即 f (b) f (a) = f ( )

3、(ba)证证: F (b) F (a) = F (1) (b a) 0 (a 1 b) )()()()()()()( xFaFbFafbfxfx作函数显然:(1) (x) 在 a, b 上连续;(2) (x) 在 (a, b) 内可导;(3) (a)= (b).所以 (a, b),使 而 (x)()()()()()(xFaFbFafbfxf0) ()()()()() () ( FaFbFafbff于是由 F , (a, b) () ()()()()(FfaFbFafbf例例).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可

4、导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证证结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设,1 , 0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内内至至少少存存在在一一点点在在,)1 ,0( ,2)()0()1()0()1( fggff).0()1(2)(fff 即即 洛必达法则洛必达法则洛洛必必达达法法则则型型未未定定式式解解法法型型及及:00 型型未未定定式式解解法法00,1 ,0 ,0 ()()()()()(1)lim( )0 ,lim( )0;(2)(),( )( )( )0;( )(3)lim();

5、( )( )( )limlim.( )( )xaxaxaxaxaf xg xaafxxg xfxg xf xfxg xg x设在 点的某领域内x或绝对值足够大的x及g都存在且存在 或为无穷大那末洛必达第一法则洛必达第一法则.,该该法法则则仍仍然然成成立立时时及及时时当当 xaxax证证定义辅助函数定义辅助函数, 0),()(1 axaxxfxf1( ),( ),0,g xxag xxa,),(0 xaU内内任任取取一一点点在在 ,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa11( ),( ),f x g x 满足柯西中值定理的条件111111( )( )( )( )( )( )ff xf ag

6、g xg a( )( )fg)(之间之间与与在在ax ,aax 时时当当( )lim,( )xafxAg x( )lim,( )afAg( )( )limlim.( )( )xaaf xfAg xg11( )( )f xg x( )( )f xg x111,0,( )( )( ),( )( )( )xyF yff x G ygg xxyy00221) lim( )0 , lim( )0;112)( )( )( )( )0;yyF yG yFyfxG yg xyy及0( )( )limlim( )( )xyf xF yg xG y20021( )( )limlim1( )( )yyfxFyyG

7、yg xy( )lim( )xfxg x()()()()()(1)lim( ),lim( );(2)(),( )( )( )0;( )(3)lim();( )( )( )limlim.( )( )xaxaxaxaxaf xF xaafxF xF xfxF xf xfxF xF x 设在 点的某领域内x或绝对值足够大的x及都存在且存在 或为无穷大那末洛必达第二法则洛必达第二法则.,该该法法则则仍仍然然成成立立时时及及时时当当 xaxax例例1：求：求解解: 30sinlimxxxx203cos1limxxxxxx6sinlim030sinlimxxxx61例例2 2解解.1arctan2limx

8、xx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例3 3)00(.cos12lim0 xeexxx 求求)00(解解0lim.sinxxxeex原式0lim2cosxxxeex型型未未定定式式解解法法二二、00,1 ,0 ,0 关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 . .),00()( ,10. 1 型型.0100 或或( )( )( )1( )g xf xg xf x例例: 求求 . )0( lnlim0nxnxx101limnxx-nx01lim0nxxn lnlim0 xnxx lnlim0nxxx)(

9、0型).(型解解: 例例解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101. 2 型型.0000 xxxxxsinsinlim0 原原式式01 coslim2xxx. 0 通过通分或分子有理化及其它初等变换转化为通过通分或分子有理化及其它初等变换转化为 或或 不定型。不定型。0020sinlimxxxx0sinlim2xx例例: 求求 . )tan(seclim2xx-x)tan(seclim2xx-x cossin1lim2xx-x).00( 型)-(型 sincoslim2xxx0 10解解: 型型00,1 ,0. 3 法一）法一）)(ln)()()(xfxgxgexf 法二）法二）

10、 ( ) ( )ln( )ln( )g xyf xyg xf x解法一解法一. 0limxxxxxxelnlim0 xxxe1ln lim02011 limxxxe= e0 = 1例例1: 求求xxxlim0(00型)xxyxxlnlimlnlim00(0型)xxx1lnlim02011limxxx= 0解法二解法二:yxlim0=e0=1例例2: 求求210)(coslimxxx(1型)解法一解法一: 201 lncoslim xxxIe).00( 型01( sin )cos2limxxxxe21 e解法二解法二: 2cos11cos101 (cos1)limxxxxIx21 exxx)ar

11、ctan2(lim2limln(arctan )xxxe2ln(arctan )lim1/xxxe例例32e221l1lim1arctanxxxxe例例4 4解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例5 5解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取对数得取对数得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式例例: 求求xxx)1(lnlim0( 0型)1ln(ln)

12、1(lnxxxex)1ln(lnlim0 xxxxxx1)1ln(lnlim0(0型).(型解解: 2201)1(111ln1limxxxxxxxx10)1(lnlim= 0 xxx)1(lnlim0 )1ln(ln0limxxxe)1ln(lnlim0 xxxe=e0 = 1所以使用洛必达法则需注意：使用洛必达法则需注意：1) 检查极限是不是末定型检查极限是不是末定型“0/0或或“/”xxxxxxsincoslimcossinlim00sinlim/lim(1cos )xxxxxx 计算不存在1lim(1sin )xxxsinlimxxxx0limxxxxxeeeexxxxxeeeelimx

13、xxxxeeeelim).(型3)3)法则不是万能的法则不是万能的21limxxx2/lim1xxx 21/limxxx 例例: 求求)( lim 型xxxxxeeeexxxxxeeeelimxxxxxeeee11lim )11 ()11 (lim22xxxxxeeeexxxee221111lim111解解: 4 4洛必达法则与其它求极限方法结合使用，效果更好洛必达法则与其它求极限方法结合使用，效果更好. .方法包括：方法包括：1。能分出的极限存在的因子应及时分出；。能分出的极限存在的因子应及时分出；2。用等价无穷小代替简化；。用等价无穷小代替简化；3。用恒等变换简化。用恒等变换简化。常用八个

14、等价无穷小常用八个等价无穷小: :,0时时当当 x2 sin tan arcsin arctan1 ln(1)11 cos2(1)1(0)xaxxxxxxxxxxxexxxaxa例例3011 sinlim.sinxxxx30sinlim.2xxxx30sinlim.( 11 sin )xxxxxx112( )0()( ),( )( )0fxfx F xF x如果仍属型，且满足定理的条件，可以继续使用洛必达法则，即.)()(lim)()(lim)()(lim xFxfxFxfxFxfaxaxax-5有时需用多次法则有时需用多次法则例例: 求求. 0) ,( lim 为正整数nexxnx lim

15、1xnxexn ) 1(lim 22xnxexnn= !lim nxxen= 06)抽象函数也可用法则但要注意检查是否符合条件抽象函数也可用法则但要注意检查是否符合条件例例 若函数若函数f(x)在点在点a有导数有导数f(a)根据微分定义，则有根据微分定义，则有()( )( )( )yf axf afa xo x ()( )( )( )f axf afa xo x证明：若函数在点证明：若函数在点a有二阶导数有二阶导数f ”(a)则有则有22( )()( )( )()2faf axf afa xxo x证明220( )() ( )( )2limxfaf axf afa xxx0()( )( )( )lim( )02xfaxfafafafax1=200()( )( )lim02xfaxfafa xx例例 设设f(x)f(x)在在x=x0 x=x0处具有二阶导数，处具有二阶导数，求极限求极限hhxfhxfhhxfxfhxfhh2)( )( lim0/0)()(2)(lim00020000)(2)()(lim0/00000 xfhxfhxfh)( )( lim)( )( lim212)( )( lim000000000hxfhxfhxfhxfhhx