微分几何第一章曲线论第一节向量函数第5小节ppt课件

1、2022-2-81 向量函数1.1.向量函数的极限；向量函数的极限；2.2.向量函数的连续；向量函数的连续；3.3.向量函数的微商；向量函数的微商；4.4.向量函数的积分向量函数的积分. .复习复习命题命题1.1.，设设)(),(),()(tztytxtr ，,321aaaa 则则atrtt )(lim0.)(lim)(lim)(lim321000 atzatyatxtttttt极限极限极限的分量等于分量的极限的分量等于分量的即即连续连续)(),(),()(tztytxtr .)(),(),(均连续均连续tztytx命题命题2.2.可可微微)(),(),()(tztytxtr .)(),(),

2、(均均可可微微tztytx.)(),(),()(且且tztytxtr 微微商商微微商商的的分分量量等等于于分分量量的的即即命题命题3.3.定义定义的的二二阶阶微微商商；称称为为)()(trtr )(类函数类函数kC的的三三阶阶微微商商；称称为为)()(trtr .)( 的的高高阶阶微微商商叫叫二二阶阶及及二二阶阶以以上上的的微微商商tr.,21类函数类函数阶连续微商的函数称为阶连续微商的函数称为上有直至上有直至在区间在区间kCktt.0类函数类函数连续函数称为连续函数称为C.类函数类函数无限可微的函数称为无限可微的函数称为 C.类函数类函数解析函数称为解析函数称为 C命题命题4 4,)(),(

3、),()(21ttCtztytxtrk .,)(),(),(21ttCtztytxk 证：证：,)()()()(321etzetyetxtr ,)()(1etrtx ,)(21ttCtrk 为常向量，为常向量，1e;,)(21ttCtxk .,)(),(21ttCtztyk 同同理理定义定义),(vurr 对对于于二二元元向向量量函函数数uvurvuurruu ),(),(lim0.ur vvurvvurrvv ),(),(lim0.vr 注注,),(),(),(),(若若vuzvuyvuxvur ,则则uuuuzyxr .,vvvvzyxr 定义定义上上的的二二元元函函数数，是是定定义义在在

4、平平面面区区域域设设Dvuzvuyvuxvur),(),(),(),( 上可微，上可微，在在若若Dvuzvuyvux),(),(),(上可微，上可微，在在则称则称Dvur),(.),(的的全全微微分分为为且且称称vurrdvrdurrdvu 对于二元向量函数，对于二元向量函数，.分分等等概概念念也也可可定定义义偏偏微微商商、全全微微1.4 向量函数的泰勒公式向量函数的泰勒公式定理定理,)(001tttCtrn 设设公式：公式：则有以下则有以下Taylor),()()!1()()(!)()(! 2)()()()(00)1(10)(02000tttrnttrnttrttr ttrttrnnnn .

5、 0),(,00 ttt 时时其中其中特别地，特别地，,)(时时当当 Ctr )(!)()(! 2)()()()(0)(02000trnttrttr ttrttrnn.上述级数是收敛的上述级数是收敛的,)(时时当当 Ctr 1.5 向量函数的积分向量函数的积分定义定义)(不定积分不定积分,),()(battrtR 若若.)()(的的一一个个原原函函数数为为则则称称trtRR .)()(的的不不定定积积分分做做的的所所有有原原函函数数的的集集合合叫叫trtr.)( dttr记作记作易易知知，trtR的一个原函数的一个原函数为为若若)()(.)()(CtRdttr 则则命题命题),(),(),()

6、(tztytxtr 若若),(ts都连续，都连续，)(tf ;)(,)(,)()(1 dttzdttydttxdttr）（ dttrdttr)()(2 ）（；为为常常数数)( ;)()()()(3 dttsdttrdttstr）（ dttrmdttrm)()(4）（；为常向量为常向量)(m.)()()()(5 dttsdttrdttstr）（定义定义)(定积分定积分 badttr)( niiiTltr10)()(lim 注注可积可积)(),(),()()1(tztytxtr .)(),(),(可可积积tztytx可可积积，若若)(),(),()()2(tztytxtr .)(,)(,)()(则

7、则 babababadttzdttydttxdttr积分积分积分的分量等于分量的积分的分量等于分量的即即命题命题5 5上上可可积积，在在上上连连续续，则则在在若若,)(,)(batrbatrr bccabadttrdttrdttr)()()(1）（；为常数为常数)(m；为常向量为常向量)(m而且而且 babadttrmdttrm)()(2）（ babadttrmdttrm)()(3）（ babadttrmdttrm)()(；为常向量为常向量)(m).()(4xrdttrdxdxa ）（注注.分分析析中中来来所所有有结结果果都都平平移移到到向向量量并并不不能能把把数数学学分分析析中中的的.),(

8、)()()(:一般不成立一般不成立微分中值定理微分中值定理例如例如baabrarbr ),(,0 ,sin,cos)(: ttttr设设向向量量函函数数如如，取取)2, 0(,000 ttatb则则,0 ,sin2 , 0)()()()(000ttrtrarbr ，则应有，则应有假如微分中值定理成立假如微分中值定理成立),()()()(baabrarbr ,20 ,cos,sin0 ,sin2 , 000tt 即有：即有：,cossin0sin00 tt 且且,sin000tt 且且 这是不可能的，这是不可能的，.值定理一般不成立值定理一般不成立故对向量函数，微分中故对向量函数，微分中两个重要命题两个重要命题命题命题6 6有有固固定定长长向向量量函函数数)(tr.)()(垂垂直直与与trtr ., 0)()(battrtr 即即证：证：有有固固定定长长)(tr常数常数 )(tr常数常数 2)(tr常数常数 2)(tr0)()(2 trtr).()(trtr 定义定义)(旋转速度旋转速度)(trO)(ttr tt 0lim.)(的的旋旋转转速速度度关关于于叫叫做做向向量量函函数数ttrt .叫叫做做平平均均旋旋转转速速度度命题命题7 7.)(微微商商的的模模的的旋旋转转速速度度等