初中数学切线的判定

1、问题问题1 1：下图中的直线：下图中的直线l l和和OO是什么是什么 关系？关系？相交相交相离相离相切相切（两个交点）（两个交点）（一个交点）（一个交点）（零个交点）（零个交点）d = r相切相切d问题问题2:2:如图，已知点如图，已知点A A是是OO上一点，上一点，过过A A作作OAOA的垂线的垂线l l，这样的直线有几，这样的直线有几条？条？ 直线直线l l与与OO的位置关系怎样？的位置关系怎样？为什么？为什么？l lA AO Od dr r特征一：直线特征一：直线l l经过半径经过半径OAOA 的外端点的外端点A A特征二：直线特征二：直线l l垂直于半径垂直于半径OAOAd = r相切

2、相切切线的判定定理：经过半径外端切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。的切线。l lA AO O O Ol lA AO Ol lA AO Ol lA AO O判断下图直线判断下图直线l l是否是是否是OO的切线？的切线？并说明为什么。并说明为什么。证明一条直线为圆的切线时，必须证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：两个条件缺一不可：过半径外端过半径外端垂直于这条半径。垂直于这条半径。 已知：直线已知：直线ABAB经过经过OO上的上的 点点C C，并且，并且OA=OB,CA=CB.OA=OB,CA=CB. 求证：直线求证：直线ABA

3、B是是OO的切线。的切线。O OA AB BC C分析：分析： 欲证欲证ABAB是是OO的切线，由于的切线，由于ABAB过圆过圆上点上点C C，若连结，若连结OC,OC,则则ABAB过半径过半径OCOC的外端，的外端，只需证明只需证明OCAB .OCAB .例例1 1、已知：直线、已知：直线ABAB经过经过OO上的上的 点点C C，并且，并且OA=OB,CA=CB.OA=OB,CA=CB. 求证：直线求证：直线ABAB是是OO的切线。的切线。O OA AB BC C证明：如图，连结证明：如图，连结OC.OC. OA=OB,CA=CB OA=OB,CA=CB OC OC是等腰是等腰OABOAB

4、底边底边BCBC上的中线上的中线 OCAB OCAB 又又ABAB过半径过半径OCOC的外端的外端 AB AB是是OO的切线的切线已知已知ABCABC内接于内接于O,O,直线直线EFEF过点过点A A（1）如图）如图1，AB为直径，要使得为直径，要使得EF是是O O的切线，还的切线，还需添加的条件是需添加的条件是 或或 。（2）如图）如图2， AB为非直径弦，且为非直径弦，且CAE=B,求证：求证：EF为为O O的切线。的切线。FECBAOCBEFAO一般情况下，要证明一条直线为圆的切线，一般情况下，要证明一条直线为圆的切线，它过半径外端（即一点已在圆上）是已知给它过半径外端（即一点已在圆上）

5、是已知给出时，只需证明直线垂直于这条半径。出时，只需证明直线垂直于这条半径。EFABEAC=B练习：练习：ABAB是是OO的直径，点的直径，点D D在在ABAB的延长线上的延长线上, ,BD=OB,BD=OB,点点C C在圆上，在圆上，CAB=30CAB=30。求证：求证：DCDC是是OO的切线。的切线。C CD DB BA AO O已知已知O O为为BACBAC平分线上一点，平分线上一点，ODABODAB于于D D，以，以O O为圆心，为圆心，ODOD为为半径作圆半径作圆O O，求证：求证：OO与与ACAC相切相切练习练习2 2：证明直线与圆相切，但无切证明直线与圆相切，但无切点时，往往过圆

6、心作切线的点时，往往过圆心作切线的垂线，再证明垂线，再证明d=rd=r即可即可DCABO切线的判定方法有：切线的判定方法有：、切线的判定定理。、切线的判定定理。、直线到圆心的距离等于圆的半径。、直线到圆心的距离等于圆的半径。、直线与圆有一个公共点。、直线与圆有一个公共点。切线的判定定理：经过半径外端切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。的切线。思考？思考？改变切线判定定理的题设与结论改变切线判定定理的题设与结论 如果直线如果直线l l是是OO的切线，切点为的切线，切点为A,A,那么半径那么半径OAOA与直线与直线l l是不是一是不是一定垂直

7、呢？定垂直呢？切线的性质定理：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。圆的切线垂直于过切点的半径。AL1L2BO如图，如图，ABAB是是OO的直径，直线的直径，直线L1、L2是是OO的切线，的切线，A A、B B是切点是切点, ,直线直线L1、L2有怎样的位置关系？有怎样的位置关系？ 、经过半径外端的直线是圆的切线。、经过半径外端的直线是圆的切线。 、垂直于半径的直线是圆的切线。、垂直于半径的直线是圆的切线。 、过直径的外端并且垂直于这条直径的、过直径的外端并且垂直于这条直径的 直线是圆的切线。直线是圆的切线。 、和圆只有一个公共点的直线是圆的切、和圆只有一个公共点的直线是圆的切 线。线。

8、 、以等腰三角形的顶点为圆心，底边上、以等腰三角形的顶点为圆心，底边上 的高为半径的圆与底边相切。的高为半径的圆与底边相切。是非题：判断下列命题是否正确。是非题：判断下列命题是否正确。（）（）（）（）（）练习练习3、如图4，AB是O的直径，ABC=45，AC=AB，AC是O的切线吗？为什么？ 图5练习练习4、如图5，线段AB经过圆心O，交O于点A、C，BAD=B = 30，边BD交圆于点D。BD是O的切线吗？为什么？ 机动练习：机动练习：已知，如图6，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， O与腰AB相切于点D。AC与 O相切吗？为什么?作业作业1、如图7，已知ABC内接于 O，P是CB延长

9、线上的一点，连结AP，且AP2 = PBPC，试说明PA是 O的切线。2、思考题：思考题：如图，A是 O直径上的一点，OB是和这条直径垂直的半径，BA和 O相交于另一点C，过点C的切线和OA的延长线相交于点D，那么DA = DC吗？为什么？变题1：若将直线DA向上平行移至OB上，DA还会等于DC吗？为什么？变题2：若将直线DA向上平行移至OB外，DA还会等于DC吗？为什么？反馈练习：反馈练习：1、下列说法正确的是（、下列说法正确的是（ ） （A）若直线与圆有一个交点则直线是圆的切线）若直线与圆有一个交点则直线是圆的切线 （B）经过半径的外端的直线是圆的切线）经过半径的外端的直线是圆的切线 （C

10、）和半径垂直的直线是圆的切线）和半径垂直的直线是圆的切线 （D）经过圆心且垂直于切线的直线，必经过切点）经过圆心且垂直于切线的直线，必经过切点2、若、若CD是是 O的切线，要判定的切线，要判定ABCD，还需要，还需要添加的条件是（添加的条件是（ ）（A）AB经过圆心经过圆心O （B）AB是直径是直径（C）AB是直径，是直径，B是切点是切点 （D）AB是直线，是直线，B是切点是切点DC 例二：如图，例二：如图，AB是圆是圆O的直径，的直径，AC垂直于垂直于l, BD垂直垂直 于于l, C，D为垂足，且为垂足，且AC+BD=AB.求证：直线求证：直线l于圆于圆O相切。相切。分析：已知条件中未给出直线分析：已知条件中未给出直线l与圆与圆的公共点，因此需要考虑圆心到直的公共点，因此需要考虑圆心到直线的距离是