第十一讲立体几何(一)平行与垂直.

1、第十一讲立体几何（一）平行与垂直【内容要点】垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题.直线与平面是立体几何的核心内容，主要包括： 三条公理、 三个推论、 三线平行公理 （公理 4）、三垂线定理及其逆定理、三种位置关系（直线与直线、直线与平面、平面与平面）。其中 “平行问题 ”与 “垂直问题 ”是两类重要的证明问题。【例题剖析】例 1.如图，已知平面，A， C， B，D，异面直线AB和 CD分别与交于 E 和 G，连结 AD和 BC分别交于F， H(2)判断四边形EFGH 是哪一类四边形；(3)

2、若 AC=BD=a ，求四边形EFGH 的周长需经过分别与 AB( 或 CD) 共面的直线 (例如 AD) 进行过渡，再利用平面几何知识达到论证的目标。(2)在 (1) 的基础上，不难判断EFGH 四边形的类型。(3)利用 (1) 、 (2)的结果再进一步进行探索。解： (1) 由 AB ，AD 确定的平面，与平行平面和的交线分别为(2)面 CBD 分别交， 于 HG 和 BD 由于， 所以 HG BD 同理 EH AC 故 EFGH 为平行四边形。评述此问题的最终解决都是利用平面几何的有关知识进行的，这里利用了辅助平面ABD 和 ADC 是关键所在，本题也是利用线面、面面、线线平行的互相转化

3、这一基本思想得到最后结果的BF例 2. 正方形 ABCD 和正方形ABEF 所在平面互相垂直，点 M ，N 分别在对角线上，且 AM=FN求证： MN 平面 BEC分析 ：证线面平行线线平行，需找出面BEC 中与 MN 平行的直线。AC和证明（一） ：作 NK AB 交 BE 于 K，作 MH AB 交 BC 于 H MH NK ABCD 与 ABEF 是两个有公共边 AB 的正方形它们是全等正方形 AM=FNCM=BN又 HCM= KBN ， HMC= KNB HCM KBNMH=NK MHKN是平行四边形 MN HK HK平面 BECMN平面 BEC MN 平面 BEC证明（二） ：分析：

4、利用面面平行线面平行过 N 作 NPBE，连 MP， NPAF FN/FB=AP/AB AM=FN ，AC=BF FN/FB=AM/AC AP/AB=AM/AC MP BC平面 MNP 平面 BCE MN 平面 BCE解题中经常需要作互相平行的直线，为了使作直线的位置符合要求，构造成平行四边形，利用平行四边形对边这一关系是作平行线的依据之一。例 3. 正方体 ABCD A 1B 1C1D1 中， MN 是异面直线 A 1D 与 AC 的公垂线段，求证：MN/BD 1。分析： 由于 MN A D 且 MN AC 联想到线面平行的性质定理，只需证明MN 平面1，且 BD 1平面，为此在图形中发现满

5、足该要求的平面，由直觉猜测平面ACB 1，即是要找的，再予以验证即可，这似乎容易证明。证明： 连结 AB 1， CB1D1 D平面 ABCD，DB是D1B在平面 ABCD上的射影而AC 平面 ABCD，且 AC DB，由三垂线定理，有 D1B AC，同理可证 D1 B B1CD1 B 平面 ACB1（1）B1C / A1 D，而MN A1DMN B1C又 MNACMN 平面 ACB1（ 2）由（ 1）（ 2）及线面垂直的性质定理，知MN/BD 1。注本题看似平行问题，但要利用线面垂直的判定，性质定理，说明了平行问题与垂直问题的紧密联系。例 4.如图，已知平面，且=m ，求证 m分析 ：可用直接

6、证法，即在内找出两条直线，使之都与 m 垂直即可，由于已知 ，这样的直线是可以找到的； 也可用间接证法，即用反证法或同一法均可以得到证明，这是因为两个平面相交时，只有一条公共的直线作 PA a 于 A ，PB b 于 B，因为、 ， 所以 PA ， PB， =m，故 PA m， PB m，因此 m是 m，故 m评述 证法一是通过 m 垂直于内两相交直线来实施同一法进行证明本题也可用反证法进行证明m的结论； 而证法二是用本题是很容易证明的正确命题，而不是定理， 因此在做解答题时，不能作为论证的依据而使用交例 5. b 于 B已知： a，b 是两条异面直线，a，b， =l ，AB是 a，b 共垂线

7、， 交a 于 A ，求证： AB l证明（一）：（利用线面垂直的性质定理）过 A 作 b1b，则 a， b1 可确定一平面 AB 是异面垂线的公垂线，即 AB a， AB b ABb1 AB a ， b， =l la，lb lb1 l r AB l证明（二） ：（利用同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行）。l b gBmnaAAB 是异面直线 a， b 的公垂线，过AB 与 a 作平面， =ma a m又 aAB ，AB mAB又过 AB 作平面 g， g =n同理： nAB mn，于是有m又=l m lAB l例 6. 如图，已知ABCD 为矩形， PA面 ABCD ，M 、 N 分别

8、为 AB 和 PC 的中点。(1)求证 MN CD； (2) 若 PA=AD ，求证面MND 面 PDC分析： (1)显然 CD 与 MN是异面直线，证明其垂直的途径有二，其一是直接利用三垂线定理或其逆定理， 其二是利用三垂线定理的证明方法，即通过线面垂直来证明线线垂直。(2)证明面面垂直的基本方法就是证明一个面经过另一个面的一条垂线。由 (1) 已证明了 MN CD ，只需再证明 MN PC 即可。(1)证法一 ：如图，连 AC ，过 N 作 NO AC 于 O，因为 PA面 ABCD ，故 PAAC 。因而 PA NO ，所以 NO面 ABCD 。且由 N 为 PC 中点知 O 为 AC

9、中点，即矩形 ABCD 的中心， OM 为 MN 在面 ABCD 内的射影。显然 OM AB ，所以 MN AB( 三垂线定理 )，因为 AB CD，所以 MN CD。证法二 ：取 DC 的中点 E。因为 N 是 PC 中点，所以 NE PD。 ME AD 。因此 ME DC又因为 PA 面 ABCD ， AD DC 。故PD所以 MN DC(2)证法一 ：如图，连 PM， MC 由 PA=AD=BC ， AM=MB ， PA AM ， MB BC ，可知 PM=MC 又由 N 为 PC 中点，知 MN PC由 (1)MN DC，所以 MN 面 PDC 因而面 MND 面 PDCPA=AD 得

10、 AE PD所以 MN PD又因为MN DC，所以 MN 面 PDC因此面MND 面 PDC。评述 (1)的两种证法恰好体现了用三垂线定理本身， 和用三垂线定理的证明所给出的思想和方法； 三垂线定理的主要功能就是用来判断平面内的直线与该平面外的直线的垂直问题，而应用时， 首先应作出面的垂线，才能得出斜线在面内的射影而三垂线定理的证明的基本思想就是通过线面垂直来证明线线垂直这一转化思想(2)确定选取垂直于面PDC 的直线是MN ，而不是 MD ，是因为 MN CD 而 MD 不垂直于 CD证法一是证明 MN PC，而证法二是证明 MN PD【疑难解析】1. 通过本节课的复习，我们把立体几何中判定

11、“平行”、“垂直”的有关公理、定理的内容和它们的功能及其应用又熟悉了一遍直线与直线、 直线与平面、 平面与平面的平行和垂直的互相转化的思想方法，既是重点也是难点,线线、线面、面面的平行与垂直关系的转化可以用下图表示：线面平行与垂直的关系也可以互相转化，见下图2. 通过例题的分析，我们进一步掌握了立体几何论证的规律，通常是通过线线、线面、面面的平行或垂直的相互转化最终实现推理论证的结果 这些思想并非凭空而来， 一些定理本身就揭示了这些规律 例如三垂线定理， 我们知道它的功能主要就是解决平面内的直线与平面外的线 (斜线 )的垂直问题的，而定理的证明本身告诉我们证明两直线垂直是通过线面垂直来实现的。

12、 因此我们不仅要知道定理是什么， 还应掌握定理是怎样证明的， 及从中揭示了哪些数学思想和思维规律这是在我们学习过程中不可缺少的环节。平行与垂直的问题在今后解决立体几何的其它问题中有着广泛的应用，在应用中还应进一步熟练与深化。【难点训练】一、选择题1.( )在长方体ABCD A1B1C1D 1 中，底面是边长为2 的正方形，高为4，则点A1 到截面AB 1D1 的距离是()8343A. 3B. 8C. 3D. 42.( )在直二面角 l 中，直线A. a 不和 b 垂直，但可能a bC.a 不和 b 垂直， a 也不和 b 平行a,直线 b,a、b 与 l 斜交，则B. a 可能和 b 垂直，也

13、可能abD. a 不和 b 平行，但可能a b()二、填空题Z3.( )设 X、Y、Z 是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X Y”为真命题的是_( 填序号 ). X、 Y、 Z 是直线X、Y 是直线， Z 是平面 Z 是直线， X、 Y 是平面XZ且 YX、Y、Z 是平面4.( )设 a,b 是异面直线，下列命题正确的是过不在 a、 b 上的一点P 一定可以作一条直线和过不在 a、 b 上的一点P 一定可以作一个平面和过 a 一定可以作一个平面与b 垂直过 a 一定可以作一个平面与b 平行三、解答题5.( )如图，在四棱锥P ABCD 中，底面E、 F 分别是 AB、 PC 的中点

14、.(1)求证： CD PD ;(2)求证： EF 平面 PAD ;(3)当平面 PCD 与平面 ABCD 成多大角时，直线_.a、 b 都相交a、 b 都垂直ABCD 是矩形，侧棱EF 平面 PCD？PA 垂直于底面，6.( )如图，在正三棱锥ABCD 中， BAC=30°， AB =a,平行于 AD 、BC 的截面 EFGH 分别交 AB、BD 、 DC 、 CA 于点 E、 F、 G、 H .(1)判定四边形EFGH 的形状，并说明理由.(2)设 P 是棱 AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC平面EFGH，请给出证明.7.( )如图，正三棱柱 ABC AB C 的各棱长都相

15、等，D 、E 分别是 CC和 AB11111的中点，点F 在 BC 上且满足 BF FC=1 3.(1)若 M 为 AB 中点，求证：BB1平面 EFM ；(2)求证： EF BC；(3)求二面角A1 B1D C1 的大小 .8.( )如图，已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1 的底面是菱形且 C1CB= C1CD= BCD=60° ,(1)证明： C1C BD ；3(2)假定 CD=2， CC1= 2 ，记面 C1BD 为 ,面 CBD 为 ,求二面角 BD 的平面角的余弦值；CD(3)当 CC1 的值为多少时，可使A1C面 C1 BD？参考答案【难点训练】一、1.解析：如图

16、，设 A1C1 B1D1=O1，B1D 1 A1O1，B1D1 AA 1， B1D1平面 AA1O1，故平面 AA1O1 AB1D 1，交线为 AO1，在面 AA1O1 内过 A1 作 A1H AO1 于 H，则易知 A1H 长即是点 A11 11 111=2 ，AO12，由A1 111到平面 AB D的距离，在 Rt A O A 中，AO=3O·A A=h·AO ,4可得 A1H= 3 .答案： C2.解析：如图， 在 l 上任取一点 P，过 P 分别在 、内作 a a,b b,在 a上任取一点 A，过 A 作 AC l，垂足为 C，则 AC ,过 C 作 CB b交 b

17、于 B，连 AB，由三垂线定理知 AB b， APB 为直角三角形,故 APB 为锐角 .答案： C二、 3.解析：是假命题，直线X、Y、Z 位于正方体的三条共点棱时为反例，是真命题，是假命题，平面X、Y、Z 位于正方体的三个共点侧面时为反例.答案：4.三、 5.证明： (1) PA底面 ABCD ， AD 是 PD 在平面 ABCD 内的射影， CD 平面 ABCD 且 CD AD， CD PD .(2)取 CD 中点 G，连 EG、 FG， E、 F 分别是 AB、 PC 的中点， EG AD ，FG PD平面 EFG 平面 PAD，故 EF平面 PAD(3）解：当平面PCD 与平面 AB

18、CD 成 45°角时，直线EF 面 PCD证明：G 为 CD 中点，则 EG CD ,由 (1)知 FG CD，故 EGF 为平面 PCD 与平面 ABCD所成二面角的平面角.即 EGF=45 °，从而得 ADP =45 °， AD =AP由 RtPAE Rt CBE,得 PE=CE又 F 是 PC 的中点， EF PC，由 CDEG ，CD FG，得 CD平面 EFG， CD EF 即 EFCD ，故 EF平面 PCD .6.(1)证明：同理 EF FG， EFGH 是平行四边形 A BCD 是正三棱锥，A 在底面上的射影 DO BC， AD BC， HG EH

19、，四边形EFGH 是矩形 .O 是 BCD的中心，(2)作 CP AD 于 P 点，连结BP ， AD BC， AD面 BCP HG AD， HG 面 BCP， HG面 EFGH .面 BCP面 EFGH ，3在 RtAPC 中， CAP=30 °， AC=a, AP= 2 a.7.(1)证明：连结EM、 MF， M、 E 分别是正三棱柱的棱AB 和 AB1 的中点， BB1 ME，又 BB1平面 EFM ， BB1平面 EFM .(2)证明：取BC 的中点 N，连结 AN 由正三棱柱得：AN BC，又 BF FC=13， F 是 BN 的中点，故 MF AN ， MF BC，而 BC BB1， BB1 ME . ME BC，由于 MF ME=M， BC 平面 EFM ，又 EF 平面 EFM ， BC EF.(3)解：取 B1C1 的