异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角专题复习和提高

1、WORD完芙格式.空间角专题复习知识梳理一异面直线所成的角及求法(1) 定义：在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的平行线所成的锐角或 直角称为两异面直线所成的角(2) 取值范围：若O是异面直线臼和力所成的角，则其取值范围是夕丘(0，令，当0=+时，称异面直线&和力垂直，记为日丄力.(3) 求法：平移法：将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后，构造三角 形，通过解该三角形而求其大小；二直线与平面所成的角及求法(1) 定义：设/和a分别表示直线与平面若/| a或/ug，则称直线/和平面$所成的角为0 ；若1丄a，则称/与彳所成的角为冬；若/与2相 2交，则/与/在2内的射影所成的锐角为直

2、线/与平面G所成的角(2) 取值范围：设夕是直线/与平面2所成的角，则夕的取值范围是0,- 2(3) 求法：定义法：探寻直线/在平面a内的射影，(通常由垂直法找射影)构造直线/与平面a所成角对应的直角三角形，通过解该直角三角形而求得直线与平面所成的角三二面角及求法(1) 定义：在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则 这两垂线所成的角称为该二面角的平面角，且定义平面角的大小为该二面角的大 小(2) 取值范围：规定二面角的取值范围为0，兀(3) 求法：定义法：分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角.技术资料.专业整理.WORD完美格式.练习提

3、升1如图、F分别是三棱锥尸一/佩7的棱AP、BC的中点，心10、AB=6、EF=1，则异面直线仏与您所成的角为（A - 30C 60)P常J答案：C2.已知长方体ABCD ABCD中1 AB=BC=A，CC = 2，则直线G和平面 加51所成的角的B.芈D豁正弦值为（）A.乎迺5答案:C3如图，在边长为1的菱形，仏09中，Z/仿C=6（T，将菱形沿对角线折起，使折起后劭=1，则二面角B-AC-D的余弦值为b4a4匕3答案：A4在正方体ABCD-ABCD中，EC与对角面DBBB所成角的大小是（ - 15B - 30C - 45D- 60答案：B5 如图，ABCD ACIX 是长方体，AA=a 1

4、 ZBAB = ZRA6 = 30 * 则 AB 与川61 所成的角为 _，洌与所成的角为_技术资料专业整理.WORD完美格式.答案:30 456.在正方体ABCD小BCD中，(1) 直线4 /与平面仏09所成的角是；(2) 直线川与平面ABGD所成的角是(3) 直线川与平面ABGD所成的角是答案(1)45 (2)30 (3)907 设直线与平面所成角的大小范囤为集合尸，二面角的平面角大小范围为集合0，异面直线所成角的大小范国为集合斤，贝忙R的关系为()A R=PQB C PQD - RP=Q答案：B8 设和所在两平面互相垂直，且AB= BC= BD= a，zCBA= ZCBD= 2Q ，则彳

5、与平面沏所成两的大小为()A 30。B 45C 60D- 75解析：作AOCB交 必的延长线于0，连接，则即为，仞在平面必9内的射影，Z血9即为血与平面处9所成的角.AO= OD=-a */. z JW=45：.答案：B9如图仏是圆的直径，円垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A B)且丹=川则二面角PBCA的大小为A 60B 30D 15签案C10 如图，已知四棱锥戶一川如9的底面是正方形，刊丄平面ABCD 且PA=AD则平面PAB与平面円卩所成的二面角的度数为() - 90B- 60C - 45D- 30解析：必| CD、技术资料专业整理.WORD完美格式.面刃与平面/n?的交线/必为

6、过戶点与 必平行的直线/4丄平面A BCD.丹丄 AB PA 丄 CD、又 CD LAD，DC丄平面PAD：.DCJPD、刊丄八PDJ1、即乙APD为所求二面角的平面角，ZJ/Y=45答案：C11 把正方形M劝沿对再线仞折成直二面角，对于下列结论：AC丄BD ；是正三角形；AB与Q成6（T角；AB与平面沏成60=角则 其中正确结论的个数是（）A1个B2个 03个 D4个解析：取劭的中点0、则BDJLOC，BD5，得劭丄平面AOC :.BD1O 正确；cos/WT=cos45 cos45 =|，Z. 1iQC=60，AD= DC、是正三角形，正确；朋与Q成60角，正确；AB与半& BCD 成角Z

7、打80= 45，错误答案：C12 如图所示的正方体ABCD-ARCIX中，过顶点D、G作裁面，则二面角BDG C的平面角的余弦值是解析：取G的中点、0,连接BO、CO,则力丄G，COICD、:乙BOC是二面角B_/）C_C的平面角设正方体的棱长为1,则=,: BDC为正三角形，.%=，且=1：.cos 乙 BOC=答案:乎13 如图，在直三棱柱ABC-Ay中，AB=BC=AAZMC=9（T 点E、F分别是棱ABBB的中邑则直线肘和加所成的角是（）技术资料专业整理.WORD完美格式.A 45B- 60C - 90D - 120解析：取的中点、G、的中点，连结FG、BG、HG、EH、则刖|滋，且乙

8、EFG或 其补角就是所求的角，利用余弦定理可求得cos乙EFG=-；故所求角为60.答案：B14 如图，将RtZM%沿斜边上的高初折成12（T的二面角C-AD-C，若直角边/1B=4 AC=，则二面角A-BC 一的正切值为（）A.2平面BC，D，AgAyJi，在厶BC，D中，由余弦定理求得BC =4甫，再由面积公式Se -DE=BD-C /?*sin60 知加=4 .*.tanZJZZ=-/2.答案：A点评：考査二面角的知识，余弦定理及三角形的边角计算如何作出二面角的平面角是 解决此类问趣的关键15 在矩形ABCD中，.=3，AD=，丹丄平面ABCD，円=響，那么二面角AB1P的度 数是（）

9、- 30B - 45C 60D - 75解析：如右图所示，过力作AE丄BD、垂足为E、连结私，则丄胁三垂线定理），故乙PEA为二面角P-BD-A的平面角 在Rt创中* AE= RD =寸.技术资料专业整理.WORD完美格式.在 RtMIE中，tanZ丹:仁务乎 /.Z/=30答案：A角为（）A 60C 120B 90D 15016 正四棱锥尸一/仿6刀的两个侧面乃矽与PG9互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的平面解析：如图，作BEJPC、连结加仏PDCPBC、:.DElPC:乙DEB就是二面角D-PC-B的平面角，TO为加的中点Z OEB=ZDEB、又面*仏丄面PCD、:.PgAB，所以/r=

10、在Rt妙中，OC=：乙 OEB=p、： ZDEB=p.答案：C17.如图，在四棱锥F-ABCD中，底面,4必9是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为审的等腰三角形，则二面角V-AB-C的度数是技术资料专业整理.WORD完美格式.答案6018 -如图，直角梯形中ABC/) ZDAB=L 点AN分别在必，CD上，且刖丄AB MClCB、BC=2，MB=A，现将梯形泅/沿刖折起，使平面個初与平面 娥彷垂直(如 图)(1) 求证：肋II平面吃；3(2) 当別=労寸，求二面角D BC N的大小解：(1)证明：妙| 忆，沏刃平面加腮护面忆妙|平面DNC. 同理MA 11平面DNC，又脳H MB= M

11、 且附、.血平面MAB.平面MAB平面川为|丫“耳创I平面忆：/底平面MAB(2)过朮作NH丄BC交 兀延长线于，.平面捌切丄平面MNCB、诩丄彌、.ZW丄平面MBCN*从而ZW丄佬，:.乙DHN为二面角D BC-N的平面角由 MB=A，BC=2，ZJO=90知厶矽=60，6/V=4-2cos60=3 /./W=3sin60=ny、伦由条件知：tanAZ=-y=.Z；W=30.19如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD走矩形，*4丄平面ABCD，PA=AD= AB=2，E、F分别是 AB、PD的中点、(1)求证：Mil平面磁；(2)求兀与平面力册所成的角的正切值；(3)求二面角P-EC

12、-D的正切值 解：(1)证明：如图，取/T的中点0，技术资料专业整理.WORD完美格式.连接0E、则FODC且砂孰，:.FOAE又是初的中点*且 AB= DC，:FO=AE四边形/财是平行四边形，.Mil 0E.又妙平面PEO川宙平面磁，.Mil平面磁(2)如图 连接/4丄平面A BCDZPCA是直线您与平面必所成的角 在RtAr中，tanZ/4=-即直线您与平面ABC/)所成的角的正切值为(3)如图，作側丄，交必的延长线于必连接人厂由三垂线定理得心/丄他，Z-PMA是二面角P EC D的平面角由/依s磁可得p.j tanZ *呦=二面角P-EC-D的正切值为农.20.如图所示，四棱锥P-M0

13、9的底面处少是边长为1的菱形，ZBCD=E足皿的中点，PA丄底面ABCD(1)证明：平面磁丄平面用;技术资料.WORD完美格式.(2)求二面角A-BE-P的大小(1)证明 如图所示，连接劭，由/仍3是菱形且Z劝=60知，是等边三角形因为是Q的中点，所以BE1CD. 又 ABCD所以BE丄AB.又因为丹丄平面A BCD 遊平面宓9，所以用丄滋而 PAQAB=A，因此滋丄平面刃E又册平面PBE、所以平面磁丄平面仏(2)解由(1)知，滋丄平面PAB、P昭面PAB，所以丄滋又必丄滋，所以Z.PBA是二面角A-BE-P的平面角PA L在RtMlB中，tanZ私仁羽=萌 则ZPBA=HQ 故二面角A-BE

14、-P的大小是60.21 已知平面a外两点A、B到平面的距离分别为1和2 SB两点在a內的射影之间 距离为萌，求直线/仿和平面2所成的角解(I)如图(1)，当A、B位于平面a同侧时，由点/八分别向平面彳作垂线，垂足分别 为A B *则AA = 1，BB = 2 1倪巾=过点A作AHlBB于H、则AB和a所成角即 为乙HAB.而 tan Z BAH=2-1_a/3萌_ 3旳=30(2)如图(2) 5当A、位于平面a异侧时，经A、分别作曲I丄7于A BB丄a予BABV a = C、则川为必在平面7上的射影，ZBCB或Z/f创为处与平面7所成角技术资料专业整理.WORD完美格式.务等 =2，皿2功而 BC+CA=y3 *. .tan Z BCB：BB 2ZBCB=6V，与a所成角为60.综合(1)、(2)可知：彳与平面2所成角为30或60.22.如图，在三棱锥Q-/個C中，用丄底面ABC，Z傥:仁90，邑E分别在樓PBPC上，且|处(1) 求证：BC1.平面刊C(2) 是否存在点E使得二面角A