必修五基本不等式讲义

1、学习必备欢迎下载3.4基本不等式abab2一、基本不等式：abab21、重要不等式 ： a 2 b2 2ab(a、 b R)当且仅当“ a b”时“”成立。注意：（ 1）不等式成立的条件是“a b”，如果 a 、b 不相等，则“”不成立； （ 2）不等式的变形： a b a2b2 a b ( ab )2a 2b 2 ( a b ) 2 ab22222222( a b ) ( a b)2、基本不等式： a b ab当且仅当“ a b”时“”成立。( a 、 b R )2注意：（ 1）内容： a 0， b 0，当且仅当“ a b”时“”成立； （ 2）其中 ab 叫做正2数 a 、b 的算术平均数

2、，ab 叫做正数 a 、b 的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。例 1：求证对于任意实数a ，b， c，有 a 2b2 c2 a bbc c a ，当且仅当 a b c 时等号成立。a2 b22ab c2 b2 2bca2c2 2ac【证明】：222222 2(a b c ) 2ab 2bc 2ac ，a b c abbc ca当且仅当 ab c 时等号成立。变式练习 1：若 0 a 1， 0 b 1，且 a b，则 a b， 2ab ， 2 a b， a 2b2 中最大的一个是（）A ： a 2b2B ： 2 abC： 2 a bD： a b变式练习 2：下列不等式：

3、（ 1）x 1 2；（ 2） x 1 2；（ 3）若 0 a 1 b，则xxlog ablog ba 2；（4）若 0a 1 b，logab log ba 2。其中正确的是_。均值不等式推广：2ab a ba2b 22211ab调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数当仅且当“ a b”时“”成立。学习必备欢迎下载二、最值定理已知 x、y 都是正数。（1）如果积 xy 是定值 P，那么当 x y 时，和 x y 有最小值 2P ，即 x y 2xy ；（2）如果和 x y 就定值 S，那么 xy 时，积 xy 有最大值 S2，即 xy ( x y) 2 。42利用基本不等式必须满足三个条件：

4、“一正、“”二定、”“三取等。”应用一：求最值例 2：已知函数 f(x) 3x 12 (x 0)x（1）当 x 0 时，求函数的最值； （ 2）当 x 0 时，求函数的最值；【解析】：（1）当 x 0 时， f(x) 3x 12 23x 1212xx当且仅当 3x 12 ，即 x 2 时，“”成立。x（2）当 x 0 时， x 0， f(x) 3x 12 ( 3x 12) 23x12 12，xxx当且仅当 3x 12 时，即 x 2 时，“”成立。x变式练习 ：求下列函数的最值（1） y 3x21（2） yx 12x 2x应用二：凑项例 3：已知 x 5 ，求函数 f(x) 4x 21的最大值

5、。44x5【解析】：解：因4x5 0 ，所以首先要“调整”符号，又(4 x1不是常数，所以2)4x5对 4x2 要进行拆、凑项，x515 4 x132 3 1, 5 4 x 0 ，y 4 x 244 x 55 4 x当且仅当 5 4 x1，即 x 1 时，上式等号成立，故当x1 时， ymax 1。54x变式练习 1： f(x) 1 x (x 3)的最小值为 _ 。x3学习必备欢迎下载例 4：当 0 x 4 时，求 f(x) x(8 2x ) 的最大值。【解析】：当，即 x2 时取等号当 x2 时， yx(8 2x) 的最大值为 8。变式练习 1：设 03，求函数 y4 x(32x) 的最大值

6、。x2【解析】：0 x32x0 322 2x2 y 4x(32x)22x(32x)32x922当且仅当 2x32x, 即 x30, 3时等号成立。42变式练习 2： 0x2x(2 3x) 的最大值。，求函数 f(x) 3应用三： 分离例 5：若 x 0，求函数 f(x)x的最值。3xx 21变式练习 1：当 x0 时，则 f(x) 2x的最大值为 _。2x1变式练习 2：已知 x 1，求函数 f(x) x 27 x 10 的最小值。x 1【解析】：当, 即时 , y2（ x1)4（当且仅当 x 1时取“”号）。5 9x 1变式练习 3：若对任意 x 0，x a 恒成立，则 a 的取值范围为 _

7、。23xx1应用四：整体代换例 6：已知 x0, y0 ，且 211 ，则 xy 的最小值是 _。xy学习必备欢迎下载变式练习 1：已知 x 0， y 0，且 2x y 1，则 11 的最小值为 _。xy变式练习 2：已知 x0, y0 ，且 212 ，则 xy 的最小值是 _。xy变式练习 3：若函数 f(x) a x 2 2 (a 0，a 1)的图象恒过点A ，若点 A 在直线 mx ny1 0，其中 m、 n 均大于 0，则 12的最小值为 _ 。mn变式练习 4：设 x 0， y 0 且 x 2y 2xy 0，若 x 2y m 0 恒成立，则实数m 的取值范围是 _。【解析】： x 2

8、y 2xy 0， 1 1 1， 则 (x 2y)(1 1) 4，故 m 42 yx2 yx变式练习 5：an 满足 a 2017 2 a 2016 3 a 2015 ，若存在不同的两项 a p 、已知正项等比数列a m 使得 a p am 3 3 × a114，则m的最小值是 _。p【解析】： 116应用四：条件最值例 7：若实数满足 a b2 ，则 3a3b 的最小值是 _ 。【解析】： 3a 和 3b 都是 ab2正数，3a3b 23a3b23ab6当 3a3b 时等号成立，由a b2 及 3a3b 得 ab1 即当 ab1时， 3a3b 的最小值是 6。变式练习 1：若 log

9、 4 xlog 4y2，求 11 的最小值，并求x， y 的值。xy【解析】： log4x log 4y log4(x× y) 2， x× y1611 xy x yxyxy162xy 1 ，当且仅当 x y 4 时“”成立。162学习必备欢迎下载变式练习2： 已知函数f(x) 4x a(x 0， a 0) 在 x 3 时取得最小值，则a x_。【解析】： 6变式练习3：设 x 0， y 0， z 0，且 x y z 1，若1 xy m 0 恒成立，xyz则实数 m 的取值范围是 _。【解析】：1 xy m 0 恒成立， 则x1 xy m 恒成立， 则令 f(x) 1x yz

10、yzx y x y xy z xy 1z xy 3，故 m 3。zxyzxyz应用五：换元例 8：求函数 f(x) x 25x 2的最值。4【解析】： f (x) x241 x 241x24x 24 不能用均值不等式：x 24 14 2， 当且仅当x24 14，即：x2x 2x24 1， x2 1，此时 x 没有实数解。 f (x) x 241 x 24 1令x 24 t ( t 2)x24x 24 f (t ) t 1( t 2 )函数 f(t ) 在t2,上单调递增。 当 t 2时， f(t) 有最小值 5即2x 24 2， x 0， f(x) min 52变式练习 1：求函数 f(x)

11、的值域。x29x21变 式 练 习2 ： 求 函 数f(x) sin x2, x(0,) 的最小值。sin x学习必备欢迎下载课后综合练习1ab1ab2ab；（ 2）aab b；（3）a2、设是正实数，以下不等式： （ ）a bb2 4 a b 3b2；（ 4） a b 2 2。恒成立的序号为（）abA ：（ 1）（ 3）；B：（ 1）（4）；C：（ 2）（ 3）；D：（2）（ 4）【解析】：D（ 1）（ 2） a b a b（ 3） a 2 3b2 b2 4 a b a 2 4b2 4a b 4 a b 4 a b 0；2、若 a 、 b 均大于 1 的正整数，且a b 100，则 lg a

12、 × lgb 的最大值是（）A ： 0B： 1C： 2D：52【解析】：B3、若 x 0，则 x4 的最小值是（）xA ： 2B： 3C：2 2D： 4【解析】：D4、已知 0 x 1，则 x(3 3x)取得最大值时x 的值为（）1B ：132A ：2C：D：343【解析】：C5、设 a 0，b 0 若3 是 3a 与3b 的等比中项，则1 1 的最小值（）ab1A：8B：4C：1D：4【解析】：B6、函数 f(x) x 22x 2_ 。x(x 1)图象的最低点坐标是1【解析】： (0， 2)2 2 a x 2b 的零点，则 a b 的最大值为 _。7、若 a 0，b 0，且 x 1

13、 是函数 f(x) 12x【解析】： 98、若正数 a 、 b 满足 a b a b 3，求 a b 的取值范围。【解析】： a b 92y 21 y29、已知 x 0， y0，且 x 1，求 x的最大值。2【解析】： 32410、已知不等式2 a x a 2 0 的解集为 (， x1) (x2， )，其中 x 0 x ，则x12x1x2 2 2 的最大值为（）x1x2学习必备欢迎下载A ：3B ：0C： 2D：322【解析】： x1 0x2， x1× x2 a 2 0 x1 x2 2 2 x1 x2 2( x1x2 )x1x2x2 x1 a 2a a 2a4 40a2211、如图，

14、 在 ABC 中， D 为 BC 的中点， E 为 AD 上任一点， 且 BEABA BC ，则1 1的最小值为 _。E【解析】： 32 2BDC12、若两个正实数x， y 满足1 4 1，且不等式 x y m2 3m 有解，则实数m 的取xy4值范围是 ()A ： ( 1，4)B ：( ， 1) (4， ) C： ( 4， 1)D： ( ， 0) (3， )y2y214【解析】：选 B 不等式 x 4<m 3m有解， x4min m3m， x 0，y 0，且 x y1xyxy144x y24xy244 y ，即x2y·，4xy 2 ，当且仅当 x4y4xy4xy4x8时取等号，x ymin 4，234，即 (1)( 4) 0，解得1或 4，4mmmmmm故实数 m的取值范围是 ( ， 1) (4 ， ) 13、某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为400 平方米的三级污水处理池，如图所示，池外圈造价为每米 200 元，中间两条隔墙造价为每米250 元，池底造价为每平方米80 元 (池壁的厚度忽略不计，且池无盖).若使水池的总造价最低，那么污水池的长和宽分别为()40A：40 米