江苏省2012届高考数学信息卷 数学（一）（解析版）苏教版

1、2012 高考数学信息卷一一、填空题1若为正实数，则的最大值是.提示：.2. 已知函数，若存在，使成立，则实数的取值范围是.3已知三顶点的坐标为是坐标平面内一点，且满足，则的最小值为 3 .提示：由已知得，且，即，且，所以.4. 函数在定义域R内可导，若，且当时，设，则的大小关系为c<a<b.提示：依题意得，当时，有，为增函数；又，且，因此有，即有,.5. 等比数列的前项和为,已知成等差数列，则等比数列的公比为 .提示：设等比数列的公比为，由，得，即，.6在平面直角坐标系中，设直线与圆：相交于、两点，若点在圆上，则实数.提示：，则四边形是锐角为的菱形， 此时，点到距离为1. 由，解

2、出.7 如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4（从左至右）出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右的第5个数应是2012.提示：由每行的行号数和这一行的数字的个数相同可求出第63行最左边的数是，所以，从左至右的第5个数应是2016-4=2012. 二、解答题1. 已知向量，且，其中.(1)求的值；(2)若，求cos的值.解：(1)，且， ，即， (2) ,. 2.如图，在三棱柱中，侧面和侧面均为正方形，.(1)求证：;(2)求证：.证明：(1)连接.,又为的中点，的中位线， , ,.(2)由

3、(1)可知，.侧面为正方形， ,且，.又,.,.3.某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m(1)过点的一条直线与走廊的外侧两边交于两点，且与走廊的一边的夹角为，将线段的长度表示为的函数；(2)一根长度为5m的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）解：(1) 根据图得(2) 铁棒能水平通过该直角直廊，理由如下：令得，当时，为减函数；当时，为增函数；所以当时，有最小值，因为，所以铁棒能水平通过该直角走廊4.椭圆C： 两个焦点为，点P在椭圆C上，且,且，.(1)求椭圆C的方程.(2)以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这

4、样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个;若不存在，请说明理由.解：(1) ，又，,所求椭圆C的方程为.(2)假设能构成等腰直角三角形ABC，其中，由题意可知，直角边不可能垂直或平行于轴，故可设边所在直线的方程为， ,则边所在直线的方程为.由得,故，用代替上式中的，得,由即即故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形.5.有个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为（），公差为，并且成等差数列.(1)证明，并求的值；(2)当时，将数列分组如下： ，（每组数的个数构成等差数列）.设前组中所有数之和为（），求数列的前项和.(3)设N是不超过20的正整数，当时，对于(1)中的，求使得不等式成

5、立的所有N的值.解：(1)由题意知.,同理，.又因为成等差数列，所以=故即是公差为的等差数列.所以.令则此时=1.(2) 当时,数列分组如下：，按分组规律，第组中有个奇数，所以第1组到第组共有个奇数.注意到前个奇数的和为，所以前个奇数的和为.即前组中所有数之和为，所以.因为所以，从而所以.故 .所以.(3)由(2)得, .故不等式就是.考虑函数.当时，都有，即.而，注意到当时，单调递增，故有.因此,当时，成立，即成立.所以,满足条件的所有正整数N=.6. 对任意，给定区间，设函数表示实数与所属的给定区间内唯一整数之差的绝对值.(1)当时，求出的解析式；时，写出绝对值符号表示的的解析式；(2)求

6、，判断函数的奇偶性，并证明你的结论；(3)当时，求方程的实根.( 要求说明理由，).解：(1)当时，中唯一整数为0，由定义知：当时，在中唯一整数为，由定义知：.(2) ,下判断是偶函数.对任何，存在唯一，使得.由可以得出,即.由(1)的结论，即是偶函数.(3)，即，其中；当时，所以没有大于1的实根；容易验证为方程的实根；当时，对应的，方程变为.设.则故当时，为减函数，方程没有的实根；当时，对应的，方程变为，设，明显为减函数.,所以方程没有的实根.综上，若时，方程有且仅有一个实根，实根为1.三、理科附加题1.在研究性学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担H、I、J、K四项不同的任务，每项任务至少安排一位同学承担.(1)求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率;(2)设这五位同学中承担H任务的人数为随机变量，求的分布列及数学期望解：(1)设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件B，那么所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是(2)随机变量可能取的值为1,2. 事件“”是指有两人同时承担H任务，则，所以,的分布列是 12所以2. 已知(1) 求及；(2) 试比较与的大小，并说明理由.解：(1) 令，则，令，则，所以.(2) 要比较与的大小，即比较：与的大小，当时，>当时，<；当时，>；猜想：当时，>，下面