五年级奥数归类详细讲解——位值原则

1、位值原则同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等。写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（见下图）。口个位十位 B位 口千位 万位 十万位 百万位 千万

2、位 口亿位用阿拉伯数字和位值原则，可以表示出一切整数。例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9X100+2X10+6。根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：鼻尻表示a个百，b个十，c个一口其中a可以是19中的数码，但不能是0,b和c是09中的数码。诙上面的横线表示这是用位值原则表示的一个数，用以区别诙=下面，我们利用位值原则解决一些整数问题。例1证明,当AC时，诙而必是9的倍数.证明工Sc=100a4-10b+c,cba=100c+10b+软，abc-cba=100a+c-100c-a=99乂Ca-c）«因为99能被9整除，所以诙.而能被9整除.在例1

3、中，因为忘与总的数字顺序恰好相反，所以称而为诙的反序数，当然诙也是而的反序数。用同样的方法可以证明，互为反序数的两个数之差必然能被9整除。例如，(97531-13579)必是9的倍数。例2有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。求原来的两位数。分析与解：由位值原则知道，把数码1加在一个两位数前面，等于加了100;把数码1加在一个两位数后面，等于这个两位数乘以10后再加1。设这个两位数为X。由题意得到(10X+1)-(100+x)=666,10x+1-100-x=666,10x-x=666-1+100,9x=765,x=85

4、o原来的两位数是85。例3a,b,c是19中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是(a+b+c)的多少倍？分析与解：用a,b,c组成的六个不同数字是abc,acb,bac,bca,cab,cb,aoabc+acb+bac+bea+cab+cba=100X(a+a+b+b+c+c)=100X(a+a+b+b+c+c)10X(b+c+a+c+b)+(c+b+c+a+b+a)=200乂(a+b+c)+20乂(a+b+c)+2、(a+b+c)=222XCa+b+c)口这六个数的和等于将六个数的百位、十位、个位分别相加，得到所以，六个数的和是(a+b+c)的222倍例4用2,8,7

5、三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？解：由例3知，可以组成的六个三位数之和是(2+8+7)X222,所以平均值是(2+8+7)X222+6=629。例5一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6,求这个两位数。眸设这个两位数为不，则有(a+b)x5-(10a+b)=6,5a+5b-10a-b=6,4b-5a=6。当b=4,a=2或b=9,a=6时，4b-5a=6成立，所以这个两位数是24或69。例6将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。分析与解：设原来的三位数的三个数字分别是a,b,c。若在最大，则总最小。原来的三位数等于abc-cba=(100债+10b+c)-C100c+10b+a=99义(a-c