平稳性与功率谱密度

1、 第3章 平稳性与功率谱密度有一类极为重要的随机信号，它的主要（或全部）统计特性关于参量保持“稳定不变”，这种随机信号被称为平稳随机信号。本章讨论：1）严格与广义平稳性；循环平稳性；2）平稳信号相关函数的特性；有关物理意义；3）平稳信号的功率谱密度与互功率谱密度；4）白噪声及其实例热噪声=Ch.3 平稳性与功率谱密度Ch.3 平稳性与功率谱密度3.1 平稳性与联合平稳性3.2 循环平稳性3.3 平稳信号的相关函数3.4 功率谱密度与互功率谱密度3.5 白噪声与热噪声=平稳性（Stationarity）:随机信号的主要（或全部）统计特性对于参量保持不变的特性称。包括严格平稳性与广义平稳性。=定义

2、3.1 若的任意n维分布函数具有：任意，满足的任意值，与，下式恒成立则称是严格平稳（SSS）信号（或强平稳信号）。概率密度函数描述形式：=严格平稳信号X(t)具有如下特性：1. 一阶分布、密度函数与均值都与时间t无关；2. 二维分布与密度函数与两个时刻的绝对位置无关，只与它们的相对差有关。=通常采用的等价形式，为相对差，是核心变量，称为绝对位置。=定义3.2 若的均值与相关函数存在且：（1）均值为常数：（2）相关函数与两时间参量中无关，即：则称它是广义平稳（WSS）信号（或弱平稳信号、或宽平稳信号），简称平稳信号。=一阶密度函数平稳性示例 相关函数平稳性示例=严格平稳性与广义平稳性之间关系：如

3、果广义平稳信号是高斯信号，则广义平稳信号也是严格平稳信号。关于离散随机信号（或随机序列）的平稳性问题，只需要将连续时间变量t换为离散时间n。=£ 平稳性是随机信号的统计特性对参量（组）的移动不变性，即平稳随机信号的测试不受观察时刻的影响；£ 应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号；£ 严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论研究中；£ 经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理条件不随时间而改变，那么通常可以认为此信号是平稳的。£ 非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一个较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号来处理。如语音信号：，人们普

4、遍实施1030ms的分帧，再采用平稳信号的处理技术解决有关问题。=定理3.1 广义平稳高斯信号必定是严格平稳信号。证明：因为：均值为常数，和对于任何，下式恒成立：因此，该信号是严格平稳的。=例3.1 设独立高斯信号U(t)的一维密度函数为其中与为常数。试分析其平稳性。=解：依独立性，有： 上式与各个参量本身无关，也与这组参量的平移无关。所以U(t)是严格平稳信号。结论：同分布独立信号必是严格平稳信号。=例3.2 试说明2.2节各例的平稳性。解：根据各个信号的均值、相关函数与概率特性,容易得出：（1） 伯努利信号是严格平稳信号，也是广义平稳信号；（2） 随机正弦信号（该例条件下）是广义平稳信号；

5、（3） 半随机二进制传输信号与泊松信号是非平稳的。=例3.3 讨论乘法调制信号：，其中， X(t)是实广义平稳信号，是确定量，相位在-,+均匀分布，与X(t)统计独立。试讨论Y(t)的广义平稳性。=解：调制器输出信号的均值为相关函数为Y(t)是广义平稳的。=定义3.3 联合严格平稳性定义为随机信号X(t)与Y(t)的任意（n+m）阶联合分布函数满足下面公式：其中，各个时间参量与状态的取值（在相应定义域中）是任意的。 上述定义可以改用X(t)与Y(t)的密度函数给出。=定义3.4 联合广义平稳性定义为X(t)与Y(t)分别是广义平稳的，且满足下面公式：=例3.4 讨论例3.3中乘法调制器的输入与

6、输出信号的互相关函数与联合平稳性。解：由例3.3，互相关函数为因此，输入与输出信号是联合广义平稳的，并且正交。注意：如果振荡不是随机相位的，则输出信号可能不是平稳的，输入与输出信号不会正交，也不会联合广义平稳。=定义3.5 严格循环平稳性（SSCS）：过程的任意n阶概率分布函数具有下述的周期性，即，其中k为任意整数，T为正常数，称为X(t)的循环周期。（注意：这里的T与我们常使用的参数集T是不同的含义。）=定理3.2 若X(t)是周期为T的严格循环平稳过程，与X(t)独立，在0,T)上均匀分布，则是严格平稳的，且其任意n维分布为：=证明：因与X(t)独立：=所以，如果我们令观察时刻移动任意值，

7、 =关于各个参量是T的周期函数有，故，是严格平稳信号。=定义3.6 广义循环平稳（WSCS）：过程的均值与相关函数具有下述的周期性，即，其中k为任意整数，T为正常数，称为X(t)的循环周期。=定理3.3 若X(t)是周期为T的广义循环平稳过程，是0,T)上均匀分布的独立随机变量，则是广义平稳的，且=证明：首先利用条件均值、X(t)与统计独立特性均值： 常数=相关函数：是广义平稳信号。=平稳性与循环平稳性之间的关系：1. 严格平稳过程可以看作严格循环平稳过程，而其循环周期可以是任意值。2. 严格循环平稳过程通过在其循环周期内均匀滑动后，变为严格平稳过程。=例3.5 半随机二进制传输过程，如前面2

8、.2节所述。讨论它的循环平稳性。解：（1） X(t)是广义循环平稳过程，因为：X(t)的均值为常数。=（2）X(t)是严格循环平稳过程由于不同时隙上的取值彼此统计独立并具有相同的分布，该联合事件的概率取决于观察时刻之间的相对关系：任取观察时刻组，和周期T，有：注意：样本周期性与统计特性周期的区别=例3.6 继续讨论乘法调制信号：，X(t)是实平稳过程，是确定量，D与X(t)统计独立且在上均匀分布。（1）Y(t)的循环平稳性。（2）Z(t)的平稳性。=解：（1）均值与相关函数的周期是，的周期是Y（t）是循环平稳信号，周期为。=（2）由定理可得是广义平稳过程，并且，=乘法调制器理想乘法调制器模型：

9、实际乘法调制器模型：D与X(t)统计独立且在上均匀分布。=性质1 实平稳信号的相关函数满足：（1） 实偶函数，即；证明： =（2） 原点处非负并达到最大，即，与；证明：利用，令，有 即，。=（3） 若，则是周期为的周期函数；这时称为周期平稳信号；证明：令， 得到， 有，即，以为周期。=（4） 若，且不公约，则为常数；证明： 既以为周期，又以为周期，而是不公约的，因此只能是常数。=（5） 若在原点处连续，则它处处连续；证明：令 有。于是，即处处连续。=下图中，上排由左至右，各图形分别违背了性质的（3）、（4）与（1）项；下排左、右两图形分别违背了性质的（2）与（5）项。=性质2 若是平稳信号，则

10、（1） ；（2）性质3 若与联合平稳信号，则（1）（2）=1. 若信号含有平均分量（均值），则含有固定分量。式指明了这点；2. 若信号含有周期分量，则将含有同样周期的周期分量。周期特性可如下说明：=等价于，“信号依均方意义（也依概率为1）呈现周期性”的充要条件是“是周期函数”，这种信号称为周期平稳信号。3. 若信号不含有任何周期分量，则随机变量与的关联程度会随着间距的增大而逐渐减小，直至无关。=性质4 实际应用中的非周期平稳信号，一般都满足，与 等价于，与 其它主要参数： =4. 使用与表示关联性，定义相关时间(correlation time)，使得以后，其中通常定为0.05。有时用矩形等效

11、形式来定义相关时间， 与一般不相等，它们都示出了相关性有无的大致分界处。=例3.7 工程应用中平稳信号的自相关函数为试估计其均值、均方值和方差。解：信号X(t)通常被视为两个平稳信号U(t)与V(t)的和，U(t)与V(t)的自相关函数分别为与。U(t)是X(t)的非周期分量，可得=V(t)是周期分量，可认为此分量的均值。于是， 所以，的均值为10、均方值为300、方差为200。信号的能量与功率： 物理意义：电路中的电流或电压信号，在单位（1欧姆）电阻上的消耗的能量或功率信号有两种类型：1）能量型信号的有限，而为；2）功率型信号的有限，而为无穷。希望考察信号的能量或功率沿轴的密度状况，即，考虑

12、给定频率处，单位带宽上所具有的能量或功率1）对能量型信号，能量谱密度为：物理意义：表示能量沿频率轴的密度状况，其总和是总能量。2）对于功率型信号，功率谱密度为：是截断信号的傅里叶变换物理意义：表示功率沿频率轴的密度状况，其总和是总功率。对于随机信号可先考虑某个样本函数，再进行统计平均。因为几乎总是功率型的，因此，只考虑功率与功率谱密度。如果细致的考虑样本函数，可定义样本功率与样本功率谱， 它们都是随机的。显然，注意：时域与频域都用了大写，请由自变量来区分。如果是平稳信号，那么并且，维纳辛钦Wiener-Khintchine定理：定义3.7 平稳信号的自相关函数的傅里叶变换， 为其功率谱密度，简

13、称功率谱。物理含义可以理解为：如果在某个处比较大，则信号中含有较多的频率分量；如果在某个处，则信号中不含有该频率分量。例3.8 已知随机信号的功率谱为，求自相关函数与均方值。解：首先进行分解，均方值为。例3.9 正弦信号的功率谱。解：由相关函数为， 可见它是正的实偶函数，信号的功率全部集中在频率处。与确定信号不同的是，随机信号的频域分析主要是考察它的功率谱，而非信号谱。考虑 相位的不确定性，使的傅里叶变换是随机的， 易见，它的统计平均为零。而的功率谱为，虽然损失了相位特性，但有效地给出信号成份的分布。性质1 功率谱总是正的实偶函数。利用该性质，可以判别功率谱表达式的正确性。比如，可能为虚数；可

14、能为负，而且它也不是偶函数。因此，它们都不是正确的功率谱表达式。由于与都是实偶函数， 鉴于偶函数特点，应用中经常使用单边功率谱： 1. 互功率谱密度定义3.8 联合平稳信号互功率谱密度为互相关函数的傅里叶变换， 物理意义：如果很大，表明相应频率分量关联度很高；如果表明相应频率分量是正交的。性质2 互功率谱具有对称性：；而。1） 两种互功率谱的实部相同，而虚部反号；2） 实信号的互相关函数为实函数，因此，互功率谱的实部都是偶函数，虚部都是奇函数。 例3.10 讨论（加性）单频干扰：受到加性的独立正弦分量的干扰（是在上均匀分布）。解：首先，对于， 正交性使得交叉项为零。通过傅里叶变换可得，从的功率

15、谱中可以清楚地看到单频干扰成份。定义3.9 若广义平稳信号，恒有： 或 则称它是（平稳）白噪声信号（White noise signal），简称白噪声或白信号。任意非白色噪声为有色噪声（Colored noise），简称色噪声。通常总是零均值的，因此，。白噪声有时也通俗地称为“纯随机的”：1）无限带宽的理想随机信号，2）功率（即方差）为无穷大，3）而不同时刻上彼此不相关， 若白噪声的每个随机变量都服从高斯分布，则称它为高斯白噪声（WGN, White Gaussian noise）。它也是独立信号，代表着信号“随机性”的一种极限。如果序列，恒有，或 ，则称它是白噪声序列。高斯白噪声序列是独立序列，利用独立性，很容易写出它的任意阶密度函数。例3.11 方差为的高斯白序列。试求：（1）相关函数与协方差函数；（2）n维密度函数。解：首先，作为高斯白噪声，也是同分布的独立信号。于是，例3.12 讨论随机相位正弦信号的广义平稳条件。：变量A的均值为，方差为，的特征函数为，与X(t)统计独立。解：计算均值与自相关函数。首先当且仅当时，（常数）。当且仅当时， 上式0， 随机相位的正弦信号广义平稳的充要条件是：。 此时，1）；2）。比如当时，。例3.13 讨论乘法调制信号的功率谱。：，X(t)为实广