附录Ⅰ截面的几何性质.

1、附录 截面的几何性质I-1 选择题1 在下列关于平面图形的结论中，（D） 是错误的。A.图形的对称轴必定通过形心。B.图形两个对称轴的交点必为形心。C.图形对对称轴的静矩为零。D.使静矩为零的轴必为对称轴。选项对与错原因A 错 图形的对称轴必定通过形心B 错 图形两个对称轴的交点必为形心C 错 图形对对称轴的静矩为零D 对2 在平面图形的几何性质中，（D ） 的值可正，可负，也可为零。A.静矩和惯性矩。B.极惯性矩和惯性矩。C.惯性矩和惯性积。D.静矩和惯性积。选项对与错原因A 错 惯性矩恒为正B 错 惯性矩恒为正C 错 惯性矩恒为正D 对3 设矩形对其一对称轴z 的惯性矩为 I, 则当其高宽

2、比保持不变，而面积增加1倍时，该矩形对z 轴的惯性矩将变为（B）。A2IB.4IC.8ID.16I选 项对与错原 因A错计算错误B对C错计算错误D错计算错误4 若截面图形有对称轴， 则该图形对其对称轴的说法正确的是（ A）。A静矩为零，惯性矩不为零B静矩不为零，惯性矩为零。C静矩和惯性矩均为零。D静矩和惯性矩均不为零。选项对与错原因A 对B 错 静矩为零，惯性矩不为零C 错 静矩为零，惯性矩不为零D 错 静矩为零，惯性矩不为零5 直径为 D 的圆对其形心轴的惯性半径i=（B）。（A）D/2（B）D/4（C）D/6（D）D/8选项对与错原因A 错 计算错误B 对C 错 计算错误D错计算错误6 若

3、截面有一个对称轴，则下列说法中，（D）是错误的。A截面对对称轴的静矩为零。B对称轴两侧的两部分截面，对对称轴的惯性矩相等。C截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积一定为零。D截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积不一定为零（这要取决坐标原点是否位于截面形心）。选项对与错原因A 错 由静矩的定义可知B 错 由惯性矩的定义可知C 错 由惯性矩的定义可知D 对7 任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴一定是该图形的(B)。（ A）形心轴B）主惯性轴（ C）形心主惯性轴（D）对称轴选 项对与错原 因任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，A错则这一对坐标轴一定是该图形的主惯性轴B对

4、任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，C 错则这一对坐标轴一定是该图形的主惯性轴D错任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴一定是该图形的主惯性轴8 在 yoz 正交坐标系中，设图形对 y, z 轴的惯性矩分别为 Iy 和 I z ，则图形对坐标原点的极惯性矩（B）。（ A） I p=0（B） Ip = Iy + I z（C）IPI y2I x2（D） I p2I y2I x2选 项对与错原 因A错由惯性矩和极惯性矩的定义可推导出B对C错由惯性矩和极惯性矩的定义可推导出D错由惯性矩和极惯性矩的定义可推导出9 静矩的国际单位是（D）。（ A） m 4。（B） m 。（ C

5、） m2 。（D） m3选项对与错原因A 错 静矩的国际单位是 m3B 错 静矩的国际单位是 m3C 错 静矩的国际单位是 m3D 对10 图示矩形截面 b×h 对 y 轴的惯性矩为（ B ）。题10图A.bh3/12B.hb3/3C.bh3/3D.hb3/12选项对与错原因A 错 计算错误B 对C 错 计算错误D 错 计算错误I-2 试求图示两平面图形形心C 的位置。图中尺寸单位为 mm。yy15010502001201050xx80(a)(b)题I-2图【解】 (a) (1) 将 T 形分成上、下二个矩形S 、S ，形心为 C、C ；1212y15050C200C2S2x50(2

6、) 在图示坐标系中， y 轴是图形对称轴，则有： xC =0(3) 二个矩形的面积和形心；S1501507500 mm2yC1225 mmS25020010000 mm2yC 2100 mm(4) T 形的形心；xC 0yCSi yi7500 22510000100Si750010000153.6 mm(b) (1) 将 L 形分成左、右二个矩形 S1、S2，形心为 C1、C2；y10120S1C1CS2C210x80(3) 二个矩形的面积和形心；S1101201200 mm2xC1 5 mmyC 160 mmS27010700 mm2xC245 mmyC25 mm(4) L 形的形心；xCS

7、ixi12005 7004519.74 mmSi1200700yCSiyi120060700539.74 mmSi1200700I-3 试求图示平面图形形心位置。尺寸单位为mm。yy16040CxC60O20x2001003010030(b)题I-3图【解】 (a) (1) 将图形看成大圆S1 减去小圆 S2，形心为 C1 和 C2；y160S1C1C2S2xCO200100(2) 在图示坐标系中， x 轴是图形对称轴，则有： yC =0(3) 二个图形的面积和形心；S1200240000 mm2xC 10S28026400 mm2xC2100 mm(4) 图形的形心；xCSi xi64001

8、00Si4000019.05 mm6400yC0(b) (1) 将图形看成大矩形S1 减去小矩形 S2，形心为 C1 和 C2；yS140S2C C160C220x3010030(2) 在图示坐标系中， y 轴是图形对称轴，则有： xC =0(3) 二个图形的面积和形心；S116012019200 mm2yC160S2100606000 mm2yC 250 mm(4) 图形的形心；xC0yCSi yi19200 60600050Si19200600064.55 mmI-4 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静矩。题I-4图【解】（a） SxA yc(4020)(20 10) 24000(mm

9、3 )（ b） SxAyc(2065)6542250(mm3 )2（ c） SxAyc(10020)(150 10) 280000(mm3 )（ d） SxAyc(10040)(15020) 520000(mm3 )I-5 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。题I-5图【解】用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如题I-4 图所示。dA( xd)dx ；微分面积的纵坐标： yx sin；微分面积对 x 轴的静矩为：dSxdAy( xd dx)yxddxx sinx 2 sindxd半圆对 x 轴的静矩为：R333Sx x 0R 0R2Rx2 dxsin dcos(co

10、scos0)00333因为 SxAyc ，所以 2R31R 2ycyc4R323I-6图（ a）所示直径为 d200mm的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为20mm的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x 的惯性矩。（ a）(b)题I-6图【解】圆的方程为：x2y 2r 2如图（ b），作两条平行 x 轴的、相距为 dy 线段，截圆构成微分面积，微分面积为：dA2 r 2y 2 dy切去 2之后，剩下部分对x 轴的惯性矩为：r sin2 r 2y 2 dyI x2 yr sin2y (2y 2r 2 ) r 2y 2r 4arcsin y88rr sinr sinr 4(1)2sin

11、44r 4(4sin 4)8x12(10020) 21002x 236001x160(mm)tan100204603arctan 453.1300.927(rad )3I x1004(40.927sin 212.520 ) 3.963 10 7 (mm4 )8I-7 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。题I-7图【解】正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为z ，竖坐标轴为 y ）。0z222aI zy 2dAdzay2 dyaz2 dy2202 dz2yaz2z2A2aa220z2 a2 dy2 az 2 a2 dy2 2dz2 y2 dz02 ya0022 30z22z2y3aay 3

12、a202 dz202 dz2a0202 a) 3 d( z2 a)2 a2 a)3 d ( z2 a) 2 ( z02 ( z32a222202 a24222( za)2(za)422343420a22a 4a 4=16163a 412故正方形对其的对角线的惯性矩为：Ia4z。12I-8 试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴x 的惯性矩。题I-8图【解】 (a) I x1D4(12 )13.14 1754 1 (150)4 21177368(mm4 )164164175(b) I x150210390150390449999(mm4 )1212I-9 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底

13、边 BC 的 x 轴的惯性矩。题I-9图【解】已知三角形截面对以BC 边为轴的惯性矩是 bh3，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴 x12的惯性矩0I x0( 1 bh)( h ) 2bh32312所以I x0bh3bh3bh3121836再次应用平行轴定理，得I x I x012h2bh38bh3bh 3( bh)()3636423I-10 图示由两个 20a 号槽钢组成的组合截面， 若欲使截面对两对称轴的惯性矩 I x 和 I y 相等，则两槽钢的间距 a 应为多少？题 I-10 图【解】 20a 号槽钢截面对其自身的形心轴x0、y0 的惯性矩是Ix0=1.78 ×107mm4，Iy0=1.28 ×106mm4；横截面积为 A0=2883mm2；槽钢背到其形心轴 y0 的距离是 x0 20.1m