第一章-浙江师范大学

1、电动力学导论自学指导书（函授生用）童国平编浙江师范大学数理学院物理学系第一章电磁现象的普遍规律通过静电场和静磁场的实验定律的分析，再研究变动情况下新的实验定律，由此总结出Maxwell 方程组和洛仑兹力公式。电磁场是物质存在的一种形态，它有特定的运动规律和物质属性。一、内容提要1 库仑定律QQF =3 r2 电场强度电场强度的定义：Elim Fq0 qQr点电荷： E0 r 34点电荷组： EQi ri3i 40ri电荷连续分布：E( x)(x ) r3 dV4 0r3 电荷在电场中的受力FqE4 高斯定理和电场的散度高斯定理：E dS1dV 或者E dS1VQi （ Qi 在 S 内）SS0

2、 i0电场的散度：E0 ，表明静电场是有源场。静电场的环路定理：E dl0L电场的旋度：E0 ，表明静电场是无旋场。5 电荷守恒定律J0 或者J dSVdVtSt1其中Jv 或者Ji vii稳恒电流：J06 毕奥 -萨伐尔定律B(x)0J ( x )r dV或者B( x)0Idlr4r 34r 3它是一个实验定律。电流元在磁场中的受力：dFIdl B7 磁场的环量和旋度B dl0I i （ I i 是在 L 内） 或者B dl0SJ dSLiL磁场的旋度：B0 J ，有旋场。8 磁场的散度磁场的高斯定理：B dS0S散度：B 0， 静磁场是无源场。9 电磁感应定律dB dS或者E dlddtB

3、 dS若回路 L 是固定的，则有SLdt SEdlB dSLSt也可表示为：EB ，这是磁场对电场的作用的基本规律。t10位移电流密度JDE0（真空）t11介质的极化极化强度矢量：PpV ，是点函数。ii对各向同性的线性介质：Pe 0 E(0 ) EPPD0 EP212介质的磁化磁化强度的定义： MmiV ，是点函数。i对各向同性的非铁磁物质：MmH (r1)HJMMHB0M13麦克斯韦方程组真空情形：EBtB0 ( J0 E t )E0B0有介质的情形：EBtHJD tD，D E,BH,JEB0洛仑兹力公式+ 麦克斯韦方程组= 电动力学理论基础14诱导电流磁化电流和极化电流：JMM , JP

4、Pt总诱导电流：JMJ P15电磁场边值关系n(E2E1)0n(H 2H 1 )fn ( D2D1 )fn ( B2B1 )016电磁场能量密度和能流密度能量密度： w12 ( E DB H ) （介质）w12 ( 0E2B20) （真空）能流密度或坡印亭矢量：SEH17能量守恒定律3积分式：S dfvdVdwdVwdt微分式：Svft洛仑兹力公式：fEJB （力密度）二、基本概念1 静电场的散度：E0电荷是电场的源，电场线从正电荷发出而终止于负电荷。没有电荷分布的地点，( x )0，故在该点上电场的散度为零，既没有电力线发出，也没有电力线终止，但可以有电力线连续通过。局域性质：空间某点邻域上

5、场的散度只和该点上的电荷密度有关，而与其他地点的电荷分布无关； 电荷只激发其邻近的场， 而远处的场则是通过场本身的内部作用传递出去的。 对运动电荷实验证明，其局域关系仍然成立，但场不能用库仑定律形式表示出来。对点电荷而言，QrQrQ4 ( x x ), x x40 r 340 r 340 0,x x( x) Q (xx )2 静电场的旋度：E0 ，表明静电情况下，电场没有旋涡状结构。3 一个半径为 R ，电荷密度为，均匀带电球体，球表面的面电荷密度0 。同样，对一个半径为 R ，单位长度电荷为的均匀带电圆柱体，其表面的电荷面密度也为零。根据电荷面密度的定义：liml ，这里 l 是表面电荷区域

6、的厚度。l 04 磁场的散度和旋度：B 0 ，表明磁荷不存在，磁场是无源场。这一关系在一般变化磁场的情况下也是成立的。对静磁场的旋度，B0 J ，因为电流密度是点函数，具有局域性，表明有电流分布的地方才有静磁场的旋度。对于变化的场， 磁场的旋度要修改为B0(J JD ) ，JD0 E t 是位移电流密度，如果在真空中， 这里的 J 即为传导电流密度J f ；若在介质中， 可理解为 J J f JM JP 。5 均匀介质中有自由电荷的地方才有极化电荷电介质内部：极化电荷体密度与自由电荷体密度的关系为4PPe0E(1r1)D(1r1)f电介质的表面：极化电荷面密度与自由电荷面密度的关系为(PP)(

7、11)P2n1nrf6 磁化电流与自由电流的关系JMMMHM J f(r1)J f ，即有自由电流的地方才有磁化电流。对于面磁化电流而言，Mn(M 2M1 ) ， n 是介质 1 指向介质 2 的法线。7 电磁场的物质性电磁场具有能量也具有动量，它是一种物质，具有内部运动。电磁场运动和其他物质运动形式之间能够互相转化。电磁场的能量密度是：w w(x,t ) ，它是空间位置和时间的函数。电磁场的能流密度 S ，它描述能量在场内的传播。数值上等于单位时间垂直流过单位横截面的能量，其方向代表能量传输方向。8 能量守恒定律电磁场能量守恒定律的积分形式是：S dfdwdVvdVdt物理意义是： 单位时间

8、内流入闭合面内的电磁场能量=场对电荷系统所作的功率 +与面相对应的体积 V 内场能量的增加率。9 电磁能量的传输问题电磁能量的传输不管是有电路情形还是无电路情形，都是通过场来传输的。在电路中，物理系统的能量包括导线内部电子运动的动能和导线周围空间中的电磁场能量。在传输过程中，一部分能量进入导线内部变为焦耳热；在负载电阻上，电磁能量从场中流入电阻内，供给负载所消耗的能量。 （参见郭硕鸿书（第二版） P43 例题）三、例题1有一内外半径分别为r1 和 r2 的空心介质球，介质的电容率为 。 使介质内均匀带静止自由电荷f ，求（ 1） 空间各点的电场；（ 2） 极化体电荷和极化面电荷分布。解：（ 1

9、）根据介质中的高斯定理：D dSVf dV , (r2 r r1 )S可得： D 4 r 24(r 3r3)f31E D(r 3r13 ) f r 3 r 3 , ( r2 r r1)5由真空中的高斯定理：S EdSQ f 04(r23r13 ) f , ( r r2 )3 0( r23r13 )r , (rr2 )E0 r 3f3E0, ( rr1)（2） P0 e E(0 ) EPP(0 ) E(0 )f (r r13 r3 )(0 )3r0)3f (310f极化面电荷密度：P ( P2 nP1n )考虑外球壳时，r r2 ， n 从介质 1指向介质 2（即从介质指向真空），P2n 0 ，

10、所以PP1n (r 3r13 )f r n r r(1(r23r13 )0 )30)3f3r23r2对于内球壳， rr1(r 3r13 )f r n r r10P(0 )r332 内外半径分别为 r1和 r2 的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流J f ，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。解：对于稳恒电流，安培环路定理为HdlI fL当 rr1 时， I f0，故H 0,B 0。当 r2rr1 时，Hdl2 rHJ f dS J f (r 2r12 )LS6BH(r 2r12 )J fr2r 2当 rr2 时， 2 HJ f ( r22r12 )B0 H0 (r22r12 )

11、J fr2r 2JMM(M H )0 H01J fr r 2r121H02r 201 J f , ( r1rr2 )0磁化面电流，Mn(M 2M 1 ) ， n 从介质 1指向介质 2。在内表面上，M 10M 201 r 2r1202r 2rr1故 Mn M 20, ( r r1)在外表面上，当rr2 时， M 20M1M H1 (r 2r12 )J fr02r 2Mn ( M 1)n M 1 r r21r22r12J f0 2r23 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流的情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。证明：（ 1）

12、导体在静电条件下达到静电平衡导体内 E10 。而且， n( EE )0 ，所有 n E0 ，故 E 垂直于导体表面。212（2）导体中通过恒定电流时，导体表面f0，所有导体外 E20 ，即 D2 0。而且，n (D2D1)f0 ，即： n D1n0 E10 ，所以 n E10 。7导体内电场方向和法线垂直，即平行于导体表面。第二章 静电场这章把电磁场的基本理论应用于最简单的情况：电荷是静止的，相应的电场不随时间变化。当给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下， 怎样求解静电场。 通常将静电场引入标势，使得问题变得稍微容易些。一、内容提要1 静电场的标势E0E而0 。称为标势，只有差

13、值才有物理意义。标势与参考点的选择有关，当电荷分布于有限区域时，选择无限远作为电势零参考点；当电荷分布于无限区域时，常选空间某一点的电势为零，则整个空间的电势就单值地确定了。点电荷： (P)Qi4 0rii电荷连续分布情况：( x)( x ) dV40r2 静电标势的微分方程2f2( fP )或者0f 为自由电荷密度。这个方程称为泊松方程。只要给定势的边界条件就可以求出的分布。3 标势的边值关系E1tE2t12n ( D 2D1 )21f21fnnn 从介质 1 指向介质2。f 是分界面上的自由电荷面密度。对于导体有：8S常数（可以是给定的，也可以是待定的）fn当界面无自由电荷分布f0 时，两

14、种介质的分界面电势的边值关系为121212nn4 静电场的能量W1E D dVW1dV225 静电问题的唯一性定理情况 1：设区域 V 内给定自由电荷分布(x) ，在 V 的边界 S 上给定电势S 或电势的法向导数n S ，则 V 内的电场唯一地确定。情况 2：设区域 V 内有一些导体，给定导体之外的电荷分布，给定各导体上的总电荷 Qi 以及 V 的边界 S 上的或n 值，则 V 内的电场唯一地确定。6 拉普拉斯方程的解球坐标下轴对称情况下电势的通解为：an RnbnPn (cos )n 1nRPn (cos ) 为勒让德函数，an 和 bn 是任意常数，由边界条件确定。7 镜象法研究对象：导

15、体球和点电荷系统；导体平面和点电荷系统方法：用一个或若干个假想电荷来代替导体面上的感应电荷分布。条件：（ 1）假想电荷的引入要不改变空间原来的电荷分布，即要满足边界条件；（ 2）假想电荷要放在求解区域之外。常用公式：（ 1）导体球的象电荷及位置： QR0Q a ， b R02 a ， R0 是球的半径，a 为点电荷到球心的距离。 （ 2）导体平面的象电荷： QQ ，位置距离平面为 a 。8 电多极展开Q(x ) d V （相当于原点的点电荷）Vp(x ) x dV （电偶极矩）VDij3xi x j (x )dV （电四极矩）V9(0) Q 4 0 R(1)11p R4pR40 R30(2)1

16、121Dij4 0 6 i , jxi x jR(0)(1)(2)9 电荷体系在外电场中的能量WedV2Q e (0) pe (0)1Dije (0)6i , jxi xj电偶极子在外电场中所受的力和力矩是Fp Ee ,LpEe二、基本概念1 两种各向同性的均匀介质分界面两侧电势相等，即电势在界面处是连续的，与界面有没有净电荷无关。2 导体的静电条件可归纳为：（ 1）导体内部没有净电荷，电荷只能分布于其表面上；（ 2）导体内部电场为零； （ 3）导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面。整个导体的电势相等。3 均匀电场电势的零点问题，可以在电场中选取坐标原点，并将原点作为电势的参考点，

17、电势可表示为：(P)E0 x 。4 唯一性定理告诉我们：只要给定区域V 内的电荷分布( x) ，并给定区域边界上的电势或电势的法向导数，则该区域内的电场分布是唯一的。这样，在给定边界条件下泊松方程的解，就是实际问题唯一的场分布形式。5 用这个公式 W12dV 可以表示静电场的总能量，积分只对有电荷分布的地方才有贡献，这里1并不表示场的能量密度，场的能量密度应为1E D 。226 边值关系与边界条件这两个概念是有区别的，边值关系指两种介质的分界面所形成的两边的场量之间的联系与衔接，如：两绝缘介质界面上，电势满足12 , 11n 2 2n这就是边值关系。边界条件一般指系统的“边缘”场所满足的条件，

18、如：位于均匀电场中的中性导体球， R0,（有限）， R,E0 R cos （均匀场的势）。有些问题，边值关系与边界条件区分并不明显，比如：一个半径为a 的带电10为 Q 导体球，由于静电平衡， 整个球是个等势体， 而边界条件是： R0,（有限）， R,0 。边值关系是：Ra,C （待定常数） ，待定常数可由公式dSQ 来确定。 由无穷远处是电势的零参考点，球心与球面具有相同的S n电势，可省去边界条件部分的陈述，故对导体球边值关系就可称为边界条件。7 为何要讨论电势的多极展开？这是因为： （ 1）在许多物理问题中电荷分布于一个小区域内，而求解的场点又很远； （ 2）通过积分法直接计算场的分布有

19、一定的困难。多极展开能给出场分布的各级近似值。三、例题1 半径为 R 的导体球壳，放入均匀电场E0 中。设想这个球壳被垂直于E0 的平面分割成两个（相等的）半球壳，为了使这两个半球壳不至于分开，需要加多大的外力？解：已知球壳内部电场强度为0，球外电势满足的定解问题为：20(rR)E0r cos0rRC0rdS0r R由于问题有轴对称性，设球壳外的电势为an r nbnr n 1Pn (cos)n当 r时，由边界条件有a0a1r cos b0 rb1 cosr 2n2an r nbnr n 1Pn (cos ) rE0 r cos0比较上式两边可得：a00 , a1E0 , an0 ( n 1)

20、, bn0 ( n 1)因此，球壳外的电势可表示为0E0r cosb0b12cos当 rR 时，由边界条件可得：rrrR0E0 R cosb0b12 cosCRR比较等式两边，可得n0, Cb0R0n1, 0E RbR201由此可解得：b0(C0 ) Rb1E0 R311球外的电势为0E0r cosR(C0 )E0 R3cosrr 2式中的常数 C 可由下式来确定：0 (r )r R dS0C0 （因为球是中性的）最后电势可表示为0E0 r cosE0R23cosr球壳上的电荷面密度为0r3 0 E0 cosr R球外的电场强度为E0E0r cos E0 R3 cosr 2( E0 cos2E

21、0 R3 cos/ r 3 )er(E0 sinE0 R3 sinr 3 )e在球面上，电场强度是：ER3E0 coserr由于球壳内部电场强度为0，作用在球壳上电荷的电场为E3E cos e20r那么，电场作用在一个半球壳上的力FEdS02考虑到对称性，我们有FzFez223 cos2E0 30 cos E0 2R2 sin d092240E0R2R 的薄导体球壳，带电量为Q。壳内距中心为a(R)处有一点电荷 有一个半径为q 。求同上的电荷分布。解：定解问题是210 ( rR)2q(0,0, z b) / 0 ( r R)21rR2 rR1r02r0由高斯定理12E dSq 0S可得： E

22、4 r 2(qQ) 0,(rR)或E1 q Q er , r ( R )4 0r 2球外的场相当于位于球心的点电荷(qQ) 所激发，因此，球外的电势就是点电荷(q Q) 所激发，则11q Q ,( r R)40r对于球内的电势2 ，可用电像法求得。考虑到导体球面上电势处处相等，由电像法可假定球外距离球心为b R2a 处有一电量 qq R a 的点电荷。球壳本身带电，其上电势并不为 0，球内电势由三部分组成：球壳外表面的电荷贡献+球壳内表面感应电荷的贡献 +球内点电荷 q 的贡献。球壳外表面电荷对球内电势的贡献为：211qQ40R球壳内表面感应电荷的贡献+球内点电荷q 的贡献：221qRq a4

23、(a2r 22ra cos )1/ 2(b2r 22rb cos)1/ 20所以球内的电势为：221221qQ1qRq a40R40( a2r 22ra cos)1/ 2(b2r 22rb cos)1/ 2当 rR 时，2r R1rR(qQ) 4 0 R ，满足边界条件。球壳上的电荷分布为：021rrrR1qQq(Ra cos )Rq a (b cosR)4R2 a2R22aRcos 3 2b2R22bRcos3 213第三章 静磁场在恒定情况下，电场和磁场不发生直接的联系，故可分开处理。磁场的矢势和标势是重要的概念。在量子物理中，矢势是一个可观测的物理效应。一、内容提要1 矢势B0BAA 称

24、为矢势。矢势沿某一回路的环量等于磁通量：mB dSA dSA dlSSL2 用矢势来描述磁感应强度是不唯一的BAAAA这两个矢势都对应于一个磁感强度。对 A 可选择合适的规范条件：A 0 。这样矢量场 A 就被确定下来。3 矢势微分方程2 AJ ,(A0)或2 AiJi, ( i1,2,3)A( x)J ( x ) dV4r式中 x 是源点， x 是场点， rxx 是源点到场点的距离。4 矢势的边值关系A2A114n(11A1 )2A21n(A2A1)05 静磁场的能量W1B HdV1A JdV22相互作用能WiJ AedV6 磁标势引入条件：某一区域内的任何回路都不被电流所链环，即该区域内是

25、没有自由电流分布的单连通区域。用数学式子表示为Hdl0LHm2m0 ,m0Mmm 为假想的磁荷密度。7 磁偶极矩mIS1m2xJ( x )dVA(1)0 m R4R3相应的标势为(1)m Rm4 R38 在外场中的能量势能： Um Be相互作用能： Wm Bie这里 Be 是外场。力矩：LmBe ，力 FUmBe9 A-B 效应矢势 A 在量子物理中所处的地位要比经典电动力学重要得多。A-B 效应表明： 尽用 B 描述磁场是不够的。二、基本概念1 矢势 A 的物理意义15矢势 A 的物理意义是： 它沿着任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。 只有 A 的环量才有物理意义，而

26、每点上的A 值没有直接的物理意义。这一点在量子物理中得到直接的体现。2 矢势 A 的不唯一性由矢势 A 可以确定 B ，但由 B 并不能唯一地确定A 。3 引入磁标势的条件在要研究的磁场分布区域内，我们所作的任何回路都不被电流所链环，即从数学上来说，回路是单连通的，H dl0。L例如，要研究自由电流 I 的电流圈的磁场分布，要同时除去电流所占空间和电流所围的曲面，这样才能用磁标势计算剩余空间的磁场，保证该区域是单连通的。4 没有磁单极矢势 A 的多极展开式的第一项为磁单极项，第二项为磁偶极项，第三项为磁四极子项，。第一项可表示为：(0)( x)0J (x )dV =0Idl 0 （一个闭合的电

27、流管）A44表明磁场展开式不含磁单极项。5 超导体的两个主要电磁性质（ 1） 超导电性（或零电阻效应） ：当样品的温度下降到某一临界温度时，电阻突然变为零的性质，称为超导电性。（ 2） 迈斯纳效应（或完全抗磁性） ：超导体内部的磁感应强度为零，与超导体所经过的历史无关。三、例题1的均匀介质， x0 空间为真空，今有线电流I 沿z设 x 0 半空间充满磁导率为轴流动，求磁感应强度和磁化电流分布。解: 假设本题中的磁场分布仍呈轴对称，则可写作B I e2 r其满足边界条件：n(B2B1 )0 ， n ( H 2 H1 )0 。在介质中，H 2BIe2r而 H 2BMIeM2r00在 x0 的介质中

28、， MI (0 ) e2 r016则 I MMdl ，取积分路径为BCAB 的半圆。ABe ,AB 段积分为零。I MI (0 )20B0 ( II M ) e2r由 B0 (II M ) eIe，可得2 02r2 r0B0II MI (0 )e ,（沿 z 轴）0r02有一个均匀带电的薄导体壳，其半径为R0 ，总电荷为 Q ，今使球壳绕自身某一直径以角速度 转动，求球内外的磁场B 。解：利用磁标势法，取球体自转轴为z 轴，建立坐标系，定解问题为：20, RR0m12m20, RR01m2m1QsinR04R0R R0m10m2 , ( RR )RR0m1R 0m2R0其中Qsin是球壳表面自

29、由面电流密度。4R0解得满足自然边界条件的解为：m1a1Rcos,( RR0 )m2b1cos,( RR0 )2R代入衔接条件：a1 R0b1 R02Q 4R0a12b1 R030解得： a1QQ R026,b112R017mQRcos , (R<R0 )6 R01m2QR02cos , ( RR0 )122RH1QQm16cos ersin eR06 R0B10H 10Q6R0QR02H 2m212 R31 3(m R) R4R52cos ersinem3RB20 H 203(m R) Rm4R5R3其中 m1QR2。3018第四章电磁波的传播在迅变情况下，电磁场以波动形式存在。变化着

30、的电场和磁场互相激发，形成在空间中传播的电磁波。 本章主要研究电磁波在无界空间的传播特性，在介质界面上的反射和折射以及在导体中的传播问题。一、内容提要1 真空中的波动方程无电荷电流的自由空间：2 E12 E0( EB)c2t 22 完备性方程2 Ek 2 E0,E0BiE(),(),k3 平面电磁波E( x, t)E0 expi (kxt )E0特性：（1）横波， Bk , Ek ；（ 2）三者互相垂直，E B, ( E B) k ；（ 3） E 和B 同相，振幅比为 E0B0v ；（ 4）对每一个 k ， E 和 B 有两个独立的偏振方向。4 能量和能流能量密度： wE2B2平均值： w21Re(E* E)21 E02能流密度： SE HE 2n1wnvwn平均值： S1Re(E*H )1222E0 n5 折射和反射定律196 布儒斯特角7 良导体的条件：8 导体中的电磁波：, sinv1n21sinv221E(x,t )E0exei ( x t )22212Hei 4 nE二、基本概念1 介质的色散介质的电容率和磁导率随电磁波正弦振动频率的变化关系，称介质的色散。对不同的频率，或是不同的。对单一频率的