振动理论课后题部分汇总

1、第一章2-1 一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子高h，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。等效弹簧系数为k则 其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知=则 =设静平衡位置水平向右为正方向，则有所以固有频率qFsinaaFhmgqF2-2 一均质等直杆，长为 l，重量为W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。解：给杆一个微转角qqha2Fmg由动量矩定理：其中2-3 求

2、题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是和，悬臂梁的质量忽略不计。解：悬臂梁可看成刚度分别为k1和k3的弹簧，因此，k1与k2串联，设总刚度为k1。k1与k3并联，设总刚度为k2。k2与k4串联，设总刚度为k。即为，2-4求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中、和是三个轴段截面的极惯性矩，I是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G。解： （1） （2） （3） （4）2-4 如题2-5图所示，质量为的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。解：此系统是一个保守系统

3、，能量守恒系统的动能为：系统的势能为：总能量由于能量守恒消去得系统的运动方程为：系统的固有频率为：2-5 如题2-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为，求系统的固有频率。解：设曲臂顺时针方向转动的角为广义坐标，系统作简谐运动，其运动方程为。很小，系统的动能为所以，OmgjXOYOFKFC取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静平衡位置伸长为，由， （A）由题意可知，系统势能为（B）将（A）式代入（B）式，可得系统最大势能为，由， 得 所以，有2-6 一个有阻尼的弹簧-质量系统，质量为10 kg，弹簧静伸长是1cm，自由振动20个循环后，振幅从0.64 cm减至0.16cm，求阻尼系数c。解：振动

4、衰减曲线得包络方程为：振动20个循环后，振幅比为：代入,得：又 c = 6.9 N s /m，2-7 一长度为l、质量为m的均质刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题2-8图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和阻尼固有频率的表达式。解：图（1）为系统的静平衡位置，画受力图如（2）。由动量矩定理，列系统的运动微分方程为：当npn时，ccC2-8 如题2-9图所示的系统中，刚杆质量不计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及固有频率。解：2-9 如题2-10图所示，质量为2000 kg的重物以3 cm/s的速度匀速运动，与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。已知k =48020 N/m

5、，c =1960 Ns/m，问重物在碰撞后多少时间达到最大振幅?最大振幅是多少?解：以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动微分方程为所以有 +x =0其特征方程为：+r+=0 r =-0.494.875i所以：x =cos4.875t+sin4.875t由于n < pn，由已知条件，m/s。故通解为:其中，。（代入初始条件，当t=0时，x=0, =0当t=0时，=0,=0.006x=0.006sin4.875t=0.006(-0.49) sin4.875t+0.006当=0时，振幅最大，此时t=0.03s。当t=0.03s时，x=0.005m）代入初始条件，得，得物体达到最大振幅时，有既

6、得t = 0.30 s时，物体最大振幅为 cm2-10 由实验测得一个系统的阻尼固有频率为，在简谐激振力作用下出现最大位移值的激振频率为，求系统的无阻尼固有频率、相对阻尼系数及对数衰减率。解：， ， ；三个方程联立，解得：第二章2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s，相邻两振幅的比值，若质量块受激振力N的作用，求系统的稳态响应。解：由题意，可求出系统的运动微分方程为得到稳态解其中由 又有所以x1.103 cos(3t51°27¢)2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率rad/s时，系统发生共振；给质量块增加1 k

7、g的质量后重新试验，测得共振频率rad/s，试求系统原来的质量及弹簧刚度。解：设原系统的质量为m，弹簧常数为k由，共振时所以 又由 当与联立解出m20.69 kgk744.84 N/m2-3总质量为W的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度，转子重Q，重心偏离轴线e，梁重及阻尼可以不计，求转速为时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。解：列出平衡方程可得：所以：又因为即为所求的振幅2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力，弹簧支承端有运动，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。解：选时物块平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，如右图，则 即 即 （*）改成，下面也都一样利用复数求解 ， 用 代换si

8、nwt 并设方程（*）的解为这里求的是特解，也就是稳态解。 代入方程（*）得其中B为振幅，为响应与激励之间的相位差，有=。其中 2-5如题2-5图的弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力，求质量块的振幅。解：设弹簧1，2的伸长分别为x1和x2，则有， （A）由图（1）和图（2）的受力分析，得到 （B） （C）联立解得，所以，n = 0，得，2-6在题2-6图示的系统中，刚性杆AB的质量忽略不计，B端作用有激振力，写出系统运动微分方程，并求下列情况中质量m作上下振动的振幅值(1)系统发生共振；(2)等于固有频率的一半。解：图（1）为系统的静平衡位置，以q为系统的广义坐标，画受力如图（2）又

9、Iml2则mgqBP0sinwtAXAYAFCFK1）系统共振，即2）2-7写出题2-7图示系统的运动微分方程，并求系统固有频率、阻尼比及稳态响应振幅。解：以刚杆转角为广义坐标，由系统的动量矩定理即 令，得到2-8一机器质量为450kg，支承在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm。机器有一偏心重，产生偏心激振力N，其中是激励频率，g是重力加速度。求(1)在机器转速为1200 r/min时传入地基的力；(2)机器的振幅。解：设系统在平衡位置有位移，则即又有 则（1）所以机器的振幅为（2）且，（3）又有（4）将（1）（2）（4）代入（2）得机器的振幅=0.584 mm则传入地基的力为2-9一个粘性

10、阻尼系统在激振力作用下的强迫振动力为，已知N，B =5 cm ，rad/s，求最初1秒及1/4秒内，激振力作的功及。2-12无阻尼系统受题2-12图示的外力作用，已知，求系统响应。解：由图得激振力方程为当 0 < t < t1时，则有 由于，所以有当t1 < t < t2时，则有当 t < t2时，则有+ 02-13如题2-13图的系统，基础有阶跃加速度，初始条件为 ，求质量m的相对位移。解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为令，则有得到系统的激振力为，可得响应为其中，。2-16 零初始条件的无阻尼系统受题2-16图的外力作用，求系统响应。解：由图得激振力方程为当

11、0 < t < t1时，则有当t1 < t < t2时，则有当 t < t2时，则有 + 02-19无阻尼系统的支承运动加速度如题2-19图所示，求零初始条件下系统的相对位移。解：系统运动的微分方程为令，则由图得支承运动加速度方程为当 0 < t < t1时，则有当 t > t1时，则有2-20 求零初始条件的无阻尼系统对题2-20图所示支承运动的响应。解：系统运动的微分方程为由图得支承运动方程为当 0 < t < t1时，则有当 t < t1时，则有2-21 题2-21图为一车辆的力学模型，已知车的质量m、悬挂弹簧的弹簧常数k

12、及车的水平行驶速度v，道路前方有一隆起的曲形地面。(1) 求车通过曲形地面时的振动；(2) 求车通过曲形地面后的振动。解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为，由曲形地面，得到 得到系统的激振力为，。（1）车通过曲形地面时的振动为（2）车通过曲形地面后的振动车通过曲形地面后以初位移和初速度作自由振动，即，由公式，得到车通过曲形地面后的振动响应为其中，。或积分为第三章3-6 题3-6图所示两端简支的均匀梁，已知弯曲刚度为EI，单位长度的质量为m，分布载荷为F(y, t)。试用哈密顿原理求运动方程。解：若梁的挠曲函数为w(y, t)，则动能为 (a)应变（势能）为题3-6图 (b)外力功为 (c)将式

13、(a)、式(b)与式(c)代入变分式(d)得到(e)对式(e)进行分部积分运算，得到(f)由于，时，哈密顿原理要求dw = 0，因而式(f)变为(f)因为，t1与t2区间的虚位移dw不可能为零，由此，得到梁的边界条件(h)与运动方程(i)两端简支的梁，显然是满足边界条件式(h)的。3-7 应用拉格朗日方程导出题3-7图所示系统的运动微分方程。解：取各质量偏离其平衡位置的x1、x2、x3、x4为广义坐标。即(1)则系统的动能(2)系统的势能为(3)计算拉格朗日方程中的各项导数如下：将以上各项导数代入拉格朗日方程得(4)写成矩阵形式(5)其中 质量矩阵 刚度矩阵 位移列阵3-10 题3-10图是一

14、个带有附有质量和上的约束弹簧的双摆，采用质量的微小水平平动和为坐标，写出系统运动的作用力方程。解：利用刚度影响系数法求刚度矩阵。设，分别画出与的受力图，并施加二物块力，列平衡方程，对：，对：， ， 设，分别画出与的受力图，并施加二物块力，列平衡方程，对： ， ， 对： ， ， 由， 解得，得作用力方程为3-11 题3-11图为一刚性杆竖直支承于可移动的支座上，刚杆顶面和底面受水平弹簧的约束，质心C上受水平力和扭矩的作用。设刚杆长度、横截面积和质量密度分别为l、A及，以质心C的微小位移与为坐标，列出系统运动的作用力方程。解：设质心的水平位移与相对于质心的转角为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩

15、阵。设，画出受力图，并施加物体力与力偶，列平衡方程， 设，画出受力图，并施加物体力与力偶，列平衡方程， ， ， ，得作用力方程为3-12 题3-12图是两层楼建筑框架的示意图，假设梁是刚性的，框架中各根柱为棱柱形，下层弯曲刚度为，上层为，采用微小水平运动及为坐标，列出系统运动的位移方程。解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角时，其梁的等效刚度为，由此可将题3-12图等效为(a)图，其中， 广义坐标如图（a）示。利用刚度影响系数法求刚度矩阵。设，画出受力图，并施加物体力，列平衡方程，可得到， 同理可求得。最后求得刚度矩阵为=由刚度矩阵求逆得到柔度矩阵为得到系统的位移方程为也可由柔度影响系数法求柔

16、度矩阵。即，对图（a）中的施加单位力，而不受力，此时第一个弹簧变形为，第二个弹簧变形为零。由此可得位移为， ，同理求出，。最后得到柔度矩阵为A、B两点的受力分别为：系统运动的位移方程为：3-13 质量m1、m2以及长为l1、l2的无重刚杆构成的复合摆，如题3-13 (a)、(b) 图所示。假设摆在其铅垂平衡位置附近作微幅振动。试分别取j1、j2和x1，x2为广义坐标，求刚度矩阵。解：首先求对于广义坐标j1、j2的刚度矩阵。令j1 = 1、j2 = 0。如题3-13 (c) 图所示.此时是k11，k21分别代表施加于两个刚杆上的力矩，由静力平衡条件得(1)(2)由式(1)、(2)得(3)3-14

17、 在题3-14图所示系统中，刚杆AB不计质量，当质量M与m位于铅垂线上时为系统的平衡位置。试以x，q为广义坐标导出线性系统运动微分方程。解：令，则质量m的坐标为题3-14图质量m的速度为(1)系统动能为(2)将式(1)代入式(2)，并整理得(3)考虑到微幅振动，令cosq1，则将动能T写为的齐二次函数，有题4-1图第四章4-1 题4-1图所示的均匀刚性杆质量为，求系统的频率方程。解：设杆的转角和物块位移x为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵。设，画出受力图，并施加物体力偶与力，由平衡条件得到， 设，画出受力图，并施加物体力偶与力，由平衡条件得到， 得作用力方程为由频率方程，得题4-2图4-

18、2 题4-2图所示的系统中，两根长度为l的均匀刚性杆的质量为 及，求系统的刚度矩阵和柔度矩阵，并求出当和时系统的固有频率。解：如图取为广义坐标，分别画受力图。由动量矩定理得到，整理得到，则刚度矩阵和柔度矩阵分别得，系统的质量矩阵为由频率方程，并代入已知条件得，整理得到,求得，。解：做增广矩阵 =当 ， 时， ，其中 ， ， 题4-4图4-4 三个单摆用两个弹簧联结，如题4-4图所示。令及。试用微小的角、和为坐标，以作用力方程方法求系统的固有频率及主振型。解：如图选为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵。设，画出受力图，并施加物体于，由平衡条件得到， ，设，画出受力图，并施加物体，由平衡条件得

19、到， ，设，画出受力图，并施加物体，由平衡条件得到，则刚度矩阵和质量矩阵分别得，由频率方程，得展开为，解出频率为，。由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为4-6 如题4-6图所示，用三个弹簧连接的四个质量块可以沿水平方向平动，假设和，试用作用力方程计算系统的固有频率及主振型。题4-6图解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为，由频率方程，得因此可得到频率方程解出,， ， 解出频率为，。由特征矩阵,特征矩阵的伴随矩阵的第一列，将代入，即得 归一化 得将代入，得 归一化 得将代入，得 归一化 得将代入，得 归一化 得得系统的主振型矩阵为题4-7

20、图4-7 题4-7图表示一座带有刚性梁和弹性立柱的三层楼建筑。假设，。用微小的水平平动、和为坐标，用位移方程方法求出系统的固有频率和正则振型矩阵。解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角时，其梁的等效刚度为，由此可将题4-7图等效为(a)图，其中，广义坐标如图（a）示。利用柔度影响系数法求柔度矩阵。即，对图（a）中的施加单位力，其余不受力，此时第一个弹簧变形为，第二和第三个弹簧变形为零。由此可得个坐标位移为，同理求出其余各列。最后得到柔度矩阵为系统的质量矩阵为得到系统的位移方程为由系统的特征矩阵，得频率方程，即其中，展开频率方程为解出。解出固有频率为由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，分别代入特征值，

21、得到主振型为。主质量振型为正则振型的第i列为,由此得到正则振型振型为题4-8图4-8 在题4-8图所示的系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设，试求系统的固有频率及振型矩阵。解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为，由频率方程，得解出频率为 ，由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，将代入得系统的第一阶主振型为满足如下关系：，展开以上二式得，。取，可得到。即有满足如下关系：，展开以上二式得，联立得。取，可得到。即得主振型矩阵为4-9 试计算题4-4的系统对初始条件和的响应。解：在习题4-4中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为，主质量振型为正则振型的第i列为,由此得到正则振型

22、振型为初始条件为，= 0正则坐标的响应为，由，展开得到其中，。,。题4-16图4-16 题4-16图示的系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设在质量4m上作用有铅垂力，试求各个质量的强迫振动振幅；系统的共振频率。解：如图选择广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵为，系统的质量矩阵为，由频率方程，得解得，由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为主质量振型为正则振型的第i列为,由此得到正则振型振型为正则坐标表示的微分方程由题意，施加的作用力为将作用力变换到正则坐标：用正则坐标表示的位移矢量其中，（i = 1,2,3）。由，展开得到第五章5-1 用瑞利法求题4-5系统的

23、基频。解：由材料力学公式知：题4-5图柔度矩阵：质量矩阵：设振型为：所以基频为： 题4-7图5-2 用瑞利法求题4-7系统的基频。解：系统的质量矩阵和柔度矩阵为设=设则于是=题4-5图5-3 用里兹法求题4-5系统的第一、二阶固有频率。解；有已知条件得系统的质量矩阵和柔度矩阵分别为：设振型由得（把改成）将代入和=>解得：5-4 用邓克莱法求题4-5系统的基频。题4-5图解：按材料力学挠度公式，则有,由邓克莱公式得题4-7图5-5 用邓克莱法求题4-7系统的基频。解：由材料力学知，同理：由邓克莱法知：解之得：5-6 用矩阵迭代法计算题4-5系统的固有频率和主振型。题4-5图解：由材料力学的

24、知识得柔度矩阵为可得到动力矩阵：对初始假设矩阵进行迭代与之对应的第一阶主振型：下面是求第二阶主频率和主振型：经过6次迭代，下面是求第二阶主频率和主振型：经过1次迭代，题4-8图5-8 用矩阵迭代法计算题4-8系统的固有频率和主振型。解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为，可得动力矩阵D=设初始假设振型=进行迭代 经过一次迭代后 得=由于所以 即与之对应的第一阶主振型为又由于所以可得含清除矩阵的动力矩阵选取初始假设振型=第二次迭代 =由于所以 所以与之对应的第二阶主振型为=由于6m所以可得动力矩阵假设=第二次迭代由于所以所以所以第三阶振型为综上所得可以写出主振型固有频率

25、为， 第六章6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动(1) 常力F作用于杆的中点，如题6-2(a) 图所示；(2) 常力F作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b) 图所示；(3) 两个大小相等、方向相反的常力F作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图6-2(c)所示。解：（1） 根据题意 ，时杆内的应变杆的初始条件为因为干两端固定，可解得固有频率及主振型为将主振型代入归一化条件，得得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应于是杆的自由振动（2） 根据题意 ，时杆内的应变杆的初始条件为因为干两端固定，可解得固有频率及主振型为将主振型代

26、入归一化条件，得得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应于是杆的自由振动（3） 根据题意 ，时杆内的应变杆的初始条件为因为干两端固定，可解得固有频率及主振型为将主振型代入归一化条件，得得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应于是杆的自由振动题6-3图6-3 如题6-3图所示，一端固定一端自由的等直杆受到均匀分布力的作用，求分布力突然移去时杆的响应。解：t-=0时的应变为杆的初始条件为一端自由一端固定，可知杆的因有频率和主振型为将主振型代入上式归一化为以正则坐标表示初始条件为以正则坐标表示对初始条件的响应为于是杆的自由振动为杆左端固定端，右端为自由端边界条件得固有频率，主振型 i=1,2,杆在x处的应变初始条件由得再利用三角函数正交性得6-4 假定一轴向常力