第五章--弯曲变形--20141218

1、第五章第五章梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移51 梁的位移梁的位移挠度及转角挠度及转角ABxy 挠度：挠度：梁的横截梁的横截面形心在垂直于面形心在垂直于 x 轴方向的线位移轴方向的线位移 。转角：转角：横横截截面对其原来位置的角位移面对其原来位置的角位移 。与与 y 轴同向为正，反之为负。轴同向为正，反之为负。顺时针转为正，逆时针转为负。顺时针转为正，逆时针转为负。挠曲线方程：挠曲线方程：梁变形后的轴线可表达为梁变形后的轴线可表达为 ，称为挠曲线方程。，称为挠曲线方程。( )f xtg( )fx转角方程：转角方程：横截面的转角横截面的转角 ，称为转角方程。，称为转角方程。 52 梁的挠曲线近似微分

2、方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分一一、挠曲线近似微分方程、挠曲线近似微分方程平面曲线的曲率与曲线方程导数间的关系有：平面曲线的曲率与曲线方程导数间的关系有：3221( )( )(1)xx yxMM00M 00M yxMM( ) ( )zM xxEI 322( )( )(1)zxM xEI 故故挠曲线近似挠曲线近似微分方微分方程程( )( )EIxM x 对等直截面梁，对等直截面梁，EI为常数，则有为常数，则有由于剪力对梁位移的影响很小，可忽略不计。由于剪力对梁位移的影响很小，可忽略不计。 只考虑弯矩的影响，则只考虑弯矩的影响，则1( )( )( )zM xxxEI( )zM xEI二

3、、挠曲线近似微分方程的定解条件二、挠曲线近似微分方程的定解条件1. 约束条件约束条件此类梁全梁的弯矩可以用单一的弯矩方程表示，挠曲线近似微分方程只有一个此类梁全梁的弯矩可以用单一的弯矩方程表示，挠曲线近似微分方程只有一个( )EIM x 1( )EIM x dxC 12( )EIM x dx dxC xC 积分一次：积分一次：再积分一次：再积分一次：挠曲线微分方程：挠曲线微分方程：积分常数积分常数 和和 可通过约束处的位移特性确定。可通过约束处的位移特性确定。1C2CFAqAeMABqBA例例1 图示等截面悬臂梁，弯曲刚度为EI。试求该梁的挠曲线方程和转角方程， 并确定其最大挠度 和最大转角

4、。maxmaxFAlB解：解： 写出弯矩方程写出弯矩方程( )()M xF xlx 写出挠曲线微分方程并积分：写出挠曲线微分方程并积分：( )EIM xFlFx 212FxEIFlxC 231226FlxFxEIC xC积分：积分：再积分：再积分： 根据约束条件求解积分常数：根据约束条件求解积分常数：0在在 处，处，0 x 2 0C0 在在 处，处，0 x 1 0C 将积分常数代入：将积分常数代入： 求解最大值：求解最大值：22FlxFxEIEI2326FlxFxEIEI222max22x lFlFlFlEIEIEI333max263x lFlFlFlEIEIEImax max例例2 图示等截

5、面简支梁，弯曲刚度为EI。试求该梁的挠曲线方程和转角方程， 并确定其最大挠度 和最大转角 。maxmaxAlB解：解： 写出弯矩方程写出弯矩方程2( )()2qM xlxxx 写出挠曲线微分方程并积分：写出挠曲线微分方程并积分：2( )()2qEIM xxlx 321()232q xlxEIC 4312()2 126q xlxEIC xC积分：积分：再积分：再积分：q 根据约束条件求解积分常数：根据约束条件求解积分常数：0在在 处，处，0 x 2 0C0在在 处，处，xl31 24qlC 将积分常数代入：将积分常数代入： 求解最大值：求解最大值：323(46)24qxlxlEI3max24AB

6、qlEI 4max25384lxqlEI323(2)24qxxlxlEImax A B2. 连续条件连续条件若全梁的弯矩方程需要分段表示，则各段的挠曲线近似微分方程也随之不同。若全梁的弯矩方程需要分段表示，则各段的挠曲线近似微分方程也随之不同。11( )EIMx 111( )EIMx dxC 1111( )EIMx dx dxC xD 积分：积分：再积分：再积分：挠曲线方程：挠曲线方程：每段近似微分方程的积分都会出现两个积分常数，必须增加连续性条件来确定。每段近似微分方程的积分都会出现两个积分常数，必须增加连续性条件来确定。A1F2FBCqBACDFABC22( )EIMx 222( )EIM

7、x dxC 2212( )EIMx dx dxD xD 10在在 处，处，0 x 10 在在 处，处，0 x qABCa12在在 处，处，xa12在在 处，处，xa图图1图图2图图3图图4以图以图2所示的梁为例：所示的梁为例：例例3 图示等截面简支梁，弯曲刚度为EI。试求该梁的挠曲线方程和转角方程， 并确定其最大挠度 和最大转角 。maxmaxAB解：解： 弯矩方程、挠曲线微分方程及其积分如下：弯矩方程、挠曲线微分方程及其积分如下：xFabl弯矩方程：弯矩方程：挠曲线挠曲线 微分方程：微分方程： 积分一次：积分一次：积分二次：积分二次：D梁段梁段I ( )I ( )0 xa梁段梁段II ( )

8、II ( )axl1( )bMxFxl(1) 1bEIFxl (2 ) 2112b xEIFCl (3) 31116b xEIFC xDl (4 ) 2( )()bMxFxF xal(1 ) 2()bEIFxF xal (2 ) 2222()22b xF xaEIFCl (3 ) 33222()66b xF xaEIFC xDl (4 ) 确定积分常数：确定积分常数：12在在 处，处，xa12 ，利用利用D点处的连续性条件：点处的连续性条件：梁段梁段I ( )I ( )0 xa梁段梁段II ( )II ( )axl积分一次：积分一次：2112b xEIFCl 2222()22b xF xaEI

9、FCl 积分二次：积分二次：31116b xEIFC xDl 33222()66b xF xaEIFC xDl (3) (4 ) (3 ) (4 ) 将式将式 、 和式和式 、 代入上述边界条件，可得：代入上述边界条件，可得：(3) (3 ) (4 ) (4 ) 12 CC，12 DD10在在 处，处， ，0 x 代入式代入式 ，(4 ) 1 0D20在在 处，处， ，xl代入式代入式 ，(4 ) 332() 066b lF laFC ll222 ()6FbClbl21 0DD221 ()6FbClbl 根据积分常数写出挠曲线方程和转角方程：根据积分常数写出挠曲线方程和转角方程：梁段梁段I (

10、 )I ( )0 xa梁段梁段II ( )II ( )axl转角方程：转角方程：222111()23FblbxlEI (5) 2222221()()23FblxaxlblEIb (5 ) 挠曲线方程：挠曲线方程：22216FblbxlEI (6 ) 33222()()6FblxaxlbxlEIb(6 ) 将将 和和 分别代入式分别代入式 和和 ，即得左、右两支座处截面的转角：，即得左、右两支座处截面的转角：(5) (5 ) 0 x xl22100()()66AxFb lbFab lblEIlEI2()6Blx lFab lalEI 当当 时，右支座截面处的转角绝对值最大，其值为：时，右支座截面

11、处的转角绝对值最大，其值为：abmax()6BFab lalEI 由此可知，最大挠度确在梁段由此可知，最大挠度确在梁段I I中。中。 确定梁的最大挠度：确定梁的最大挠度：梁段梁段I ( )I ( )0 xa梁段梁段II ( )II ( )axl挠曲线方程：挠曲线方程：22216FblbxlEI 33222()()6FblxaxlbxlEIb(6 ) (6 ) 221(2 )33lba abx122 3max1 ()9 3x xFblblEI梁的最大挠度在梁的最大挠度在 处。处。0先研究梁段先研究梁段I I，令，令 ，由式，由式 解得：解得：(6 ) 10 当当 时，由上式可见时，由上式可见 。

12、ab1xa(6 ) 将将 代入式代入式1x当当 时，即荷载非常靠近右端支座，时，即荷载非常靠近右端支座，22lb2lx 而此时跨中，即而此时跨中，即 处的挠度处的挠度220.062516CFblFblEIEI，两者相差小于，两者相差小于3% 。22max0.06429 3FblFblEIEI此时此时53 梁的刚度校核梁的刚度校核 提高梁的刚度的措施提高梁的刚度的措施一一、梁的刚度校核、梁的刚度校核对于梁的挠度，其许可值通常用许可的挠度和跨长的比值对于梁的挠度，其许可值通常用许可的挠度和跨长的比值 作为标准。作为标准。l或要求指定位置处的许可转角或要求指定位置处的许可转角 不超过许可值。不超过许

13、可值。 土建工程中，土建工程中， 通常限制在通常限制在 范围内。范围内。l112501000机械制造中，机械制造中， 通常限制在通常限制在 范围内。范围内。l11500010000传动轴在支座处的传动轴在支座处的 通常限制在通常限制在0.0050.001范围内。范围内。 maxll max4m1.82kN/mAB解：解： 画出弯矩图画出弯矩图例例4 已知如图松木桁条的许用应力 ，弹性模量 ， 桁条的许可相对挠度为 ，试求桁条横截面所需的直径。 7MPa10EGPax ( )M x+28ql查表可得：查表可得：1200lD 利用强度条件：利用强度条件： 利用刚度条件：利用刚度条件：maxmaxz

14、MW2311832qlD 1 0.155155Dmmm4max5384qlEI4max5384qlEIll33925384 10 1064qlD1200l2 0.158158Dmmm综上，该桁条横截面直径综上，该桁条横截面直径 。158Dmm二、提高梁的刚度的措施二、提高梁的刚度的措施由附录由附录IV（梁的位移表）可见，梁的位移（挠度和转角）除了与支座和荷载相关，（梁的位移表）可见，梁的位移（挠度和转角）除了与支座和荷载相关，还取决于以下三个因素，即还取决于以下三个因素，即（1）材料）材料 梁的位移与弹性模量梁的位移与弹性模量 E 成反比；成反比；（2） 截面截面 梁的位移与截面的惯性矩梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比；成反比；（3） 跨长跨长 梁的位移与跨长梁的位移与跨长 l 的的 n次幂成正比（次幂成正比（n = 1、2、3、4）；）；1. 增大梁的弯曲刚度增大梁的弯曲刚度 EI工程上常采用工字型、箱型等截面增大截面惯性矩工程上常采用工字型、箱型等截面增大截面惯性矩 I 。2. 调整跨长或改变结构调整跨长或改变结构qABAFBCqABeMeM54 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能eMl1MEIlVW2( )2MxdVdxEI2( ) 2lMxVdxEI对于纯弯梁：对于纯弯梁：对于