弹簧质量阻尼系统模型

1、自动控制原理综合训练项目题目：关于MSD 系统控制的设计目录1 设计任务及要求分析 4.初始条件 4要求完成的任务 5任务分析 52 系统分析及传递函数求解 6.系统受力分析 6传递函数求解 11系统开环传递函数的求解 123.用 MATLAB对系统作开环频域分析 1.3开环系统波特图 13开环系统奈奎斯特图及稳定性判断 144.系统开环频率特性各项指标的计算 1.7总结1.9.参考文献2.0.弹簧 -质量 -阻尼器系统建模与频率特性分析1 设计任务及要求分析初始条件已知机械系统如图。k1pk2图 机械系统图要求完成的任务(1) 推导传递函数 Y(s)/X(s)， X(s)/P(s)，(2)

2、给定 m 0.2g,b2 0.6N ?s/m,k1 8N /m,k2 5N/ m，以 p 为输入 u(t)( 3) 用 Matlab 画出开环系统的波特图和奈奎斯特图， 并用奈奎斯特判据 分析系统的稳定性。( 4) 求出开环系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度。( 5) 对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须进行原理分 析，写清楚分析计算的过程及其比较分析的结果，并包含 Matlab 源 程序或 Simulink 仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。任务分析由初始条件和要求完成的主要任务，首先对给出的机械系统进行受力分析， 列出相关的微分方程， 对微分方程做拉普拉斯变换， 将初始

3、条件中给定的数据代 入，即可得出 Y(s)/ X(s)， X(s)/P(s) 两个传递函数。由于本系统是一个单位负 反馈系统，故求出的传递函数即为开环传函。 后在 MATLAB中画出开环波特图和 奈奎斯特图， 由波特图分析系统的频率特性， 并根据奈奎斯特判据判断闭环系统 位于右半平面的极点数， 由此可以分析出系统的稳定性。 最后再计算出系统的截 止频率、相角裕度和幅值裕度，并进一步分析其稳定性能。2 系统分析及传递函数求解系统受力分析单自由度有阻尼振系的力学模型如图 2-1 所示，包括弹簧、质量及阻尼器 以物体的平衡位置 0 为原点，建立图示坐标轴 x。则物体运动微分方程为mx cxkx（2-

4、1）式中 ： cx 为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。将上式写成标准形式，为mx cx kx 0（2-2）令 p2= k , 2n c , 则上式可简化为mm2x 2nx p2 0 （2-3）这就是有阻尼自由振动微分方程。它的解可取 x est ，其中 s是待定常数。代入（ 2-1）式得 （s2 2ns p2）est 0 ，要使所有时间内上式都 能满足，必须 s2 2ns p2 0 ，此即微分方程的特征方程，其解为s1,2 n n2 p2（ 2-4）于是微分方程（ 2-1）的通解为x c1es1t c2es2t e nt（c1e n2 p2t c2e n2 p2t）（2-5）式中待定

5、常数 c1与 c2决定与振动的初始条件。振动系统的性质决定于根式 n2 p2 是实数、零、还是虚数。对应的根 s1 与 s2 可以是不相等的负实根、相 等的负实根或复根。若 s1与 s2为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系 数，记为 cc，即 cc2mp。引进一个无量纲的量 ，称为相对阻尼系数或阻尼比。 从上式看出，当时间 t 增长时，第二项 c2tept 也趋近于零。因此（ c）式表示的 运动也不是振动，也是一个逐渐回到平衡位置的非周期运动。n/ p c/ 2mp c/cc2-6)当 n>p 或 >1,根式 n2 p2 是实数，称为过阻尼状态，当 n<p 或 <

6、1，根式n 2 p2 是虚数，称为弱阻尼状态，当 np，即 1，称为临界阻尼状态。现分别讨论三种状态下的运动特性。1.过阻尼状态此时 >1，即 n2 p2 <n，（ b）式中 s1及 s2均为负值，则 es1t及es2t 是两根下降的指数曲线， 故（2-2）式s1ts2t所表示的是两条指数曲线之和， 仍按指数衰减，不是振动 时的情况。图 3-2 所示为 c1>c2,c1<0图 2-22.临界阻尼状态此时 1，（b）式中 s1s2n p，特征方程的根是重根，方程（ 2-1）的另一解将为 te pt，故微分方程（ 2-1）的通解为x（ c1c2t）ept2-7)式中等号右边

7、第一项c1ept 是一根下降的指数曲线， 第二项则可应用麦克劳林级数展开成以下形式：c2te ptc2c2ept/t 1/t p p2t/2! p3t2 /3!pntn /n! (2-8)3.弱阻尼状态此时 p>n,或 <1。利用欧拉公式e n2 p2te pn2tcos p2 n2t isin p2 n2t (2-9)可将（ 2-2）式改写为nt ip2n2t ip 2n2tnt (C1eipn tC 2e ipn t )nt (D1 cos p2 n2tD 2 sin p2n t)( 2-10)或x Ae nt sin( p2 n2 t)（1-11）令 pdp 2 n2 ，则x

8、 Ae nt sin( pd t)（2-12）式中 A 与 为待定常数，决定于初始条件。设 t 0 时， xx0， x x0 ，则可求 得2x0nx0 2 1x0 pdA x20（ 0 0）2 ,tg 10 d（2-13）pdx0 nx0将 A 与 代入（ 2-4）式，即可求得系统对初始条件的响应，由式（ 2-13）可知， 系统振动已不再是等幅的简谐振动， 而是振幅被限制在曲线 Ae nt 之内随时间不 断衰减的衰减振动。如图 3-3 所示。P2 n 22Td P2 n2212f1（2-15）T 11 2 （2-15）图 2-3这种衰减振动的固有圆频率、固有频率和周期分别为PdP2 （ 2-1

9、4）式中 P、f、T 是无阻尼自由振动的固有圆频率、固有频率和周期。由上可见， 阻尼对自由振动的影响有两个方面： 一方面是阻尼使自由振动的 周期增大、频率减小，但在一般工程问题中 n都比 P小得多，属于小阻尼的情况。 例 =n/p=时， fd=，Td=；而在 =时， fd=，Td=，所以在阻尼比较小时，阻尼对系 统的固有频率和周期的影响可以略去不计， 即可以近似地认为有阻尼自由振动的 频率和周期与无阻尼自由振动的频率和周期相等。 另一方面， 阻尼对于系统振动 振幅的影响非常显著，阻尼使振幅随着时间不断衰减，其顺次各个振幅是：t=t1时，A1=Ae-nt1；t=t1+Td 时，A2=Ae n(t

10、1 Td)；t=t1+2Td 时， A3=Ae n(t1 2Td ) ， .。. 而相 邻两振幅之比是个常数。即Aj / Aj 1 enTd(2-16)式中 称为减幅系数或振幅衰减率， n 称为衰减系数， n 越大表示阻尼越大，振 幅衰减也越快。当时， ，A2=A1/=，每一个周期内振幅减少 27，振幅按几何级数衰减，经过 10 次振动后，振幅将减小到初值的。可见，衰减是非 常显著的。在工程上，通常取（ 2-6）式的自然对数以避免取指数的不便，即Ln(Aj / Aj 1)nTd2-17)式中 称为对数减幅或对数衰减率。将 Td 2 / p2代入，得n / p2 n2 2/12-18)当 <

11、;<1 时，2-19)因为任意两个相邻的振幅之比是一个常数enTd，即A1 / A2 A2 / A3 A3 / A4Aj / AjnTd故有A1/Aj 1 ( A1 / A2)( A2 / A3 )( Aj / Aj 1)ej因此对数减幅 也可表达为1 Ln A1 jA( j 1)2-20)此外，根据（ 3-6）式，可以用实测法来求得系统的阻尼系数因为Ln AjA j 1nTdn 1 Ln AjTdA j 1c2m1 Ln AjTdA j 12mTdLn AjAj 12-21)所以只要实测得出衰减振动的周期 Td 及相邻两次振幅 Aj 和 Aj+1，即可计算出系统 的阻尼系数 C。根据弹

12、簧和阻尼器的特性可得以下关系式：Fk1(t)=k1x(t)，Fk2(t)=k2x(t) y(t)，Fb2(t)=b2dy(t)/dt设不加 p(t) 时，质量块处于平衡状态，此时 x=0，y=0，即 x(0)=0，y(0)=0， 根据受力平衡方程，在不计重力时，可得出以下方程：(2-22)k2x(t)-y(t)=b 2dy(t)/dt又根据牛顿第二定律，有方程：md2x(t)/dt 2=p(t)Fk1(t) Fk2(t) Fb2(t)(2-23)传递函数求解1)求 Y(s)/X(s)：对式 (2-1)进行拉普拉斯变换，得： k2X(s)k2Y(s)=b2*sY(s)，化简得传递函数：Y(s)/

13、X(s)=k2/(b2s+k2)(2-24)2)求 X(s)/P(s)：对式 (2-2)进行拉普拉斯变换，得： ms2X(s)=P(s) k1X(s)2k2X(s)Y(s)，并 将式(2-3)代入可解得传递函数： X(s)/P(s)=(b2s+k2)/mb 2s3+mk2s2+b2(k1+2k2)s+k1k2 (2-25)已知条件为：给定 m 0.2g,b2 0.6N ?s/m,k1 8N /m,k2 5N/m，设 p(t)是输入 u(t) 的阶跃力将所给参数代入传递函数式 (2-3)和式 (2-4)中，可求得具体的传递函数如下：2-26)Y(s)/X(s)=5/+5)X(s)/P(s)=+5

14、)/( *10-4s3+10-3s2+40) (2-27)系统开环传递函数的求解( 1)对于 Y(s)/X(s)：由微分方程 Y(s)/X(s)=5/+5)可画出单位负反馈系统方框结构图如下：X(s)5/+5)Y(s)故开环传递函数为： G(S)=5/+5)( 2)对于 X(s)/P(s)：由微分方程 ms2X(s)=P(s) k1X(s)2k2X(s) Y(s)及 Y(s)/X(s)=k2/(b2s+k2)可画出 系统方框结构图如下：X(s)P(s)故开环传递 G(s)=3.用 MATLAB 对系统作开环频域分析开环系统波特图( 1)对于 Y(s)/X(s)：画波特图时采用的 MATLAB语

15、句如下 : >> num=5;den=(,5);%画系统的开环对数幅频、 相频特性运>> margin(num,den) 行结果如图 3-1图 3-1 Y(s)/X(s)的开环波特图2)对于 X(s)/P(s):G(s)=画波特图时采用的 MATLAB语句如下 : >> num=,5;den=( );>> margin(num,den)%画系统的开环对数幅频、 相频特性运行结果如图 3-2 所示 :图 3-2 X(s)/P(s)的开环波特图开环系统奈奎斯特图及稳定性判断( 1)对于 Y(s)/X(s)画奈奎斯特图时 MATLAB语句如下：>

16、> num=5;>> den=,5;>> nyquist(num,den)运行结果如图 3-3 所示：图 3-3 Y（ s）/X（ s）开环奈奎斯特图开环传函,由于系统开环传递函数不存在右半平面的极点，故P=0， 从系统的开环幅相曲线不能包围（ -1，j0）点周数 N=0，则系统位于右半平面的闭环极点数为 :Z=P-2N=0故, 系统是稳定的。2)对于 X(s)/P(s)画奈奎斯特图时 MATLAB语句如下： >> num=,5;>> den= ;>> nyquist(num,den) 运行结果如图 3-4 所示：图 3-4 X

17、（ s） /P（ s）开环奈奎斯特图开环传函 G（s）= 由于系统开环传递函数不存在右半平面的极点，故 P=0， 从 系统的开环幅相曲 线不能包围（ -1，j0）点周数 N=0，则系统位于右半平面的闭环极点数为 :Z=P-2N=0, 故系统是稳定的。4.系统开环频率特性各项指标的计算( 1)对于 Y(s)/X(s)：计算各项频率指标时采用的 MATLAB语句如下 :>> num=5;den=(,5);>> margin(num,den);>> gm,pm,wcg,wcp=margin(num,den)计算幅值裕度 gm( )、相位裕度 pm( )、穿越频率

18、wcg( )、截止频率 wcp( )。 运行结果gm =Infpm =180 wcg =NaN wcp =由结果可知该系统幅值裕度为无穷，截止频率为 0，相位裕度为 180 是正值，故 系统稳定。( 2)对于 X(s)/P(s) :G(s)=计算各项频率指标时采用的 MATLAB语句如下 :>> num=,5;den=(*10-4,10-3,40)>> margin(num,den);>> gm,pm,wcg,wcp=margin(num,den)计算幅值裕度 gm( )、相位裕度 pm( )、穿越频率 wcg( )、截止频率 wcp( )。 运行结果gm =Infpm = wcg =Infwcp =由结果可知该系统幅值裕度为无穷，截止频率为 308rad/s，相位裕度为是正值， 故系统稳定。总结本次课设是对一个弹簧 -质量 -阻尼器系统建模并进行频率特性分析。首先根 据这个实际的机械系统的受力分析得出它的受力微分方程， 对其进行拉普拉斯变 换，可以得出传递函数。 在求开环传递函数的过程中我遇到了一些困难， 在老师 的指点和同学的帮助下我发现自己其实把问题想得过于复杂了， 原来这是