第六讲空间解析几何.

1、第六讲空间解析几何向量代数与空间解析几何1、向量的坐标表示及其线性运算(1) a (a x , a y ,a z )a x ia y jaz k模 aax2a y2a z2，方向余弦cosacosayazx , cosaaa已知点 M 1( x1 , y1, z1 ),M 2 ( x2 , y2, z2 )M1M2( x2x1, y2y1 , z2z1 )（2）线性运算a (ax , a y , az ),b(bx ,by ,bz )a b ( axbx ,a y by , azbz )a ( ax , ay , az )（3）向量的数量积。向量积数量积a bab cos(a, b )a(b

2、)ab(a)ba xbxay byaz bz性质满足交换律、结合律、分配律aba b02.平面及其方程已知平面 过点 M（x、y 、 z），nA,B,C为 的法矢量。00001点法式： A(x-x0)+B(y-y)+C(z-z0)=002一般式： Ax+By+Cz+D=0，A、B、C 不全为零。3截距式： xyz1，a，b，c 分别为平面在 x 轴、 y 轴、abcz 轴上的截距。1 2n1n 211 2n 1n 2点 M0(x 0、 y0、z0) 到平面 Ax+By+Cz+D=0的距离为Ax 0 By 0Cz0DdB 2C2A 2xoy 平面，z0,n(0,0,1)yoz 平面x0,n(1,

3、0,0)xoz 平面，y0,n(0,1,0)例 1 习题 4.13求 通过点 P（2，-1 ， -1 ），Q（1，2， 3）且垂直于平面2x+3y-5z+6=0 的平面方程。解： QP1,3, 4，已知平面的法矢量 n1 2,3, 5ijkQP n113427i 3j 9k235取 n9, 1,3所求平面为： 9(x-2)-(y+1)+3(z-1)=0即： 9x-y+3z-16=0例 2、求垂直 xoy 平面且过 M 1（2，-1，0），M 2（ 3， 0， 5）的平面方程解： n k ， n M 1M 2ijkkM 1 M 2001ij115( x2 ) + ( y + 1 ) = 0得平面

4、方程： x y3=0p174例 4.134.1423. 曲面及其方程常用二次曲面的方程及其图形1. 球面设 P0 x 0 , y 0 , z0 是球心， R 是半径， P x, y, z是球面上任一点，则P0 PR，即x x 02y y 02z z02R 2x 2y 2z 2R 22、椭球面x 2y 2z21a2b2c23、旋转曲面设 L 是 x0z 平面上一条曲线fx, y0 ，L 绕 z 旋转y0一周所得旋转曲面： fx 2y 2 , z0x 0x 2y 2z z02x 2y 2 , z z0x 0x 2y 2z0z 代入方程 f x, z 0得 fx 2y 2 , z0z(0,0,z 0)y0(x 0,y 0,0)(x,y,z)x例 7 z x 2y 2 , za x 2y 2称为旋转抛物面旋转双曲面： x 2y 2z 21， (单) zx 2y 2z2a 2c 2a2c24、椭圆抛物面zax 2by 2ab 05、单叶双曲面x 2y 2z21a2b 2c26、双叶双曲面x 2y 2z21a2b 2c237、二次锥面x 2y 2z 20a2b2c 2圆锥面z 2