DXC22-基于排队论的服务系统优化研究——以XX超市收银台为例

1、1、排队模型排队论是研究排队现象的理论与运用的学科，是专门研究由于随机因素的影响而产生的拥挤现象的科学，有人也称之为随机服务系统，或称之为公用事业的数学方法。它是运筹学的一个重要的分支。凡是出现拥挤现象的领域，都可以运用排队论。在日常的生产和生活中有各种各样的随机服务系统，人们经常会碰到许多有形或无形的排队现象。例如：到食堂打饭，到车站等车，去超市购物等等。这些问题中，食堂的服务窗口与打饭者、公共汽车与乘客、超市收银台与购物者都可归结为服务窗口与顾客之间的一种服务关系，都可以当做排队问题来研究，他们之间就构成了一个排队系统或服务系统。为了统一起见，我们把要求得到服务的对象统称为“顾客”，把提供

2、服务的服务者称之为“服务员”、“服务窗口”、或“服务机构”。因为顾客的到达情况和每位顾客接受服务的时间往往是无法事先知道的，或者说是随机的。在排队论所研究的排队系统中，顾客相继到达时间间隔与服务时间这两个变量中至少有一个是随机的，因此排队论又称为随即服务系统理论。排队系统的一般模型图如图1所示。下图表明每个来到服务窗口的顾客需要按照排队规则进行排队等候服务，服务窗口则按照服务规则进行服务,顾客接受完服务之后就会离开。图中的排队结构是指队列的数目和排队的方式，排队规则和服务规则说明顾客在排队系统中是按照什么规则，以什么次序接受服务的。图1 排队系统一般模型图1）排队论的性态问题 所谓排

3、队系统的性态问题就是研究各种排队系统的规律性。在一个排队系统中，其排队的队长是随机的，顾客等待时间的长短以及服务台繁忙时间的长短也是随机的。排队系统的规律性主要是研究排队队长的分布、等待时间的分布以及忙期的分布，它包含了瞬间状态和统计平衡条件下的稳态两种情形。2）排队系统的最优化问题排队系统的最优化问题主要有两类：包括系统的最优化设计和系统的最优化运行控制。前者又称为静态最优化，后者又称为动态最优化。前者是在服务系统设置之前就对未来的运行情况进行估计，从而使设计人员有所依据。例如车站的规模、水库容量的大小等。而后者是对已有的排队系统通过一定的数学方法寻求最优运行策略，例如去银行取款的时候，当排

4、队的人太多时，就增设服务的窗口，这样虽然增加了运营成本，但同时却减少了顾客的等待时间，即减少了顾客的机会成本提高了顾客的满意度，这样带来的好处可能远远超过服务费用的增加。因此，在对一个排队系统进行设计或运行管理的时候，就需要兼顾顾客与服务双方的利益，以便在某种合理指标的基础之上使得系统达到最优化。对实际的排队系统而言，如果把输入看作是由客观条件决定的，那么解决这种问题的关键就是确定服务效率或服务台的数量或服务规则或这几种量的组合，使系统在某种条件下达到最优。优化的目标函数可以是时间，也可以是费用或者收益。学习和应用排队论知识的目的就是要解决客观系统的最优设计或运行控制，创造更好的经济效益和社会

5、效益。排队系统的最优化就是通过调整和控制排队系统使其处于最佳的运营状态。排队系统的最优化分为两类：即设计的最优化和控制的最优化。设计的最优化又称静态最优化，其目的是使设备达到最大的效益，或者说，在一定的质量指标下要求机构最为经济。控制的最优化也称为动态最优化，指的是对于一个给定的系统，怎样经营才能使目标函数达到最优值。排队系统由三个方面组成，即输入过程、排队规则和服务机构。其中我们可以把输入过程看成顾客。在排对系统的组成中有两个对立的面：即顾客和服务机构。顾客方面总希望能进入服务系统并且立刻得到服务，他们希望在系统中逗留的时间越短越好，因而要求开放更多数量的服务台，服务效率自然也就提高了。这样

6、，顾客等待的时间减少，那么所遭受的损失就小。而作为提供服务的服务机构来说，增加窗口就会增加投资，虽然服务的效率提高了，但同时也增加了运营的成本，并且开放的服务窗口过多的话很容易导致窗口的闲置，这样更加加大了超市的运营成本。通常来说，服务机构由于各方面条件的制约不会增加过多的窗口。由此可见，对于一个排队系统的设计与运行，需要兼顾顾客与服务机构双方的利益，以便在某种合理指标上使两者利益达到最优化。对大多数实际问题来说，输入可以看作是由客观条件决定的，不受控制的。因此，解决这种问题的关键是确定服务率或服务台或选取顾客的服务规则或这几个量的组合，使之在某种意义下系统达到最优。最优化要么从服务一方考虑，

7、要么从顾客、服务机构双方综合考虑，优化的指标可以是时间，也可以是费用。如果仅从费用这个角度考虑的话，那么使得顾客等待损失的费用和服务机构的服务成本费用之和最小的值即为最优值，也可以说是最好的服务水平。在费用模型中总费用=服务成本费用+顾客排队损失费用在此公式中排队损失费用和服务成本费用都是服务水平的函数，其中前者是服务水平的减函数，后者是服务水平的增函数。当总的费用最低的时候，它所对应的服务水平即为最优的服务水平。假定每个顾客在系统内逗留单位时间的损失费用为 元，每个服务台单位时间的服务成本为c元，那么单位时间内的平均损失总费用为： 公式1.1其中，表示开放 n 个服务台时系统中的等待队长。那

8、么使得总费用f ( n )最小的n值即为应开放的最优的服务台数量。为求出最优的n值，可采用边际分析法，即所求的n必须同时满足： 公式1.2即： 公式1.3由上式即可求出n ，n 即为所求的最优服务台数。作为一个服务系统的管理者，其面临的一个主要的任务就是根据顾客的到达规律，对服务系统中的各种参数进行调节和控制，使系统处于一个最佳的运营状态。使得优化后的系统比优化前的系统服务效率更高，同时又能节约更多的成本。既能使得服务机构的运营费用最小收益最大，同时还能最大限度的满足顾客的需求，这是动态优化的问题。在系统提供服务之前，依据顾客的到达规律对系统进行设计，并且制定相应的服务规则，从而使系统具有最优

9、的性质，这是静态优化问题。总而言之，作为服务系统的管理者必须密切关注顾客到达规律的变化，利数学模型在建立的时候都进行了一些假设，因此在应用数学模型的时候不能直接套，要结合数学模型对系统进行分析、假设和归纳，其中重要的一点是将一些实际因素合理化。为此本文对大型超市收银服务系统作如下的假设用调查的数据和排队论的相关知识来设计和制定服务的方案、调节服务水平和其他相关的指标，使得服务机构达到最佳的运营状态。在 M / M / n / / 模型中，假定顾客到达时间间隔服从参数为 的负指数分布，顾客的服务时间服从参数为 的负指数分布。顾客的到达时间和服务时间是相互独立的，并且系统中有n个服务台。如果顾客到

10、达时，服务窗口全部处于繁忙的状态，则进行等待。在多服务窗口等待制排队模型中，我们有如下的定理：定理：若表示时刻t系统中的顾客数（队长），则是状态空间E=0,1,2,且，生率为： 公式2.4灭率为： 公式2.5的生灭过程。定理2.3 若 X (t )表示时刻t系统中的顾客数，设，则当时，系统可以达到稳定的状态，且有平稳分布 公式2.6 公式2.7其中通过对系统的分析，可以计算出下列相应的目标参数：损失概率在等待制排队系统中，因为到达系统请求服务的顾客迟早会被系统服务，因此： 公式2.8系统的相对通过能力和绝对通过能力： 公式2.9 公式2.10平均排队等待的队长： 公式2.11平均忙着的服务窗口

11、个数  公式2.12系统队长（或系统中平均等待顾客数）的均值 公式2.13顾客在系统内的平均等待时间 公式2.14顾客在系统内的平均逗留时间  公式2.15到达系统的顾客必须等待的概率  公式2.16顾客源 超市收银服务系统的服务对象是选择好商品并且进入排队系统等待结算的顾客。顾客的到达是随机的，因此顾客源在理论上可以认为是无限的。系统在运行一段较长的时间之后达到稳定状态，顾客可以选择较短的队列加入，进入系统的顾客可以随时改变其队列。 顾客到达方式 在实际的调查中发现顾客的到达有的是单个、随机的到达；有的则是成批、随机的到达。学生喜欢三五成群一起去购物但是付款的时

12、候却是混在一起结算；周六日的时候以家庭为单位的购物者居多，他们在结算的时候一起进入收银服务系统但是在结算的时候却表现为“单人”结算的形式。成批到达的情况在实际的调查中不好把握，因此，为了调查数据和计算的便利，本文约定顾客到达为单个、随机的到来，并且顾客的到来是相互独立的。上面所说的成批到达的情况在本文中不作细分。 服务机构 调查发现该超市共有 54 个收银台，但是只有 40 个能用。在实际中由于每个收银员的各方面的素质不一样，因此收银台的服务能力是不一样的，但是这种差异可以通过培训来弥补，因此本文中假定每个收银台的服务能力是一样的，并且每个收银台每次只能服务一位顾客。通过计算发现服务员对顾客的

13、服务时间服从负指数分布（具体计算结果见附录）。 通过上面的叙述可以知道，该超市收银服务系统是一个多服务窗等待制M/M/n/ /排队系统。 在论文数据采集的时候，我们对某大型超市顾客服务时间进行了调查，我们随机调查了 200 个顾客服务时间的情况。在对超市顾客服务时间进行调查的时候我们发现了现有超市收银工作中存在的一些问题。为了更好的说明超市现有收银服务系统中的一些问题，现在将调查的情况整理如表1。 表1 超市实际调查情况统计表上表所显示的就是在调查过程中超市的实际状况。通过以上的数据我们可以发现以下几个问题： 1.在国家限塑令实施一年多来，大部分的顾客已经习惯了自带购物袋进

14、行购物，但是还有很多的顾客在购物的时候选择索要购物袋。在实际的调查中索要购物袋的顾客比例占了近三成。 2.在结算时的扫描工作本来是一气呵成的，条形码的输入理论上应该是相互衔接的，但是由于超市在一些条形码的粘贴上的原因，致使人工输入条形码的情形很多，通过上表我们知道这一比例占到了 20%多。 3.我们在购物的时候如果购买的是成箱的商品在结算的时候收银员要先打开箱子，检验一下里面的东西然后再封箱进行扫描；还有就是我们在购买袜子，衣物时往往上面都有一个带磁的锁扣，在扫描前需要先摘除锁扣。在调查中这一比例虽然不是很高但是这种情况的存在对服务时间的影响是很大的。 4.银行卡

15、的盛行给我们的生活带来了很多的便利，在日常生活中人们在购物的时候很多人已经习惯了刷卡结算，特别是中青年人对于这种便利的结算方式更是青睐。在实地调查中选择刷卡结算的顾客占到了调查总体的 21%。其中中青年人所占的比例更是高达 90.24。这和实际情况是吻合的。青年人和中年人比起来选择刷卡消费的人更多，这点从他们所占的比例上就能看出来。 5.上表还有一个很显著的特点，那就是在前来购物的顾客中青年人占了接近一半，达到了 48.5%。一般情况下前来购物的顾客中三种类型的顾客数量相差不是很大，这里之所以出现这么大的差异，和所调查超市的具体特点有关。该超市周围社区不多但是大学有好几所而且距离都比

16、较近，所以前来购物的学生很多。 6.通过上表我们可以发现在前来购物的顾客中，一般所购商品的数量都不大。购买三件商品及其以下的顾客大约有 32.5%，购买五件及其以下的顾客更是占到了 49%。通过上面的分析我们知道购物的顾客中学生比较多，学生购物不像家庭购物那样每次购买很多的东西，学生每次只买很少的必需品，因为他们来的次数多。这也就是为什么顾客所购商品数量不多的原因。 7.在调查的过程中还有一些特殊的情况在上表中没有体现。例如在调查中发现老年人在结算付款时的速度明显要比中青年人慢；有些银行卡在初次刷卡的时候系统有时识别不出来，需要多次刷卡，也有多次输入密码的情况出现；还有的扫

17、描仪器在工作的时候突然发生死机的现象，需要重新启动才能继续服务；也有一些操作需要经过经理授权后才可执行，这时需要等待经理的授权。在调查中发现刷卡结算和现金结算的时间是不同的，有人工输入条形码以及拆扣或者拆箱的情况时，总的服务时间往往要比正常情况长很多。为了更好的分析和研究各种情况对服务时间的影响，下面将各种情况的服务时间进行统计整理如表2。 上面说的这些情况都是在实际的调查中发现的，这些都浪费了很多的时间。 通过上面的表格我们很容易找出两个显著的特点：一个是扫描时间在整个服务时间中占有很大的比例，其中最少的刷卡结算时的扫描时间占服务时间的比例也接近 50%，所有个体平均的扫描时间与平

18、均服务时间之间的比例更是达到了 74.25%。由此可见扫描在整个收银服务中是最重要的环节。另一个特点是：不同情况下的顾客的平均服务时间是不相同的，其中拆扣或拆箱情况下的服务时间比总体平均服务时间多出了 50%多，其他两种情况的服务时间也比总体平均服务时间多出很多。 在调查的 200 个顾客的服务时间中，通过统计计算发现刷卡消费的顾客的平均服务时间是 77.3838（人/秒），而顾客的平均服务时间在上一章已经计算出来为 57.3682（人/秒）。该超市共设有 54 个收银台，其中是 6 个处于长期闲置状态，即有 38 个正常工作的收银台。则假设现金通道的个数有个，刷卡通道的个数有个，则有如下的计算公式： 公式2.17解得 公式2.18快速通道的划分可以依据顾客购买的商品是否超过三件，若是三件及其以下就可以进入快速通道结算，在此约定快速通道只接受现金结算，其目的是提高服务效率。修改意见：1.绪论、理论基础已经写好，不用写。(千万不要写来凑字数)2