数学高三一模试题及答案东城和西城

1、2012年北京市东城区高三数学一模试题（文科）第卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1、若，是虚数单位，且，则的值为（A） （B） （C） （D）2、若集合，则“”是“”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 3、若点在不等式组表示的平面区域内，则的最大值为 （A） （B） （C） （D）4、已知，若，成等差数列，则的值为 （A）（B）（C）（D）5、右图给出的是计算的值的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是 （A） （B） （C） （D） 6、已知，且，

2、则的值为 （A） （B） （C） （D）7、已知函数其中的图象如右图所示，则函数的图象大致为（A） （B） （C） （D）8、设集合，函数若，且， 则的取值范围是 （A）( （B） ( （C）() （D） 0，第卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9、已知一个四棱w ww.ks 5u.c om锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 . 10、命题“”的否定是 .11、 在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 ；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的一组是 组12、双曲线的离心率为 ；若抛物线的焦点恰好为该双曲线的右焦点，则

3、的值为 .13、已知中，于，则_14、已知数列，若中有且只有个不同的数字，则的不同取值共有 个三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15、（本小题共13分） 已知函数.（）求的最小正周期；（）若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的，当,时，求的最大值和最小值.16、（本小题共13分）某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”若小区内有至少的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区” 已知备选的5个居民

4、小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区.（）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；（）假定选择的“非低碳小区”为小区，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区是否达到“低碳小区”的标准？17、（本小题共14分） 如图，在边长为的正三角形中，分别为，上的点，且满足.将沿折起到的位置，使平面平面，连结，.（如图）（）若为中点，求证：平面；（）求证：. 图1 图2 18、（本小题共13分）已知是函数的一个极值点 （）求的值；（）当，时，证明：19、（本小题共13分） 已知椭圆过点，且离心率为.（）求椭圆的方程；

5、（）为椭圆的左、右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：恒为定值.20、(本小题共14分) 对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和,即,.（）设函数，求集合和；（）求证：；（）设函数，且，求证：.北京市东城区2011-2012学年第二学期综合练习（一）高三数学参考答案及评分标准 （文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、D 2、A 3、D 4、C 5、B 6、D 7、A 8、C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9、 10、 11、84 ， 乙12、 ， 13、

6、14、注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分三、解答题（本大题共6小题，共80分）15、（共13分）解：（）因为 , 6分所以函数的最小正周期为. 8分 （）依题意, . 10分 因为，所以. 11分 当，即时，取最大值；当，即时， 取最小值. 13分 16、（共13分） 解：（）设三个“非低碳小区”为，两个“低碳小区”为 2分用表示选定的两个小区，则从5个小区中任选两个小区,所有可能的结果有10个，它们是，, ,，. 5分用表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则中的结果有6个，它们是：，, ，,. 7分故所求概率为. 8分（II）由图1可知月碳排放量不超过

7、千克的成为“低碳族”. 10分由图2可知，三个月后的低碳族的比例为，12分所以三个月后小区达到了“低碳小区”标准. 13分17、（共14分）证明：（）取中点，连结 在中，分别为的中点， 所以，且 因为， 所以,且， 所以，且 所以四边形为平行四边形所以 5分 又因为平面，且平面， 所以平面 7分（） 取中点，连结.因为，所以，而，即是正三角形. 又因为, 所以. 所以在图2中有. 9分因为平面平面，平面平面，所以平面. 12分又平面，所以. 14分18、（共13分）（）解：，（2分）由已知得，解得4分 当时，在处取得极小值所以. 5分（）证明：由（）知，. 当时，在区间单调递减； 当时，在区间

8、单调递增. 8分所以在区间上，的最小值为，又，所以在区间上，的最大值为. 12分对于，有所以. 13分19、（共13分）（）解：由题意可知， 解得. 4分所以椭圆的方程为. 5分（）证明：由（）可知,，.设，依题意，于是直线的方程为，令，则.即. 7分又直线的方程为，令，则，即. 9分所以 ，11分又在上，所以,即，代入上式，得,所以为定值. 13分20、（共14分）（）解：由，得，解得； 1分 由，得，解得. 3分 所以集合，. 4分（）证明：若，则显然成立； 若,设为中任意一个元素，则有， 所以，故，所以. 8分（）证明：由，得方程无实数解，则.10分 当时，二次函数（即）的图象在轴的上方

9、，所以任意，恒成立，即对于任意，恒成立，对于实数，则有成立，所以对于任意，恒成立，则. 12分当时，二次函数（即）的图象在轴的下方，所以任意，恒成立，即对于任意，恒成立，对于实数，则有成立，所以对于任意，恒成立，则.综上，对于函数，当时，. 14分北京市西城区2012年高三一模试卷 数 学（文科） 2012.4第卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知集合，那么（ ）（A）（B）（C）（D）2执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）（A）（B）（C）（D）3若，则下列结论正确的是（ ）（A）（B）（C）

10、（D）4如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，则复数对应的点位于（ ）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限5已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）（A）（B）（C）（D）6若实数，满足条件 则的最大值为（ ）（A）（B）（C）（D）7设等比数列的前项和为则“”是“”的（ ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件8已知集合，其中，且.则中所有元素之和是（ ）（A）（B）（C）（D）第卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知向量，.若，则实数

11、_.10. 某年级名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间将测试结果分成组：，得到如图所示的频率分 布直方图如果从左到右的个小矩形的面积之比为，那么成绩在的学生人数是_11. 函数的最小正周期为_12. 圆的圆心到直线的距离是_. 13. 已知函数 则的零点是_；的值域是_14. 如图，已知抛物线及两点和，其中.过，分别作轴的垂线，交抛物线于，两点，直线与轴交于点，此时就称，确定了.依此类推，可由，确定，.记，.给出下列三个结论： 数列是递减数列； 对，； 若，则.其中，所有正确结论的序号是_ 三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分1

12、3分）在中，已知 （）求角； （）若，的面积是，求16.（本小题满分13分）某校高一年级开设研究性学习课程，（）班和（）班报名参加的人数分别是和现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从（）班抽取了名同学（）求研究性学习小组的人数；（）规划在研究性学习的中、后期各安排次交流活动，每次随机抽取小组中名同学发言求次发言的学生恰好来自不同班级的概率17（本小题满分14分）如图，矩形中，分别在线段和上，将矩形沿折起记折起后的矩形为，且平面平面（）求证：平面；（）若，求证：； （）求四面体体积的最大值 18.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，一个焦点为（）求椭圆的方程；（）设

13、直线交椭圆于，两点，若点，都在以点为圆心的圆上，求的值19.（本小题满分13分）如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上（点在第一象限），记，梯形面积为 （）求面积以为自变量的函数式；（）若，其中为常数，且，求的最大值20.（本小题满分13分）对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且.这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束 （）试问经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（）设，若，且的各项之和为（）求，；（）若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值，并说明理由北京市西

14、城区2012年高三一模试卷 数学（文科）参考答案及评分标准 2012.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C； 2. D ； 3. D； 4. B； 5. A； 6. B； 7. C； 8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. ； 10. ； 11. ； 12. ； 13. 和，； 14. . 注：13题第一问2分，第二问3分; 14题少选1个序号给2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分） （）解：由，得 3分所以原式化为 4分 因为，所以 ， 所以 6分 因为

15、， 所以 7分 （）解：由余弦定理，得 9分 因为 ， 所以 11分因为 ， 所以 . 13分 16.（本小题满分13分）（）解：设从（）班抽取的人数为，依题意得 ，所以，研究性学习小组的人数为 5分（）设研究性学习小组中（）班的人为，（）班的人为 次交流活动中，每次随机抽取名同学发言的基本事件为：，共种 9分 次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：，共种 12分 所以次发言的学生恰好来自不同班级的概率为 13分17.（本小题满分14分）（）证明：因为四边形，都是矩形， 所以 ， 所以 四边形是平行四边形，2分 所以 ， 3分 因为 平面，所以 平面 4分（）证明：连接，设因为平面平面，且

16、， 所以 平面， 5分所以 6分 又 ， 所以四边形为正方形，所以 7分 所以 平面， 8分 所以 9分 （）解：设，则，其中由（）得平面，所以四面体的体积为 11分所以 13分当且仅当，即时，四面体的体积最大 14分18.（本小题满分14分）（）解：设椭圆的半焦距为，则 1分 由， 得 ， 从而 4分 所以，椭圆的方程为 5分（）解：设将直线的方程代入椭圆的方程，消去得 7分由，得，且 9分设线段的中点为，则，10分由点，都在以点为圆心的圆上，得， 11分即 ， 解得 ，符合题意 13分所以 14分19.（本小题满分13分）（）解：依题意，点的横坐标为，点的纵坐标为 1分点的横坐标满足方程，

17、解得，舍去 2分所以4分 由点在第一象限，得所以关于的函数式为 ， 5分（）解：由 及，得 6分记，则 8分 令，得 9分 若，即时，与的变化情况如下：极大值所以，当时，取得最大值，且最大值为 11分 若，即时，恒成立，所以，的最大值为 13分 综上，时，的最大值为；时，的最大值为20.（本小题满分13分）（）解：数列不能结束，各数列依次为；以下重复出现，所以不会出现所有项均为的情形 3分（）解：（）因为的各项之和为，且， 所以为的最大项， 所以最大，即，或 5分 当时，可得 由，得，即，故7分 当时，同理可得 ， 8分 （）方法一：由，则经过次“变换”得到的数列分别为：；由此可见，经过次“变换”后得到的数列也是形如“”的数列，与数列“结构”完全相同，但最大项减少12因为，所以，数列经过次“变换”后得到的数列为接下来经过“变换”后得到的数列分别为：；，从以上分析可知，以后重复出现，所