从MaxWell 速度分布律到能量分布律

1、从MaxWell 速度分布律到能量分布律滕汉瑜(天水师范学院，物信学院，甘肃，天水 741001)摘要：近独立粒子在平衡态下分子平动速度的MaxWell速度分布律中的速度用在没有外场，研究对象为理想气体分子在经典极限条件（）下的能量等价替换，得到关于能量的 MaxWell能量分布律,进而得到MaxWell能量分布函数,作出能量分布曲线图.并利用MaxWell能量分布函数求出气体分子最概然能量和平均能量,在直角坐标系中画出不同温度下的能量分布曲线图.MaxWell velocity distribution law from the energy distribution law TENGHan

2、yu(Tianshui Normal University, College of matter information, Gansu, Tianshui 741001)关键词：MaxWel速度分布律；能量分布律；分子最概然能量；分子平均能量Abstract: Nearly independent particles in the equilibrium state under the moving speed of the molecular velocity distribution law MaxWell speed used in the field in the absence of

3、 research for the ideal gas molecules in the classical limit condition () under the equivalent energy replacement, energy MaxWell on energy distribution law, which has been MaxWell energy distribution function, to make the energy distribution curves. and take advantage of the energy distribution fun

4、ction MaxWell gas molecules calculated most probable energy and average energy, in the Cartesian coordinate system to draw different temperatures in the energy distribution curves.Key words: MaxWell velocity distribution law ;Energy distribution law ;Most probable molecular energy ;Average energy of

5、 molecules1 引言：气体分子以各种大小的速度沿各个方向运动着,而且由于相互碰撞,每个分子的速度都在不断地改变.因此,若在某一特定的时刻去考察某一特定的分子,则它们的速度具有怎样的数值和方向,完全是偶然的.然而就大量分子整体看来,在一定条件下,它们的速度遵从着一定的统计规律.近独立粒子在平衡态下分子平动速度遵从MaxWell速度分布律，由MaxWell速度分布律可得分子速度及速度分量的概率，从而得到分子速度分量各平均值.现在考虑如果研究对象为理想气体分子且没有外场，那么分子能量就只有平动动能，一般情况下气体满足经典极限条件），速度和动能可以用来转化，我们将MaxWell 速度分布律中的

6、速度用动能来替换，即用动能做变量，就可以由MaxWell速度分布律得到按能量分布的函数，并且可以求出分子最概然能量和平均能量.2 MaxWell能量分布律的导出：用表示气体分子的速度,用、分别表示气体分子在、三方向的分量，导出了近独立粒子在平衡态下的MaxWell速度分布律.分子平动速度（质心速度）分布在间隔内，或平动速度分量在、间隔内的分子数占总分子数的比率以及一个分子的速度（质心速度）在上述间隔内的概率为 (1)其中是气体分子的质量，是玻耳兹曼常数，是气体温度.如果用动能分量、等价替换(1)式中的速度分量、可得： (2)分子平动动能在分量、分量不加限制（可取一切可能的值）而分量分布在间隔内

7、的分子数占总分子数的比率及一个分子的平动动能分量，在上述分量间隔内的概率可由（2）式对、的一切可能值(0，)积分得到: (3)同样可得分子平动动能在分量（或分量）分布在（或）间隔内的分子数占总分子数的比率及相应的分布概率为 (4) (5)由（2）式、（3）式、（4）式和（5）式可得： (6)（6）此式说明气体总能量在间隔内的分子所占比率等于各能量分量在其相应间隔（、）内的分子所占比率的乘积，同时也说明能量在、三方向的分量是彼此独立的.如果将(2)式利用球极坐标积分可得： (7)(7)式代表能量分布在范围内的分子数占总分子数的比率.将(7)式作一变换,去掉可以得到MaxWell能量分布函数为 (

8、8)因，取值在(0，)，所以取值在(0，).如果将看作的变量, 为的因变量,那么在平面直角坐标系中画出MaxWell能量分布函数图像如下图1所示:与之间的关系图(能量分布曲线)形象的描绘出气体分子能量分布的情况,图1中任一区间间隔内曲线下的窄条面积表示能量分布在该区间内的分子所占比率,而任一有限范围曲线下的面积则表示分布在这个范围内的分子所占比率.由图1可知,能量分布曲线从坐标原点出发,经一极大值后随的逐渐增大而逐渐趋于横轴;气体分子在能量较大和能量较小的范围内的分子所占比率很小;而中等能量的分子所占比率很大.图1中峰值所对应的值就是最概然能量的值,要确定的值,可取能量分布函数对的一级微商,并

9、令其等于 (9)(8)表明最概然能量与温度有关;越大就越大; 越小, 就越大.而越大，图像的峰值离纵轴越远,但曲线下的面积恒等于1,所以曲线就变的越平坦. 下图2是气体分子能量在两个不同温度、下的分布曲线图.图2中，所以对应的峰值较低，最概然能量值较大，所以气体分子能量分布曲线的形状由温度决定. 对MaxWell能量分布函数为乘以后在()范围内积分可以求出气体分子平均能量为= （10）(10)式说明气体分子的平均能量也与温度有关;温度越高,分子平均能量就越大；温度越低，分子平均能量就越小.3 结束语：综上可知将分子平动速度（质心速度）分布的Maxwell速度分布律变换成按能量分布的Maxwel

10、l能量分布律是可行的.需要指出的是、都指的是分子数的统计平均值.在任一瞬时刻实际分布在某一能量区间内的分子数,一般说来是与统计平均值有偏差的.偏差有时大,有时小;有时正,有时负.这种对于统计规律的偏离现象是难免的.概率论指出,如果按速度分布律推算出分布在某一速度区间内的分子数的统计平均值则实际分子数对于这一统计平均值的偏离范围是.而分子数越大偏离的百分数就越小;如果分子数越小,则偏离的百分数就越大.因此Maxwell速度分布律只对大量的分子组成的体系成立,所以Maxwell能量分布也应该是对大量的分子组成的体系成立.而具有某一确定的能量的分子有多少,是根本没有意义的.通过Maxwell能量分布函数求出最概然能量和平均能量,它们都是与温度有关系的,在直角坐标系下画出不同温度的能量分布曲线图.可以看出Maxwell速度分布律不仅对分子速度适用，而且对分子能量也是适用的. MaxWell速度分布律讨论了气体分子速度的分布情况,它是研究物质内部分子运动规律及其结构的一种方法.而Maxwell能量分布律研究了气体分子能量的分布情况,它也是研究物质内部分子运动规律及