7第七章平稳过程谱分析ppt课件

1、平稳过程的谱分析平稳过程的谱分析 平稳过程的相关函数在时域上描述了平稳过程的相关函数在时域上描述了过程的统计特性，为了描述平稳过程在频过程的统计特性，为了描述平稳过程在频域上的统计特性域上的统计特性, 需要引入了谱密度的概需要引入了谱密度的概念。念。 这章的内容主要讨论随机过程的谱分这章的内容主要讨论随机过程的谱分析析知识回顾：知识回顾：22dtdt 设X(t)是时间t的非周期，则X(t)存在傅立叶变换的充要条件是：（1）X(t)在 - ，+满足狄利赫利条件；（ ）X(t)绝对可积,即X(t)（3）若X(t)代表信号，则总能量有限,即X(t对于确定信号的傅立叶变换的回顾：实函数)( )( )1

2、 ( )( )2jwtxjwtxF wx t edtx tF w edw此时，x(t)的傅立叶变换为： 傅立叶反变换为：非周期性确定性时间函数的帕塞伐非周期性确定性时间函数的帕塞伐Parseval)等式为等式为:221( )( )2xx tdtF wdw2( )xF w2_21( )( )21 ( )2 ( )( )( )(xxxjwtxjwtxF w edx t dtx tx tF w F w dwFwF wewdwdwdtdt其中, 称为能谱密度证明:1 功率谱密度的定义功率谱密度的定义数学推导基本步骤如下:22( )( ):( ),( )0, ( , )( )1( )( , )2TTxT

3、TxTX tXtX ttTXttTF w TXtX tdtF w Tdw设是均方连续的随机过程，作截尾随机过程为的傅立叶变换，由帕塞伐公式以及傅立叶反变换，得到(帕塞伐公式帕塞伐公式)2222212121( )2= ( ) 11( , ) 11( , ) 221 ( , ) 222limlimlimlliimmTTTTTTxTxTTxEX tdtTE F w TX tdtF w TdwEF w TdwTTwETETd对上式两边先取时间平均，再取统计平均得到：左边右边 2221( ) 21( )( , ) 2 limlimTTTXxTEX tdtTSwE F w TT设X(t),- t 为均方连

4、续的随机过程，称为X(t)的；称为X(平均功率功率谱密度平稳随机过程t)的， 简称谱密度。 对于，平均功率等于该过程的均方值,等于它的谱密度在频域上的积分。：定即义：221( ) ( )2XE X tSw dw2 功率谱密度的性质功率谱密度的性质( )0( ) ( )()4. ( )wwwwww dw xxxxx-1. S2. S是的实函数。3. 对实随机过程，SS可积性，证明：(1)即S(2)(3)122211221( )( , ) 21 ( )21 ( )( ) 2limlimlimXxTTjwtTTTTjwtjwtTTTSwE F w TTEX t edtTEX t edtX t edt

5、T2422( ) ( ),109( ).xX twSwwwE Xt：平稳随机过程的谱密度为：求平均功率例题122241( )( )21 4109=2XE XtSw dwwdwww 解：22422344 109()()(3 )(3 )442|2|()(3 )(3 )()()(3 )712wjwjwwdwdwwwwj wj wj wjwwjjwj wj wjwj wj wj上半平面极点为w1=j, w2=3j所以:224147210924wdwww 3 功率谱密度与自相关函数的关系功率谱密度与自相关函数的关系 可以证明：随机过程的自相关函数与功率可以证明：随机过程的自相关函数与功率谱密度之间互为傅

6、立叶变换对。这一个关系就谱密度之间互为傅立叶变换对。这一个关系就是著名的维纳是著名的维纳-辛钦定理。即：辛钦定理。即：( )( )1( )( )2jwXXjwXXSwRedRSw edw证明：证明：12212121122()1212()112221211( )( , ) 21=( ).( )21=( )( )21=,( )( )2(,limlimlimlimXxTTTjwtjwtTTTTTjw ttTTTTTjw ttTTTXSwE F w TTEX t edtX t edtTEX t X t edt dtTE Xtttt X tedtttdtTS 令则22)(1)( )2( )limTjwx

7、TTjwxwRedTRed当随机过程为实平稳随机过程时，当随机过程为实平稳随机过程时，0( )2( )cosXXSwRw d 证明：证明：0( )( )( )(cos)( )cos2( )csinosjwXXXXXSwRedRwjddwRwRw d 01( )( )cosXXRSww dw同理：同理：002000200200( )cos()cos()1 =co)cos()s()cos() d 2 cos2,( )cos.2,0 2)XjwXREAw tAwX tAw ttAw tAw tAwASwAwedwX t平稳随机过程 （其中为常数， 在（ ， ）上均匀分布，求 （ 的功率谱密度。解题2

8、：例00020200 ()4 ()2)2)(jwjwjjwwAeeewAwwwwwd e已知：方法方法1:利用常用的傅立叶变换对利用常用的傅立叶变换对2X22223| | |242222253488( )(9)(1)(9)(1)532 32 1534816 4( ),10 (929)(1)48316XawSwwSwwwawwwwbbeaweeww 平稳随机过程谱密度求平稳随机过程的相关函数和均方值已知例：。题解：方法方法2:留数定理的利用留数定理的利用242| |22| |32| |3| |14( )2109142|2(9)()4 2|(3 )(1)351648jwXjwwjjwwjwRedw

9、wwwjewwjwjewj wee222| |22241: R ( )( )21 ( )01( ),( )11112 121 211 221 ( )( )2jwXXjwjwxXSw edwedwedweE XX tSwX twwwtm t 例题 ：解已知平稳正态过程的均值为 ，功率谱密度为求的概率密度函数。2212.211 ( )21/ 2xxf xee1197.2( )0( )XSPX tw -X00：已知平稳正态过程的相关函数为 R ( )=ecos(w),其中，w 为常数，求谱密度例题。0: ( )2( )cosXXSwRw d 解4 白噪声白噪声0( ),)(),( )(wXNX ttwt X定义：设为实平稳随机过程，若它的均值为0，且谱密度在所有频率范围内为非0的常数，S白噪即则为声过程。-0,0)0(2) )1(3) ( )- )( )xxxx dxf xx T dxf T为了对白噪声过程进行频谱分析，下面引入的概念。（1函（数）（，（ 白噪声自相关函数白噪声自相关函数0011( )( )( )22jwjwXXRSw edwN edw N )1212这表明：白噪声随时间的变化极快，在任意两个时刻t 和t ，X(t 和X(t 不相关。(1)白噪声是一种理想化的数学模型。各种随机干扰白噪声是一种理