正多边形和圆

1、问题问题1，什么样的图形是正多边形？，什么样的图形是正多边形？各边相等各边相等,各角也相等的多边形是正多边形各角也相等的多边形是正多边形. 正多边形都是轴对称图形，一个正正多边形都是轴对称图形，一个正n边形边形共有共有n条对称轴，每条对称轴都通过正条对称轴，每条对称轴都通过正n边边形的中心。形的中心。边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。它的中心就是对称中心。OACDB 如果我们以正多边形对应顶点的连线的交点作为圆如果我们以正多边形对应顶点的连线的交点作为圆心心,交点到顶点的连线为半径作一个圆交点到顶点的连线为半径作一个圆.很明显很明

2、显, 这个正多这个正多边形的各个顶点都在这个圆上边形的各个顶点都在这个圆上. 如图如图, 正方形正方形ABCD，连，连结结AC、BD交于点交于点O，以，以O为圆心，为圆心，OA为半径作圆，那为半径作圆，那么肯定么肯定B、C、D都在这个圆上都在这个圆上问题问题3:你知道正多边形与圆的关系吗？你知道正多边形与圆的关系吗？ 正多边形和圆的关系非常密切正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆只要把一个圆分成相等的一些弧分成相等的一些弧,依此连接弧的端点就可以作出依此连接弧的端点就可以作出这个圆的内接正多边形这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形这个圆就是这个正多边形的外接圆的外接圆.ABCDE

3、如图如图,把把 O分成相等的分成相等的5段弧段弧,依次连接各等依次连接各等分点得到五边形分点得到五边形ABCDE. AB=BC=CD=DE=EA, A=B.ABBCCDDEEA，3.BCECDAABABCDEO同理同理B=C=D=E.又五边形又五边形ABCDE的顶点都在的顶点都在 O上上, 五边形五边形ABCD是是 O的内接正五边形的内接正五边形, O是五边形是五边形ABCD的外接圆的外接圆.我们以圆内接正五边形为例证明我们以圆内接正五边形为例证明.EFCD.中心角中心角边心距边心距r r抢答题：抢答题：1、O是正是正圆与圆的圆心。圆与圆的圆心。ABC的中心，它是的中心，它是ABC的的2、OB

4、叫正叫正ABC的，的，它是正它是正ABC的的 圆的半径。圆的半径。 3、OD叫作正叫作正ABC的的，它是正，它是正ABC的的 圆的半径。圆的半径。ABC.OD外接外接内切内切半径半径外接外接边心距边心距内切内切4、正方形、正方形ABCD的外接圆圆心的外接圆圆心O叫做叫做正方形正方形ABCD的的5、正方形、正方形ABCD的内切圆的半径的内切圆的半径OE叫做叫做正方形正方形ABCD的的ABCD.OE中心中心边心距边心距6、 O是正五边形是正五边形ABCDE的外接圆，弦的外接圆，弦AB的的弦心距弦心距OF叫正五边形叫正五边形ABCDE的的 。7、 AOB叫做正五边形叫做正五边形ABCDE的角，的角，

5、它的度数是它的度数是DEAB C.OF边心距边心距中心角中心角728、图中正六边形、图中正六边形ABCDEF的中心角是的中心角是它的度数是它的度数是9、你发现正六边形、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有的半径与边长具有什么数量关系？为什么？什么数量关系？为什么？BAAOB60EFCD.OBEFCD.n360中心角nBOGAOG180边心距把边心距把AOBAOB分成分成2 2个个全等的直角三角形全等的直角三角形设正多边形的边长为设正多边形的边长为a,a,半径为半径为R,R,它的周长为它的周长为.Ra）边心距（）边心距（面积，边心距）（rnarLSraR2121222AL=na例例 有一个

6、亭子有一个亭子, ,它的地基半径为它的地基半径为4 4m m的正六边形的正六边形, ,求地基的求地基的周长和面积周长和面积( (精确到精确到0.10.1m m2 2).).解解: 如图由于如图由于ABCDEF是正六边形是正六边形,所以它的中心角等于所以它的中心角等于 ，OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.360606因此因此,亭子地基的周长亭子地基的周长 l =46=24(m).在在RtOPC中中,OC=4, PC=4222BC ，利用勾股定理利用勾股定理,可得边心距可得边心距22422 3.r 亭子地基的面积亭子地基的面积21124

7、2 341.6(m ).22SlrOABCDEFRPr练习练习1. 矩形是正多边形吗矩形是正多边形吗?菱形呢菱形呢?正方形呢正方形呢?为什么为什么?矩形不是正多边形，因为四条边不一定相等矩形不是正多边形，因为四条边不一定相等;菱形不是正多边形，因为四个角不一定相等菱形不是正多边形，因为四个角不一定相等;正方形是正多边形因为四条边都相等，正方形是正多边形因为四条边都相等，四个角都相等四个角都相等.2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形各边相等的圆内接多边形是正多边形?各角各角都相等的圆内接多边形呢都相等的圆内接多边形呢?如果是如果是,说明为什么说明为什么;如果不是如果不是,举出反例举出反例.各边

8、相等的圆内接多边形是正多边形各边相等的圆内接多边形是正多边形.多边形多边形A1A2A3A4An是是 O的内接多边形的内接多边形,且且A1A2=A2A3=A3A4=An1An,12233411.nnnA AA AA AAAA A23341452121.nnA A AA A AA A AA A A123.nAAAA 多边形多边形A1A2A3A4An是正多边形是正多边形.A1AAAAAAAnO3.分别求出半径为分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积心距和面积.解：作等边解：作等边ABC的的BC边上的高边上的高AD,垂足为垂足为D连接连接OB，则，则OB=R在在RtOBD中中 OBD=30,边心距边心距OD=1.2R在在RtABD中中 BAD=30,1322ADOAODRRR，ABCDO解：连接解：连接OB，OC 作作OEBC垂足为垂足为E， OEB=90 OBE= BOE=45在在RtOBE中为等腰直角三角形中为等腰直角三角形222BEOEOB222OEOB222OBOE 2222OEOBR边心距22222BCBERR边长2222ABCDSAB BCRR正方形ABCDOE1正多边和圆的有关概念：正多边和圆的有关概念： 正多边形的中心，正多边形的半径，正