向量代数和空间几何ppt课件

1、向量内容小结向量内容小结1. 向量的数量积向量的数量积定义定义 cos|baba (其中其中 为为ab与与的夹角的夹角) .性性质质.Pr|Pr|bjaajbbabb .|2aaa 0 ba.ba 坐标表示坐标表示夹角余弦夹角余弦.zzyyxxbabababa .|cos222222zyxzyxzzyyxxbbbaaabababababa 内容小结内容小结1. 向量的数量积向量的数量积2. 向量的向量积向量的向量积定义定义,bac 其中其中 (sin|bac 为为a与与b的夹角的夹角)，,bcac c的指向的指向符合右手系符合右手系 .性质性质. 0 aaba/. 0 ba.abba 内容小结

2、内容小结1. 向量的数量积向量的数量积2. 向量的向量积向量的向量积性质性质. 0 aaba/. 0 ba.abba 内容小结内容小结1. 向量的数量积向量的数量积2. 向量的向量积向量的向量积性质性质. 0 aaba/. 0 ba.abba 坐标表示坐标表示,zyxzyxbbbaaakjiba bac ba|ba 几何意义几何意义1.知知cba,两两垂直，两两垂直， 且且, 3| , 2| , 1| cba求求cbas 的长度与它和的长度与它和cba,的夹角的夹角 .解解)()(|2cbacbasss )(2accbbaccbbaa 222|cba .14321222 .14| s|asac

3、abaa .141| sa|),cos(asasas 1.知知cba,两两垂直，两两垂直， 且且, 3| , 2| , 1| cba求求cbas 的长度与它和的长度与它和cba,的夹角的夹角 .解解|asacabaa .141| sa|),cos(asasas 即即.141arccos),( as同理同理,142arccos),( bs.143arccos),( cs1.知知cba,两两垂直，两两垂直， 且且, 3| , 2| , 1| cba求求cbas 的长度与它和的长度与它和cba,的夹角的夹角 .解解|asacabaa .141| sa|),cos(asasas 解：由题设解：由题设

4、与与 共线，共线， 故故 又因为又因为 即即 所以所以44182 2 ,2xa18a x ax4,2, 4x 2.求与向量求与向量2, 1,2a 共线且满足方程共线且满足方程18a x 的向量的向量x3. 知知 ，问：系数问：系数 为何值时，向量为何值时，向量 与与 垂直。垂直。17mab3nab22,5,3aba b 解：解： 由由 得得 即即0m n 22351170,aa bb 1730abab 解解 即即 所以所以22351170,aa bb 2125110cos4250,3176800403. 知知 ，问：系数问：系数 为何值时，向量为何值时，向量 与与 垂直。垂直。22,5,3ab

5、a b 17mab3nab平面内容小结平面内容小结1. 点法式方程点法式方程, 0)()()(000 zzCyyBxxA其中法向量其中法向量.,CBAn 2. 一般方程一般方程. 0 DCzByAx, 0)1( D平面通过坐标原点平面通过坐标原点;0)2( A(或或),0, 0 CB平面平行于平面平行于x(或或),zy轴；轴；1. 点法式方程点法式方程2. 一般方程一般方程. 0 DCzByAx, 0)1( D平面通过坐标原点平面通过坐标原点;0)2( A(或或),0, 0 CB平面平行于平面平行于x(或或),zy轴；轴；1. 点法式方程点法式方程2. 一般方程一般方程. 0 DCzByAx,

6、 0)1( D平面通过坐标原点平面通过坐标原点;0)2( A(或或),0, 0 CB平面平行于平面平行于x(或或),zy轴；轴；0)3( BA(或或),0, 0 ACCB平面平行于平面平行于xOy(或或),zOxyOz坐标面坐标面 .截距式方程截距式方程. 1 czbyax1. 点法式方程点法式方程2. 一般方程一般方程3. 两平面的夹角两平面的夹角,.|cos222222212121212121CBACBACCBBAA 其中法向量其中法向量,1111CBAn .,2222CBAn 点点),(0000zyxP到平面到平面0 DCzByAx的距离的距离 ：.|222000CBADCzByAxd

7、4.过直线00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束的平面束)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程方程1. 求通过点求通过点)3 , 2 , 1(),1, 1, 2(QP 且垂直于平面且垂直于平面06532 zyx的平面方程的平面方程 .解解 设所求平面方程为设所求平面方程为, 0 DCzByAx则其法向量则其法向量,4 , 3 , 1,5, 3 , 2 PQnn 0430532CBACBA9 ,3 ,AB CB取取1 B,3 , 1, 9 n以点以点)1, 1, 2( P代入方程代入方程 得得1. 求通过点求通过点)3 , 2 , 1(),1, 1, 2

8、(QP 且垂直于平面且垂直于平面06532 zyx的平面方程的平面方程 .解解以点以点)1, 1, 2( P代入方程代入方程 得得02 DCBA,16 D故所求平面方程为故所求平面方程为. 01639 zyx1. 求通过点求通过点)3 , 2 , 1(),1, 1, 2(QP 且垂直于平面且垂直于平面06532 zyx的平面方程的平面方程 .解解以点以点)1, 1, 2( P代入方程代入方程 得得2.求通过点 且与直线 垂直的平面方程。1, 2,123503240 xyzxyz 解解 设所求平面为：设所求平面为： 为其法向量。直线的方向向量为其法向量。直线的方向向量 为：为：1210A xB

9、yC z, ,nA B C2315,7,11312ijks s2.求通过点 且与直线 垂直的平面方程。1, 2,123503240 xyzxyz 解解因为平面与已知直线垂直，所以因为平面与已知直线垂直，所以则所求平面方程为则所求平面方程为5,7,11ns51721110 xyz3.若平面若平面02 zkyx与平面与平面032 zyx的夹角为的夹角为,4 求求.? k解解,1 , 3, 2,2, 121 nkn,1)3(2)2(1|12)3(21|4cos222222 kk 即即145|3|212 kk.270 k4.求过点求过点 且与直线且与直线垂直的平面方程。垂直的平面方程。1,2, 1M2

10、:341xtLytzt 解解 因所求平面与直线因所求平面与直线L垂直，所以垂直，所以L的方向向量的方向向量与平面的法向量平行，与平面的法向量平行， 而而L的方向向量为的方向向量为1,3,14.求过点求过点 且与直线且与直线垂直的平面方程。垂直的平面方程。1,2, 1M2:341xtLytzt 解解故所求平面方程为故所求平面方程为即即1132110 xyz340 xyz5.已知两条直线方程已知两条直线方程 ，求过，求过L1且平行于且平行于 L2的平面方程。的平面方程。1123:,101xyzL221:211xyzL解：所求平面经过直线解：所求平面经过直线L1上的点上的点 ， 而所求平面的法向量既

11、垂直于而所求平面的法向量既垂直于L1又垂直于又垂直于L2，故可取故可取1,2,31011, 3,1211ijkn 5.已知两条直线方程已知两条直线方程 ，求过，求过L1且平行于且平行于 L2的平面方程。的平面方程。1123:,101xyzL221:211xyzL解：解：所求平面方程为所求平面方程为即即1132130 xyz320 xyz6.求过直线求过直线 且在且在Y轴和轴和Z轴轴有相同的非零截距的平面的方程。有相同的非零截距的平面的方程。2210:420 xyzLxyz 解解 经过直线经过直线L的平面束方程为的平面束方程为即即221420 xyzxyz 21241 20 xyz 6.求过直线

12、求过直线 且在且在Y轴和轴和Z轴轴有相同的非零截距的平面的方程。有相同的非零截距的平面的方程。2210:420 xyzLxyz 解解 由截距相等的条件得由截距相等的条件得从而所求平面方程为从而所求平面方程为11243 72210 xyz 直线内容小结直线内容小结1. 空间直线的一般方程空间直线的一般方程.0022221111 DzCyBxADzCyBxA2. 空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程,000pzznyymxx ,000 ptzzntyymtxx其中方向向量其中方向向量.,pnms 直线内容小结直线内容小结1. 空间直线的一般方程空间直线的一般方程2. 空间直

13、线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程直线内容小结直线内容小结1. 空间直线的一般方程空间直线的一般方程2. 空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程3. 两直线的夹角两直线的夹角,.|),cos(22222221212121212121pnmpnmppnnmmLL 其中其中,:11111pnmsL ，,:22222pnmsL 21)1(LL ; 0212121 ppnnmm21/)2(LL.212121ppnnmm 直线内容小结直线内容小结3. 两直线的夹角两直线的夹角4. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角,.|sin222222pnmCBACpBnAm

14、其中其中.,:,:pnmsLCBAn L)1(.pCnBmA /)2(L. 0 CpBnAm1.设直线通过点设直线通过点 ，且和两直线，且和两直线 相交，求此直线方程。相交，求此直线方程。135:23yxLzx247:510yxLzx3,5, 9P 解解 设所求直线方程为设所求直线方程为将其代入将其代入L1中，有中，有将其代入将其代入L2中，有中，有359xmtyntzpt 2pm465nmpm 1.设直线通过点设直线通过点 ，且和两直线，且和两直线 相交，求此直线方程。相交，求此直线方程。135:23yxLzx247:510yxLzx3,5, 9P 解解 联解得联解得令令 故所求直线方程为故

15、所求直线方程为22nm122,2mnp 352292xtytzt 2.求直线求直线 5272xzxy与平面与平面xz3 的夹角的夹角 和交点和交点.解解取直线的方向向量取直线的方向向量 2,1,0 2,0,122 .sijk 平面平面xz3 的法向量为的法向量为,1 , 0 , 3 n故故222222|1 ( 3)2 02 1|1sin,3 10122( 3)01 所以所以).1031arcsin( 2.求直线求直线 5272xzxy与平面与平面xz3 的夹角的夹角 和交点和交点.解解所以所以).1031arcsin( 2.求直线求直线 5272xzxy与平面与平面xz3 的夹角的夹角 和交点

16、和交点.解解所以所以).1031arcsin( 解方程组解方程组 xzxzxy35272,15175 zyx即交点为即交点为).15,17, 5( 3解解用对称式方程及参数方程用对称式方程及参数方程 表示直线表示直线124xyzxyz在直线上任取一点在直线上任取一点, , , ,)(000zyx例如例如, ,取取00 x 052y 032z 得点坐标得点坐标350,22因所求直线因所求直线与两平面的法向量都与两平面的法向量都垂直垂直, ,可取可取2,1,3 21nns 11 1211ijk解解所求直线的所求直线的对称式方程对称式方程3522213yzx参数方程参数方程232532xtytzt

17、3用对称式方程及参数方程用对称式方程及参数方程 表示直线表示直线124xyzxyz投影直线在平面上的投影直线在平面上的投影: 作作 “过已知直线与已知平面垂直的平过已知直线与已知平面垂直的平面面2. 点在直线上的投影：点在直线上的投影： 作作“过点与已知直线垂直的平面过点与已知直线垂直的平面点在平面上的投影：点在平面上的投影： 作作“过点与已知平面垂直的直线过点与已知平面垂直的直线1.求直线求直线 在平面在平面 上的投影直线的方程。上的投影直线的方程。11:111xyzL:210 xyz 解解 将直线将直线L方程转换为：方程转换为：可得过直线的平面束方程可得过直线的平面束方程即即1010 xy

18、zy 110 xyzy110 xyz1.求直线求直线 在平面在平面 上的投影直线的方程。上的投影直线的方程。11:111xyzL:210 xyz 解解 又与已知平面垂直可得又与已知平面垂直可得所求平面束中的方程为所求平面束中的方程为从而投影直线的方程为从而投影直线的方程为11202 3210 xyz 2103210 xyzxyz 又解：所求平面也可以通过点法式确定。又解：所求平面也可以通过点法式确定。 所求平面经过直线所求平面经过直线L上的点上的点 ， 而所求平面的法向量既垂直于而所求平面的法向量既垂直于L又垂直于已知平又垂直于已知平面的法向量，故可取面的法向量，故可取1111, 3, 211

19、2ijkn 1,0, 12.求点求点 在直线在直线 上的投影。上的投影。2,3,172232xtytzt 解解 过点过点 作垂直于直线的平面，则该平作垂直于直线的平面，则该平面的法向量为面的法向量为 故此平面的方程为故此平面的方程为即即2,3,11,2,3ns223310 xyz23110 xyz2.求点求点 在直线在直线 上的投影。上的投影。2,3,172232xtytzt 解解 将直线的方程代入平面方程得将直线的方程代入平面方程得于是直线与平面的交点为于是直线与平面的交点为 ，而这就是，而这就是所求的点。所求的点。72 223 321102tttt 5,2,43.求点求点 在平面在平面 上

20、的投影。上的投影。1,2,0P 210 xyz 解解 过点过点P作平面的垂线，垂足为所求投影。作平面的垂线，垂足为所求投影。该垂线的方程为该垂线的方程为将直线方程转换为参数形式得将直线方程转换为参数形式得12121xyz1,22,xtytzt 3.求点求点 在平面在平面 上的投影。上的投影。1,2,0P 210 xyz 解解 代入平面方程得代入平面方程得故所求投影为故所求投影为 212 22103522,333ttttxyz 5 2 2,3 3 3曲面内容小结曲面内容小结1. 曲面方程的概念曲面方程的概念空间曲线是空间动点运动的轨迹空间曲线是空间动点运动的轨迹 .空间曲面方程空间曲面方程. 0

21、),( zyxF球面方程球面方程 .)()()(2202020Rzzyyxx 2. 旋转曲面旋转曲面设有设有yOz坐标面上一已知曲线坐标面上一已知曲线, 0),( zyfC：它绕它绕z轴旋转得旋转曲面的方程为轴旋转得旋转曲面的方程为. 0),(22 zyxf曲线内容小结曲线内容小结1. 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程.0),(0),( zyxGzyxF2. 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程).(),(),(tzztyytxx 螺旋线螺旋线 :.,sin,cos bzayax 曲线内容小结曲线内容小结1. 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程2. 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程曲

22、线内容小结曲线内容小结1. 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程2. 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程3. 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF0),( yxH 00),(zyxH空间曲线空间曲线投影柱面投影柱面投影曲线投影曲线同理可分析空间曲线在其它坐标面上的同理可分析空间曲线在其它坐标面上的投影曲线投影曲线 .1. 求与求与z轴和点轴和点)1, 3 , 1( A等距离的点的轨迹方程等距离的点的轨迹方程 .解解设该动点坐标为设该动点坐标为),(zyx那么那么,)1()3()1(22222 zyxyx, 0112622 zyxz此即为所求轨迹方

23、程此即为所求轨迹方程 .2.将将XOZ坐标面上的抛物线坐标面上的抛物线 绕绕X轴旋转轴旋转一周，求所生成的曲面方程。一周，求所生成的曲面方程。 解解 对方程对方程 ，x不变，将不变，将Z改成改成于是的所求旋转曲面的方程为于是的所求旋转曲面的方程为即即25zx25zx2225yzx22yz225yzx3. 求椭圆抛物面求椭圆抛物面zxy 222与抛物柱面与抛物柱面zx 22的交线的交线关于关于xOy面的投影柱面和在面的投影柱面和在xOy面上的投影面上的投影曲线方程曲线方程 .解解交线方程为交线方程为 ,22222zxzxy消去消去z得投影柱面得投影柱面, 122 yx在在xOy面上的投影曲面方程

24、面上的投影曲面方程 .0122zyx4.求曲线求曲线 在三个坐标面在三个坐标面上的投影方程。上的投影方程。解在方程组中消去解在方程组中消去z，得到母线平行于，得到母线平行于Z的投的投影柱面方程：影柱面方程： 则曲线在则曲线在xoy面上的投影方程为：面上的投影方程为：6616025230 xyzxyz250 xy2500 xyz同理，可求得曲线在其他两个坐标面的投同理，可求得曲线在其他两个坐标面的投影曲线方程分别为：影曲线方程分别为：3100yzx 61400 xzyr5.直线直线1101:zyxL绕 z 轴旋转一周, 求此旋转转曲面的方程. 解解:在 L 上任取一点0(1, , )Mt t轴绕

25、为设zMzyxM0),(旋转轨迹上任一点,Lxozy0MM则有zt22yx 21 t 联解得旋转曲面方程1222zyxr又解：将直线方程改写成一般方程式：又解：将直线方程改写成一般方程式：直线绕直线绕z轴一周的曲面方程为：轴一周的曲面方程为：1xyz22221xyz综合例题分析1.求直线求直线 绕绕z轴旋转所得轴旋转所得旋转曲面的方程。旋转曲面的方程。解解 把把L改写成参数方程改写成参数方程 取定一个取定一个t，即得，即得L上一动上一动 11:121xyzL121xtytzt 1,2 ,1Mttt1.求直线求直线 绕绕z轴旋转所得轴旋转所得旋转曲面的方程。旋转曲面的方程。解点解点M到到z轴的距

26、离为轴的距离为点点M绕绕z轴旋转得轴旋转得一空间圆周一空间圆周 消去参数消去参数t，得，得此即为所求的旋转曲面方程。此即为所求的旋转曲面方程。11:121xyzL222241xyzz2222141xyttzt 2214dtt又解：将直线方程改写成一般方程式：又解：将直线方程改写成一般方程式：直线绕直线绕z轴一周的曲面方程为：轴一周的曲面方程为：22xzyz222222xyzz例例2. 求过直线求过直线L:0405zxzyxzyx84 且与平面4夹成角的平面方程.解解:过直线 L 的平面束方程04)1 (5)1 (zyx其法向量为已知平面的法向量为选择使43. 012720zyx从而得所求平面方程n1n4012 114cosnnnn.1,5,11nL8,4, 1n例例3. 设一平面平行于已知直线设一平面平行于已知直线0502zy