第三章+微分中值定理与导数的应用

1、微分中值定理与导数的应用习题 A一、选择题1、在区间- 1,1）；上满足罗尔定理条件的函数是（122( A) f ( x) =x2( B) f (x) = x(C)f ( x) =1 - x(D) f ( x) = x - 2 x - 12、函数 f ( x) = x2 - 2x在 0, 4 上满足拉格朗日定理条件的= （）；A(B)C(D)5( )2( )3123、设函数 f( )在, 上连续，在(,)）；xa ba b 内可导，则（( A) 至少存在一点 (a,b ) ，使得 f () =0(B) 当 (a, b) 时，必有 f () = 0f (b) - f ( a)(C )至少存在一点

2、 (a,b ) ，使得 f () =b - af (b) - f (a)(D )当 (a, b)时，必有 f () =b - a4、在区间- 1,1）；上，下列函数中不满足罗尔定理的是（()x221Af ( x) = e- 1( B) f ( x) = ln(1+ x )( C) f ( x) =x+1( D) f( x) =21 + x5、对任意 x 下列不等式正确的是（）；(-1- x-x(D-A e x( B)e x 1+ x(C) e x 1-e x 1+ x)f(x)- f( )6、设lima= - 2，则在 x = a处 fx（）；2( )x a(x - a)( A)f= - 2(

3、B )(C )(D )可导且不可导取得极小值取得极大值7、函数()= a cosx - 1 cos2x 在 x = 处取得极值，则a =（）；f x(B)1223(A)0(C )1(D )2608、函数 y = x4 + 12x - 8 在定义域内（）；( A) 单调增加(B)单调减少(C )图形凹(D)图形凸9、若在a b内，则在a b内（）；( , )f(x) 0, f(x) 0( , )f (x)( A) 单调增加且图形凹(B)单调增加且图形凹(C )单调减少且图形凸(D )单调减少且图形凸10、设点 (1,3) 是曲线 y = ax3+ bx2 +1的拐点，则 a,b 分别为（）；A

4、a1b=-1(BabCa1b= 1(D)ab( )= ,)=1, =-3()= - ,=-1, =33311、下列曲线中既有水平渐近线，又有垂直渐近线的是（）；sin 2x2eA f x =x + 3C f x = ln ?3 -?- x3B f x =D f x = xe()()()()()()?()()2x + xx - 1x?12、 f (x ) =x2的单调增区间是（）；1+ x( A)(0,+)()?3?3 ?(B) 1, 3(C)?,+?(D )?0,? 3?3 ?13、曲线 f (x) =sin 2x的垂直渐近线为（）。x(2x + 1)( A) x = 0, x = - 1(B

5、) x = - 1(C )y = 0, y = - 1(D ) y = - 12222二、填空题1、设 f(x) =()的极值点为；xex ，则 f x2、设点 (1,2)是曲线 y = ( x - a)3+ b的拐点，则 a + b =；3、设f (x) a, b(a, b)f(x) 0f (x) a, b在上连续，在内可导且，则在上的最大值为；4、函数 f()= ln x 2 -x 的单调增区间是；x5、函数 fx)=x3x2+ 9x- 4在区间0,4上的最大值为；(- 66、曲线 x3 + y3 - xy = 7上点()处的法线方程为；1,2617、曲线 y = x3 - 3x2 - 9

6、 x + 9 上拐点是；三、计算题ln(1 +1)cos1x)1、 limxx ；2、 limln(1+ sin 2；arcx2x+cotx 0x+x)arcsin(3、 limx - arctanx；4、 limx3+ 3x2+ 2x；32x 0ln(1+x)x - 2x-x - 65、若 limf ( x) 存在且fsin x+ 2limf (x) ，求 limf ( x) ；( x) =x x -xx6、 lim3x - sin 3x；7、 limtan x-x；x0(1- cosx)ln(1 + 2x)x0x - sinxtan x -x9、 lim etan2 x-1 ；8、 lim

7、；22x0x sinxx0sinxx + sin xsin3 x- 110、 lim；11、 lime)；x x - sin xx 0 x 1 - cosx(12、 lim(x2x；13、 limx - sin x；)2xxx + 1x 0x (e- 1)1114、 lim (cot x)ln x ；x0+x?2?1?16、 lim ?sin ?+ cos?；x? x ? x ?15、 lim? ax+ bx + cx ?x；?3?x 0?17、 limx x - 1；x 0+x ln x18、 lim+xsin x - 1。x0tan x ln x四、解答题1、试问 a为何值时，f ( x)

8、 = a sin x + 1sin3 x 在 x = 处取得极值？332、已知圆半径为R ，求内接于半圆的矩形的边长，使该矩形的周长为最大。3、求点 A(0,1) 到曲线 x2 - y2 =1的最短距离。4、求曲线y = x3 - 6 x ln x 的凹凸区间与拐点。32()()5、试确定曲线y axbxcxd 中的 a b c d ，使点为极值点， 点为=+ +, , ,- 2,441,-1062拐点。五、证明题1、设 f (x) 存在，求证f(xhf(x+hfx 。lim+2)-2) +( )h2= f ( x)h 0322- 3 0，则函数无极值。2、试证：如果 y = ax+ bx +

9、 cx + d 满足bac3、设 f (x) 在 a, b 上连续，在 (a, b) 内可导。证明：在(a,b)内至少存在一点 ，使得bf (b) - af (a)b - a= f () + f ()。4、已知在 0,1上， 0 f (x) 0 时， 1+ x ln( x +1+ x 2 ) 1+ x 2 。6、设f (x)二阶可导，证明：f(x + ? x) + f ( x - ? x) - 2 f (x)。fx= lim2()?x 0(?x)63习题 B一、选择题：1、设f (x)在 - 1,1(- 1,1)f (0) = 0, f(x) M，则在 - 1,1上连续， 在内可导且有必有（）

10、；( A) f (x) M(B) f (x ) M(C ) f (x ) M(D ) f (x ) M2、若f x在a b上连续，在a b内可导，但f (a) f (b)，则（）；( ) , ( , )( A) 一定不存在 (a, b) ，使 f () = 0(B) 至少存在一点 (a,b ) ，使 f () = 0(C )最多存在一点 (a,b ) ，使 f () = 0(D )可能存在一点 (a, b)，使 f () = 03、 y =f ( x)在 x = x0 处取得极大值，则必有（）；A f xB f x(C)f xf x) 0(D)f x或( ) (0)=0( )(0)0(0)=0

11、,(0(0)=0不存在f (x0 )f (x)f(x)= - f ( - x )x (0,+)ff4、若二阶可导且，又当时，且，则在 (- ,0 )内曲线 f (x) （）；( A) 单调增加且凸(B ) 单调减少且凸(C )单调增加且凹(D )单调减少且凹5、设 f()x0为f (x)拐点的横坐标且f(x0 ) = 0，则在x0的两侧（）；x二阶可导，()()一阶导数同号(C)二阶导数异号(D)一阶导数异号A二阶导数同号B6、曲线 y = (x -1) e- x 的拐点是（）；( A)(2,e- 2 )(B )(3,2e- 3 )(C )(- 1,- 2e- 2 )(D)( 0,- 1)7、

12、已知 M 1( - 1,0), M 2 (1,2) 是曲线 y = x2+ x 上的两点且曲线在点M 处的切线与M 1 和M 2 两点的连线平行，则点M 的坐标为（）；()()()( )()()(D)()A1,1B1,2C- 1,00,064( )( , )xf( x) - f( x) 0(a ,b)8、 fx在 a b 内二阶可导且，则在内 f(x) 是（） ；x( A) 单调增加(B)单调减少(C )有增有减(D )有界函数f(x) +3( f2x) = 0x09、设函数 f (x)二阶可导且处处满足方程( x) + 2e f (x。若是函数的一个驻点且 f(x0 ) 0) 有几个实根。3

13、、作 y = 2x - 1的图形。(x - 1)24、试决定 y = k (x2- 3)2中 k 的值，使曲线在拐点处的法线通过原点。665、求点 (0,1)到曲线 y = x2 - x 的最短距离。五、证明题1、设f (x)在 a, b上连续，在(a, b)内可导且f (a) = f (b) =1；试证： ?,(a, b) ，使得： e- f () + f () =1。2、设 f( )0,1(0,1)内可导且 f(0)=0( )时， f( )0x在上连续， 在，当0,1x 。求证：nf f 对一切自然数n，在(0,1)内必有一点( )=(1-)。，使得f ()f (1-)3、设 0 a e

14、x。x0 x 0, f()F (x ) =(x)在(-, 0)(0,+ )5、若在-,+内有x0 0。试证：f和 上x单调增加。67习题 A答案一、选择题（1）C （2）B （3）C （4）C （5）C （6）D （7）C （8）C （ 9）B （10）D（11）C （12）D （13）B二、填空题（1）-3 （2）1+2（3）()（4）()（5）（6）11x - y - 9 = 0（7）( )fa0, 201,-2三、计算题(1)1(2)2(3)1(4)-235sin x(5)提示：设 limf()f ( x) = lim+ 2k? k = 1?lim f ( x) = 1x = klimx

15、 xx x - x （6） 9（7）2（8） 1（9）1（10）1（11）2（12） e- 223（13） 1（14） e- 11（ 16） e2（15） (abc) 36x- 1 = limln xxx ln x- 1 = limxln x = 1（17） limxe- 1= limex0+ x ln xx0+xln xx 0+xln xx 0+ xln xx- 1 = lim+x ln x(ln x +1) = lim+或 lim+xeexln x = 1x 0xln xx 0ln x +1x0ln x1(18)lim+sin x ln x = lim+= lim+x= - lim+ si

16、n x = 0x 0x01x 0- cosxx 0sin xsin2 x lim+xsin x - 1= lim+esinxlnx - 1 = lim+sin x ln x = 1x0tan x ln xx0x ln xx0x lnx四、解答题（1）当 a= 2时， f( )在x=处取得极值并且是极大值。x3（2）当 x =R， 2 y =4R5为边长时，周长最大。5（3）点 A(0,1)到曲线 x2 -y2 =1的最短距离为62（4）凹区间（ 1， + ），凸区间（ 0，1），拐点（ 1，1）68（ 5） a = 1,b = - 3,c = - 24,d =16 。五、证明题f ( x + 2 h) - 2