解析几何专题二

1、专题二：圆锥曲线焦点弦、焦点知识专题【焦半径椭圆】取弦与焦点轴的锐角为结论:长半焦:1eP;短半焦 21 ecoseP;焦点弦：| AB | =1 ecos1 e cos左焦半径：1 a ex;右焦半径 2 a ex;左焦弦:| AB | =2a e(Xi X2);右焦弦：| AB | =2a e(Xi x?)【焦半径一一双曲线】取弦与焦点轴的锐角为(1)单支焦点半径结论:长半焦:1 eP;短半焦 21 ecosep ;焦点弦：|AB | =feP 2 1 ecos1 e cos左焦半径:1(a ex);左焦弦:| AB | =-2 a e( x1 x2);右焦半径:i ex a;右焦弦：|A

2、B|二e(Xi x?) 2a;(2)双支焦点半径结论:长半焦:1 eP ;短半焦 2 eP;焦点弦：|AB|二ecos 1ecos 1e cos 1异支左焦半径:1 a ex;异支左焦弦:| AB | =2a e(捲x：);异支右焦半径:1 a ex;异支右焦弦：| AB | =2a e(x X2);【焦半径抛物线】取弦与焦点轴的锐角为结论:长半焦：1 P;短半焦 2 P-;焦点弦：|AB|=2吕1 cos1 cossin焦点在x轴上：| AB | =x1 x2 p;焦点在y轴上:| AB |=y1 y2 p【焦点弦有关推论椭圆】取弦与焦点轴的锐角为1、过椭圆、双曲线的一焦点F交椭圆或双曲线(

3、单支)于A,B两点，则112a2|af |BF |b2ep2、过双曲线的焦点F的直线分别与两支交于A,B，与焦点轴夹角为(-)112 cos2a? cos|af |BF |Pb23、过抛物线的焦点F直线交抛物线于A,B两点，与焦点轴夹角为(-)1 1 2I AF | | BF | p4、已知点F是离心率为宁的椭圆或双曲线二的焦点，过点F的弦止 与：的焦点所在的轴的夹角为，且- 11。(1)当焦点F内分弦AB时，有(2)当焦点F外分弦AB时(此时曲线为双曲线)，有卫1【椭圆焦三角形 面积】q为动点到原点的距离,m,n为弦长，为弦夹角2 2 2【椭圆】S (a c )tan ? b tan 2(2

4、) S b mn b2(3) S Ua c)(a c)(a q)(a q)【双曲线焦面积】q为动点到原点的距离,m,n为弦长，为弦夹角(1)Sb2tan 2(2)S bi mn b2(3)S, (a c)(a c)(a q)(a q)【抛物线焦点弦与原点厶 面积】取弦与焦点轴的锐角为焦点在x轴上：S焦点在x轴上:SP22 si nP22si n;S；SP(XiX2p).sin4p(yiy2 P)sin4【焦点顶角】扌椭 圆：当c > b时，-勺 b2 x三 '时顶角为钝角cc双曲线:当-岂Jc2 b2 X a或a xaJc2 b2时顶角为钝角cc、焦半径与焦点弦取弦与焦点轴小于-

5、的夹角22 2务每1焦点弦,准线图a2 b2【焦半径一一椭圆】分析：如上左图，2 2 根据椭圆第二定义:|FlA| e;LFlB| e;准线与对应焦点距离 p = -c = -|AM | |BN |c c| F A|ep设焦点弦与x轴成 角；e | F!A| e|AM | e( p | F, | cos ) 厅上|AM |1 ecos空e|BN |FB | e| BN | e(p | cos )|F1B|ep1 ecos小结:长半焦:!eP ；短半焦21 ecosep1 ecos；焦点弦：|AB| = 12ep-22e cos分析：如上右图根据椭圆第二定义| F A |a2 b2帯e；准线与对

6、应焦点距离p=：心；| F A |设焦点弦与x轴成 角； e |FjA| e| AM | e( p |F1A|cos ) | AM |F1A|ep1 ecos|F1B|BN |F,B | e| BN | e( p |F,B|cos )FB|ep1 ecos焦点在x轴上结论:长半焦：4r;短半焦2厂即；焦点弦：|AB|=12epe2 cos22 x2 x22分析：如上左图根据椭圆第二定义设焦点弦与x轴成角；|FiA|'| AM |e |FiA| e|AM | e( p |FiA|cos ) | FiA|epi ecos|FiB|BN |e |FiB |e| BN |e( p | FiB

7、| cos )| FiB |epi ecos分析:如上右图 |FiA2b2|AM| e；准线与对应焦点距离p亡心；根据椭圆第二定义 |FiA|'| AM |2b2e;准线与对应焦点距离 p = -c= 一 cc|FiA| AM |FiA|e| AM| e(p |FiA|cos ) |FiA|epi ecos| FiB |BN |FiB|e| BN |epe( p |FiB | sin )| FiB |i esin结论:长半焦:i ep;短半焦 2 ep；焦点弦 | AB | =fep 2i ecosi ecosi e cosNa exbe(X1 X2)2 acF1F1F2NBB）axe

8、| AMIa|FiB|1MAAM7BMMANNYF2e| BN |2的夹角Xb )| F2B I e| BN I e(|FiA|【焦半径一一双曲线】exa小于-的夹角Xb ) a exb2 y2 a2(a e( c e(电 cXa) a exaN B内部焦点半径取弦与x（或y轴）2 x b2M2 a x c2 a |F2A | e| AM | e(_ c2ac左焦半径1 a ex右焦半径2 a ex;左焦弦|AB|=2a e(x1 x2);右焦弦|AB|=2a结论:长半焦：1 eP;短半焦 2 eP;焦点弦:| AB | =警 21 ecos1 ecos1 e cos外部焦点半径 取弦与焦点轴

9、小于2 ax 一 :cp1X2 a、 1Ic丿cpc JM、N'1'M : 4/1丨1 / :E2ccep2epep/MMLIMABJNNNb2同理可以推出：（也可从旋转的角度得出以下结论）2 a p = c 分析：如上右图分析：如上左图，根据第二定义：册e;准线与对应焦点距离e(| F1A | cos p )| F1A |ep ecos 1e | F2A| e| AM | e(| AM' | p)e(| F2A | cos p)| F2A |e | F2B | e|BN | e( p| F2B |cos)|F2B|1 ecos|AB|AFi| |BFi|ep ecos

10、 1设焦点弦与x轴成角;册e |F1A| e|AM | e(| AM' | p)e |F1B | e| BN | e( p | F1B | cos ) 厅占|ecos 1|F2A| AM |ecos 1|F2B|BN |ecos 1e2 cos21|F1B|BN |焦点在 x轴上结论:长半焦:1 ep;短半焦 2 ep;焦点弦：|AB|二一ecos 1ecos 1e cos 1焦点在 y轴上结论:长半焦：1 ep;短半焦 2 ep；焦点弦：|AB|二一ecos 1ecos 1e cos 1|AB | |AF1| |BF1|epep2epecos 1 ecos 1 e2 cos21a2|

11、FiA| e| AM | e(Xa a ) a exa ca2IF2AI e| AM I e( Xa ) a eXa c异左焦半径:1 a ex;异右焦半径 2 a ex 异左 | AB | =aexaaexbe( xa xb)异右 | AB | =aexaaexb2a e( xa xb)【焦半径抛物线】取弦与x(或y轴)小于的夹角2从上图容易得出以下结论:长半焦：iP；短半焦21 cosPcos；焦点弦：|AB|=-i2psin从上图分析焦点在x轴上：|AB| 定义 |AM | |B N | (| AM' | | M' M |) (| BN' | | N' N

12、 |)| AB | =x1 x2 p焦点在y轴上：|AB |定义|AM | |B N | (|AM' | | M' M |) (| BN' | | N' N |)| AB | =y1 y2 p【焦半径与焦点弦有关推论】【推论1】一一常用来求定值过椭圆、双曲线的一焦点F交椭圆或双曲线（单支）于A,B两点，贝S11 2a 2| AF | |BF | b2 ep过双曲线的一焦点F的直线分别与两支交于A,B，与焦点轴夹角为（-）112cos2a?cos|af |BF |Pb2过抛物线的一焦点F直线交抛物线于A,B两点，与焦点轴夹角为（-）1 1 2I AF | | BF

13、 | p【推论2】取弦与焦点轴小于-的夹角常用来求定角或斜率2已知点F是离心率为宁的椭圆或双曲线二的焦点，过点丄匚的弦与二的 焦点所在的轴的夹角为，且止二廿町"J。（3）当焦点F内分弦AB时，有（4）当焦点F外分弦ABI旳宀加时（此时曲线为双曲线），有卫1【(1)分析证明】AM NB AMNBAFeBFe(1)BFABAFBF(1)BFe(1)BFcosecos(1)(1 )【(2)分析证明】AB AF BF (1 )BF(1)BFe( 1)BFecos(1)(1)13题)过抛物线一的焦点【焦半径与焦点弦有关例题】例1 (2009年咼考福建卷理科第7作倾斜角为弋的直线，交抛物线于一两

14、点，若线段去 的长为8，则解由抛物线焦点弦的弦长公式为卜磊得，晶，解得F = 2匚心=1也0）例2 （2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆- J的右焦点为F，经过且倾斜角为厅“的直线，与椭圆相交于不同两点丄-， 已知丄。AB =一（1 ）求椭圆的离心率；（2）若1° ,求椭圆方程。百 rre cos 60 =【解】（1）这里宀小，由定理1的公式得一 1,解2泾=得 -Ol_(2)acoga6Qc 2段二一二一卫m ,设2 .-AB15，解得5P-亠即代入焦点氏“贡，代入得疋T弦的弦长公式得，所以'，又所以 ，所以心皿y，故所求椭圆方程为95例3（2007年重庆卷第16题

15、）过双曲线的右焦点F作倾斜角为1°亍的直线，交双曲线于巴。两点，则阳冋的值为【解】 易知'化均在右支上，因为，离心率-'，点准_ £ _忑距' 亠，因倾斜角为1：-：,所以由焦半径公式得，“營/ 才44S/3 _ 4 ,l-e cvs & 1+召匚 201-匚。召 1 - 2 C'js375'1- （l+cos!50'）3例4 （由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线的右焦点F作倾斜角为二厂的直线，交双曲线于两点，则丨；的值为.【解】 因为“离心率，f，点准距，因倾斜角为,所以4 J。注意到r 分别在双曲线的两支上，

16、由焦半径公式得，刪环岛岛二祷旷盂鑰巴例5 （2010年高考全国卷I理科第16题）已知序是椭圆的一个焦点,口是短轴的一个端点，线段心的延长线交于点二，且，贝匸的离心率为【解】 设直线上丄-与焦点所在的轴的夹角为，贝y丸-3，又1_羽：1 = 2,代入公式得 1 ,所以一。/二一c刍-与=1（心a小0）例6 （自编题）已知双曲线 ；的离心率为-,过左焦点7且斜率为：-?的直线交的两支于两点。若八:1 则:【解】 这里-；，上"，因直线止弓与左右两支相交，故应选择公口丸+1必 相3 + 1口眾o cos & cos & = tos 9 = 式；-，代入公式得，所以二所以上二

17、 ran 30° =所以c吕-N=i（q（v >o）例7（2009年高考全国卷H理科题）已知双曲线 二的右焦点为F ,过P且斜率为。的直线交二于一两点。若',贝厂的离心率为（）5叫ct厂14-1厂cos 60* =【解】这里 小，所以n，又，丄，代入公式得-,6所以;，故选例8（2007年高考全国卷I）如图6，已知椭圆-；二 的左、右 焦点分别为二二，过' 的直线交椭圆于；两点，过二的直线交椭圆于两点，且 人-三二。求四边形面积的最小值。DyAB1 1解 由方程可知，八则/ 设直线三与轴的夹角为'，因为二-匸-，所以直线人与工轴 的夹角为只7。代入弦长公

18、式得,阴卜駕畀出I?AC= 切 =心2-sin3故四边形的面积为,(3-cosaina 0) 3- cosa S+3-sina &)?9625所以四边形面积的最小值为二。、圆锥曲线中的焦点三角形面积【椭圆焦三角形】【分析】1(m2m n 2 an 2c) ?rS (2a2c) ?r (a c)r2rMEMF FF2 2atan ; MF i MF 22a; ME EF12 IEF!FiP；FF 2F2P； | F1P F2P 2c; ME2a 2c2(1)S (a c)ME ?tan2MEac S (a2 c2)tan 2 b2tan 2(2)S bsmn b2设|OM|=q (3)S

19、(a b)(a b)( a q)(a q 自己证明提示：S T'ym'讥用ym2 q2【双曲线焦点三角形】2 2,2 m n 4ccos2mn2b2mn1 cos(m n)22mn(1)S mn? sin22 2 2 24c 2mn 4a 4c 2mn , 2b1 - 2mnmnb2b2 sin1 costan 2(2)S bimn b2(同椭圆证明)(3)S <(a b)(a b)(a q)(a q)(同椭圆证明)【抛物线原焦弦三角形】p2PNF加B|而S 1OF?|AB|sin22 sin""1 -cos& 1 -cos& sbr11 AB | Xi X2 p；1|OF |?| AB |sinS P(X1 4X2 叭in同样