控制与接口技术-状态方程(1)ppt课件

1、研究生课程材料科学与工程学院控制与接口技术控制与接口技术主讲教师：叶春生中科技大学资料学院华中科技大学研究生课程22022-2-9控制与接口技术控制与接口技术第一章 绪论第二章 线性离散系统的分析与校正第三章 控制系统的形状空间分析与综合第四章 STM32处置器及其运用第五章 数控CNC系统及其插补原理第六章 数控机床的伺服驱动系统第七章 SIMULINK交互式仿真集成环境华中科技大学研究生课程32022-2-9内容提要内容提要 形状空间分析系统的优点形状空间分析系统的优点 建立形状方程的方法建立形状方程的方法华中科技大学研究生课程

2、42022-2-91、描画系统的方程具有一致的规范化的表达方式x(t)=Ax(t)+Bu(t)y (t)=Cx(t)+Du(t)2、从本质上讲，它是一种时域分析方法(一组一阶常微分方程组)，有成熟的解析解和数值解的方法可供运用。3、不仅提示了输入、输出之间(鼓励与呼应)的关系，而且还提示了系统内部各物理量(形状)的变化规律。4、该方法是一种一致的分析方法，既可以分析、处置离散系统，也可以分析、处置延续系统。形状空间分析系统的优点形状空间分析系统的优点华中科技大学研究生课程52022-2-9建立形状方程的方法建立形状方程的方法假设知描画系统的微分方程，可以经过变量代换的方法建立形状方程。例：知系

3、统的微分方程 DuCxyBuAxx 001 100432100010321321321321xxxyuxxxdtdxdtdxdtdxxxxuydtdydtyddtyd2342233uydtdydtyddtyd2342233 321yyyxxxx令uxxxdtdxxdtdxxdtdx32133221432 华中科技大学研究生课程62022-2-9ubdtdubdtudbyadtdyadtyd012220122逐次变换消去鼓励的导数项。令：x1= y - b2u y = x1 + b2u 2222122221 dtudbdtxddtyddtdubdtdxdtdyubabdtdubabxadtdxa

4、dtxdubdtdubdtudbubaxadtdubadtdxadtudbdtxd)()( 00021110112120122220102111222212华中科技大学研究生课程72022-2-9令：x2= dx1/dt (b1 - a1b2)udtdubabdtdxdtxdubabxdtdx)( )(211221221121 )()(211120021102ubabababxaxadtdx ubxxyubabababbabxxaadtdxdtdxxx 01 )()( 10221211120021121102121DuCxyBuAxx华中科技大学研究生课程82022-2-9串联方式系统传送函数

5、串联方式系统传送函数 321321321321312211100y 001422032001 42223xxxuxxxxxxxxxxxxxuxx41351212198102)(23sssssssssH1/s21/s231/s4x1x2x3uy串联串联方式方式华中科技大学研究生课程92022-2-9x11/s4/31/s23x2u1/s4x32/343/23213/4 12198102)(23ssssssssH 32132132132132211 100y 001422032001 3/223/43xxxuxxxxxxxxxxuxxuxx并联并联方式方式并联方式系统传送函数并联方式系统传送函数华

6、中科技大学研究生课程102022-2-9dbuexetxttaat)()0()(0)(当其变量是一个向量时当其变量是一个向量时xx(t)=Ax(t)+Bu(t)(t)=Ax(t)+Bu(t)deetttt)()0()(0)(BuxxAA当其变量是一个标量时 x(t)=ax(t)+bu(t)假设系统的初始条件为x(0)，其解为1/sCBA(1-e-Ts)/sD(z) r(t)e(k)u(k)u(t)x(t)y(t)？x(t)形状方程形状方程x x(t)=Ax(t)+Bu(t)(t)=Ax(t)+Bu(t)表示被控对象表示被控对象华中科技大学研究生课程112022-2-9pnjkpmjknmijn

7、mijnndttdqdttdtqtdttdpdttdtptdttdttdttdttdtdeeeeeeeedtdttttttedtdnttte)()( )()( )()( )()( )()()()()()( )! 2( )! 2(! 2! 2ttttttt2222232t22tQQPPPPQPQPIIAAAAAIAAIAAAAAAAIAAAA0AAAAA构造函数构造函数 eAt x(t)，对其两端求导：，对其两端求导：)()( )()()(ttttttetxetetdtdetedtdxAxxxAAAAA几个重要的矩阵公式几个重要的矩阵公式华中科技大学研究生课程122022-2-9对式 x(t)=

8、Ax(t)+Bu(t) 两端左乘eAt eAt x(t)= eAt Ax(t)+ eAt Bu(t)eAt x(t) eAt Ax(t)eAt Bu(t)左端恰为 deAt Ax(t)/dteAt Bu(t)对上式两端积分，有系统的时域解系统的时域解deetdetetttttt)()0()( )()(0)(00BuxxBuxAAAA华中科技大学研究生课程132022-2-9形状方程的频域求解x(t)=Ax(t)+Bu(t) 一组微分方程的矩阵描画！两端进展拉普拉斯变换，其矩阵描画为：sX(s)-x(0)=AX(s)+BU(s)X(s)=(sI-A)-1x(0)+BU(s) =(s)x(0)+B

9、U(s)假设系统初始形状假设系统初始形状为为0， |(s)|是各形是各形状传送函数的特征状传送函数的特征多项式。多项式。系统的频域解系统的频域解华中科技大学研究生课程142022-2-9有 X(s)=(s)x(t0)+(s)BU(s) x(t)=L1(s)x(0)+ L1(s)BU(s)与时域解比较有结论：系统的时域解与频域解的比较系统的时域解与频域解的比较deetttt)()0()(0)(BuxxAA形状转移矩阵形状转移矩阵eAt= L1(s)= L1 (sI-A)-1华中科技大学研究生课程152022-2-9deekTkTkTkT)()0()(0)(BuxxAA假设对形状函数进展采假设对形

10、状函数进展采样样deekTekTTkTkT)()0()(0)1()1(BuxxAAAdeeTkTkTkTk)()0() 1()1(0)1()1(BuxxAA两边乘两边乘eAT eAT tkT t(k+1)T 形状函数采样形状函数采样华中科技大学研究生课程162022-2-9两式相减dkekTeTkTkkTTkT)()()1()1()1(BuxxAA令=(k+1)T-，d=ddTTedkeTTkkTTk/ )()()1()1(BuBuAA积分的上下限正好是一个采样周期。假设被控对象前有一零阶坚持器：u(t)=u(k) kTt(k+1)T那么在采样周期内调理器的输出u(t)(被控对象的输入)不发生

11、变化，为一常数。(积分上下限交换抵消负号)华中科技大学研究生课程172022-2-9dkekTeTkTT)()()1(0BuxxAAdteeTt0T BGFAA令dtee kkkkkTt0T )()()()() 1(BGFCxyGuFxxAA其中对零阶坚持器和被控对象离散化后的形状方程为：其中： x(kT)n维； u(kT)m维； y(k)p维； Fnn维； Gnm维； Cpn维；华中科技大学研究生课程182022-2-9 在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关怀。那就是参与适当的控制造用后，能否在有限时间内将系统从任一初始形状控制转移到希望的形状上，以经过对系统输出在一段时间内的观测，能

12、否判别识别系统的初始形状。这便是控制系统的能控性与能观性问题。控制系统的能控性及能观性是现代实际中很重要的两个概念。在多变量最优控制系统中，能控性及能观性是最优控制问题解的存在性问题中最重要的问题，假设所研讨的系统是不可控的，那么最优控制问题的解是不存在的。系统的可控性和可观性系统的可控性和可观性华中科技大学研究生课程192022-2-9可控性定义：当系统用形状方程描画时，给定系统的恣意初始形状，可以找到允许的输入量，在有限的时间内使系统的一切形状到达任一终止形状，那么称系统是完全可控的。有形状方程x(t)=Ax(t)+Bu(t) 其解为：系统的可控性系统的可控性deetttt)()0()(0

13、)(BuxxAA假设有限的时间内0 t a=-1 0；1 0； b=expm(a) matlab语句语句368.0632.0)s(101-10dtLdteTtBAIBGA设设T T1 1ssssLssssssssLssLL10) 1(111) 1(10) 1(1) 1(101)s(11111 -1AI逆矩阵伴随阵逆矩阵伴随阵/矩阵行列式矩阵行列式华中科技大学研究生课程302022-2-9)()()(10)(y221kxkxkxk设系统输入为单位阶跃函数r(t)，控制变量为u(k)，系统初始条件为：x1(0)=x2(0)=0 )0(368. 0) 1 () 1 ( )0(368. 0) 1 (

14、)0(632. 0) 1 ()0()0( )0(368. 0632. 0)0(368. 0632. 0)0()0(1632. 00368. 0) 1 () 1 (22122121uxyuxuxxyuuxxxx假设假设u(0)u(0)1/0.3681/0.368，那么一拍到达目的。设调理，那么一拍到达目的。设调理器输出器输出u(0)u(0)1/0.3681/0.368华中科技大学研究生课程312022-2-9最优控制最优控制 最优控制是控制系统设计的一种方法。它所研最优控制是控制系统设计的一种方法。它所研讨的中心问题是如何选择控制信号，才干保证控制讨的中心问题是如何选择控制信号，才干保证控制系统

15、的性能在某种意义下最优。本节内容为：系统的性能在某种意义下最优。本节内容为： 1. 引言引言 2. 用变分法求解最优控制问题用变分法求解最优控制问题 3. 极小值原理及其在快速控制中的运用极小值原理及其在快速控制中的运用 4. 用动态规划法求解最优控制问题用动态规划法求解最优控制问题 5. 线性形状调理器线性形状调理器 6. 线性伺服机问题线性伺服机问题华中科技大学研究生课程322022-2-91 1 引言引言什么是最优控制？以下经过直流他励电机的控制问题来阐明什么是最优控制？以下经过直流他励电机的控制问题来阐明问题问题1电动机的运动方程为电动机的运动方程为tJTIKDFDmdd1其中，其中，

16、 为转矩系数；为转矩系数； 为转动惯量；为转动惯量； 为恒定的负载转矩；为恒定的负载转矩；mKDJFT希望：在时间区间希望：在时间区间0，tf内，电动机从静止起动，转过一定角度内，电动机从静止起动，转过一定角度后停顿，使电枢电阻后停顿，使电枢电阻 上的损耗上的损耗 最小，求最小，求DRttIREDtDfd)(20)(tIDDI由于由于 是时间的函数，是时间的函数，E 又是又是 的函数，的函数，E 是函数的函数，称为是函数的函数，称为泛函。泛函。DIconstttftd)(02华中科技大学研究生课程332022-2-9采用形状方程表示，令采用形状方程表示，令1x12xxDFDDmJTIJKx2于

17、是于是FDDDmTJIJKxxxx100001021213初始形状初始形状00)0()0(21xx末值形状末值形状0)()(21fftxtxDI控制控制 不受限制不受限制性能目的性能目的ttIREDtDfd)(204)(tID本问题的最优控制问题是：在数学模型本问题的最优控制问题是：在数学模型3的约束下，寻求一个的约束下，寻求一个控制控制 ，使电动机从初始形状转移到末值形状，性能目的，使电动机从初始形状转移到末值形状，性能目的E 为为最小。最小。华中科技大学研究生课程342022-2-9问题问题2对于问题对于问题1中的直流他励电动机，假设电动机从初始中的直流他励电动机，假设电动机从初始)(tI

18、D时辰时辰 的静止形状转过一个角度的静止形状转过一个角度 又停下，求控制又停下，求控制 是是遭到限制的，使得所需时间最短。遭到限制的，使得所需时间最短。00t)(tID这也是一个最优控制问题：这也是一个最优控制问题：系统方程为系统方程为FDDDmTJIJKxxxx10000102121初始形状初始形状00)0()0(21xx末值形状末值形状0)()(21fftxtx)(tIDmaxDI5性能目的性能目的ftttJf0d6)0(x最优控制问题为：在形状方程的约束下，寻求最优控制最优控制问题为：在形状方程的约束下，寻求最优控制，将，将 转移到转移到 ，使，使J 为极小。为极小。maxDI)(tID

19、)(ftx华中科技大学研究生课程352022-2-9最优控制问题的普通性提法最优控制问题的普通性提法系统形状方程为系统形状方程为),(tux,fx 初始形状为初始形状为)(0tx其中，其中，x 为为n 维形状向量；维形状向量； u 为为r 维控制向量；维控制向量； f 为为n 维向量函维向量函数，它是数，它是 x 、u 和和t 的延续函数，并且对的延续函数，并且对x 、t 延续可微。延续可微。最优。其中最优。其中 是是 x 、u 和和t 的延续函数的延续函数),(tuxL)(ftxrRu 寻求在寻求在 上的最优控制上的最优控制 或或 ，以将系统形，以将系统形状从状从 转移到转移到 或或 的一个

20、集合，并使性能目的的一个集合，并使性能目的,0fttrRU u)(0tx)(ftxttttJfttffd),(),(0uxLx最优控制问题就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题。最优控制问题就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题。华中科技大学研究生课程362022-2-9补充：泛函与变分法补充：泛函与变分法一、泛函与变分一、泛函与变分1、泛函的根本定义：、泛函的根本定义：)(tx假设对于某个函数集合假设对于某个函数集合 中的每一个函数中的每一个函数 ，变量，变量J 都有一个都有一个值与之对应，那么称变量值与之对应，那么称变量J 为依赖于函数为依赖于函数 的泛函，记作的泛函，记作)(tx

21、)(tx)(txJ可见，泛函为标量，可以了解为可见，泛函为标量，可以了解为“函数的函数函数的函数例如：例如：ttxxJd)(30其中，其中， 为在为在 上延续可积函数上延续可积函数)(tx3,0当当 时，有时，有 ；当；当 时，有时，有 。ttx)(5 . 4Jtetx)(13 eJ华中科技大学研究生课程372022-2-9泛函泛函 假设满足以下条件时，称为线性泛函：假设满足以下条件时，称为线性泛函：)(tJ x1 ，其中，其中c 为恣意常数；为恣意常数；2)()(tcJtcJxx)()()()(2121tJtJttJxxxx)()(0ttxx对于一个恣意小正数对于一个恣意小正数 ，总是可以找

22、到，总是可以找到 ，当，当 时，有时，有 就称泛函就称泛函 在在 处是延续的。处是延续的。)()(0ttxx)()(0tJtJxx)(tJ x2、泛函的变分、泛函的变分)(tx所谓泛函所谓泛函 的宗量的宗量 的变分是指两个函数间的差。的变分是指两个函数间的差。)(tJ x)()(0ttxxxnRtt)(),(0 xx定义：设定义：设 是线性赋泛空间是线性赋泛空间 上的延续泛函，其增量可表示为上的延续泛函，其增量可表示为xJnR,xxxxxxxxrLJJJ,xxr其中，其中， 是关于是关于 的线性延续泛函，的线性延续泛函， 是关于是关于 的高阶的高阶无穷小。那么无穷小。那么 称为泛函称为泛函 的

23、变分。的变分。,xxLxx,xxLJ xJ华中科技大学研究生课程382022-2-93、泛函变分的规那么、泛函变分的规那么12121)(LLLL2122121)(LLLLLL3ttLttLbabad,d,xxxx4xxddddtt泛函的变分等于泛函的变分等于0)(xtxJ华中科技大学研究生课程392022-2-90 xx 定理：设定理：设 是在线性赋泛空间是在线性赋泛空间 上某个开子集上某个开子集D 中定义的可中定义的可微泛函，且在微泛函，且在 处到达极值，那么泛函处到达极值，那么泛函 在在 处必有处必有xJxJnR0 xx 0,0 xxJ4、泛函的极值、泛函的极值0 xxJ设设 是在线性赋泛

24、空间是在线性赋泛空间 上某个子集上某个子集D 中的线性延续泛函，中的线性延续泛函， ，假设在，假设在 的某领域内的某领域内nRD0 xnRUxxxxx,),(00在在 时，均有时，均有DU),(0 xx0 xxxJJJ000 xxxJJJ00或或那么称那么称 在在 处到达极大值或极小值。处到达极大值或极小值。)(xJ0 xx 华中科技大学研究生课程402022-2-9欧拉方程：欧拉方程：fftxx)(ft定理：设有如下泛函极值问题：定理：设有如下泛函极值问题：其中，其中， 及及 在在 上延续可微，上延续可微， 和和 给定，给定，知知 ， ， ，那么极值轨线，那么极值轨线 满足如下欧满足如下欧拉

25、方程拉方程dttLJfttt0),(min)(xxxx),(tLxx )(tx,0ftt0t00)(xxtnRt )(x)(*tx0ddxxLtL及横截条件及横截条件0)()(00txLtxLtTftTfxx留意：满足欧拉方程是必要条件，不是充分条件。留意：满足欧拉方程是必要条件，不是充分条件。华中科技大学研究生课程412022-2-92 用变分法求解最优控制问题用变分法求解最优控制问题2.1 末值时辰固定、末值形状自在情况下的最优控制末值时辰固定、末值形状自在情况下的最优控制非线性时变系统形状方程为非线性时变系统形状方程为),(tux,fx 6初始形状初始形状)()(00ttttxx7其中，

26、其中，x 为为n 维形状向量；维形状向量； u 为为r 维控制向量；维控制向量； f 为为n 维向量函数。维向量函数。要求在控制空间中寻求一个最优控制向量要求在控制空间中寻求一个最优控制向量 ，使以下性能目的，使以下性能目的)(tutttJfttfd),()(0uxLx8沿最优轨线沿最优轨线 取极小值。取极小值。)(tx性能目的如性能目的如8式所示的最优控制问题，是变分法中的波尔扎式所示的最优控制问题，是变分法中的波尔扎问题问题华中科技大学研究生课程422022-2-9引入拉格朗日乘子引入拉格朗日乘子)()()()(21ttttn9将性能目的将性能目的8式改写为其等价方式式改写为其等价方式tt

27、tttJTttffd),()(),()(0 xuxfuxLx),()(),(),(ttttHTuxfuxLux定义哈密顿函数定义哈密顿函数10那么那么tttHtJTttffd)(),()(0 xuxxttttHtTttttfffd)(d),()(00 xuxx11由6式可知为零 xux,f),(t华中科技大学研究生课程432022-2-912对对11式中的第三项进展分部积分，得式中的第三项进展分部积分，得tttttHtJTttttTttffffd)()(d),()(000 xxuxx当泛函当泛函J 取极值时，其一次变分等于零。取极值时，其一次变分等于零。 即即0J可以变分的量：可以变分的量：u

28、uu)()(ttxxx)()(tt)()()(ffftttxxx不可以变分的量：不可以变分的量：0tft)(0tx)(t求出求出J 的一次变分并令其为零的一次变分并令其为零0d)()()()(0tHHttttJTTTttffTfTffxuuxxxxx华中科技大学研究生课程442022-2-9将上式改写成将上式改写成0d)()()(0tHHtttJTTttfTfffuuxxxx13)(ftx)(t由于由于 未加限制，可以选择未加限制，可以选择 使上式中使上式中 和和 的系数的系数等于零。于是有等于零。于是有)(txxH151416)()(ffttx0d0tHJTttfuu由于由于 是恣意的变分，

29、根据变分法中的辅助引理，由是恣意的变分，根据变分法中的辅助引理，由16式得式得u0uH1714式称为伴随方程，式称为伴随方程， 为伴随变量，为伴随变量，17式为控制方程。式为控制方程。)(t华中科技大学研究生课程452022-2-9几点阐明：几点阐明：1实践上，实践上，14式和式和17式就是欧拉方程。式就是欧拉方程。xfxLxH18由于由于0uH0ufuL19假设令假设令),()(),(),(xuxfuxLuxttttHT简记成简记成xfLTH20 xfxL由欧拉方程得到由欧拉方程得到0ddxxHtH0)(xfxL即即21华中科技大学研究生课程462022-2-9可见可见21式和式和18式一样

30、，式一样，22式和式和19式一样。因此，式一样。因此，14式和式和17就是欧拉方程，而就是欧拉方程，而7式和式和15就是横截条就是横截条件。件。0dduuHtH0ufuL222 是泛函取极值的必要条件能否为极小值还需求二次变分是泛函取极值的必要条件能否为极小值还需求二次变分 来判别，来判别， 那么泛函那么泛函J 取极小值。取极小值。0JJ202J华中科技大学研究生课程472022-2-93 哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化率哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化率tHHHHtHTTTuuxxdd在最优控制在最优控制 、最优轨线、最优轨线 下，有下，有 和和*u*x0uH10式的哈密顿函数对 求偏导，

31、结果为 xux,f),(t 由14式可得0 xxxxHHHHHHTTTT 由于减号两边是相等标量行向量与列向量相乘 2324这两个等于零的式子代入这两个等于零的式子代入23式，于是式，于是tHtHdd华中科技大学研究生课程482022-2-9 即哈密顿函数即哈密顿函数H 沿最优轨线对时间的全导数等于它对时间的偏沿最优轨线对时间的全导数等于它对时间的偏导数。记为导数。记为 那么那么)(),(*tHtHuxttHHdd25对上式积分，得到对上式积分，得到dHtHtHfttf*0*0)()(26当哈密顿函数不显含当哈密顿函数不显含 t 时，由时，由25式得式得consttHtHf)()(*华中科技大

32、学研究生课程492022-2-9初始条件初始条件例例6-1 系统形状方程为系统形状方程为ux )(0tx性能目的性能目的tutcxJfttfd21)(212200c试求最优控制试求最优控制 ，使，使J 取极小值。取极小值。*u解解 哈密顿函数哈密顿函数uutuxH221),(由伴随方程由伴随方程0 xHconst)()()(fftcxtt)()(21)()(2fffftcxtcxtxt由于由于const华中科技大学研究生课程502022-2-9由控制方程由控制方程0uuH即即)()(*ftcxtu将将 代入形状方程代入形状方程*u)(ftcxux解为解为10)()(ctttcxtxf当当 时，

33、代入上式，求得时，代入上式，求得 ，所以，所以0tt )(01txc )()()(00txtttcxtxf当当 时，时，ftt )(1)()(00tttxtxff)(1)(21d21)(2100222*0ttctcxtutcxJfttff最优性能目的为最优性能目的为华中科技大学研究生课程512022-2-92.2 末值时辰固定，末端形状固定情况下的最优控制末值时辰固定，末端形状固定情况下的最优控制非线性时变系统形状方程为非线性时变系统形状方程为),(tux,fx 27初始形状初始形状)()(00ttttxx28末值形状末值形状)()(fttttfxx29性能目的性能目的ttLJfttd),(0

34、ux30)(ftx寻求最优控制寻求最优控制 ，在，在 内，将系统从内，将系统从 转移到转移到 ，同时使性能目的同时使性能目的J 取极小值。取极小值。*u,0ftt)(0tx性能目的如性能目的如30式所示的最优控制问题，是变分法中的拉格朗式所示的最优控制问题，是变分法中的拉格朗日问题日问题华中科技大学研究生课程522022-2-9引入哈密顿函数引入哈密顿函数),()(),(),(ttttHTuxfuxLux)()()()(21ttttn其中其中ttHJTttfd),(0 xux于是于是由于由于xuxuxfuxuxL)(),(),()(),(),(ttHtttHtTT对上式右边第对上式右边第2项进

35、展分部积分，可以得到项进展分部积分，可以得到ttHttttJTttffTTfd),()()()()(000 xuxxx上式中可以变分的量：上式中可以变分的量：uuu)()(ttxxx)()(tt)(t不可以变分的量：不可以变分的量：0tft)(0tx)(ftx华中科技大学研究生课程532022-2-9令性能目的令性能目的J 的一次变分等于零，得的一次变分等于零，得0d0tHHJTTttfuuxx31选择选择 ，使其满足，使其满足)(txH32那么那么0d0tHJTttfuu33在末端形状固定情况下，在末端形状固定情况下， 不是恣意的。只需在系统能控的情况不是恣意的。只需在系统能控的情况下，才有

36、控制方程下，才有控制方程u0uH华中科技大学研究生课程542022-2-9例例2 问题问题1的系统形状方程为的系统形状方程为FDDDmTJIJKxxxx10000102121末值形状末值形状0)()(21fftxtx初始形状初始形状00)0()0(21xx性能目的性能目的ttIREJDtDfd)(201DR设设ttIEJDtfd)(20)(ftx最优控制问题就是在形状方程的约束下，寻求最优控制问题就是在形状方程的约束下，寻求 ，使，使 转转移到移到 ，并使，并使J 取极小值。取极小值。)(tID)0(x华中科技大学研究生课程552022-2-9解解 根据能控性判据知，该系统是能控的根据能控性判

37、据知，该系统是能控的200rankrankDmDmJKJKCQ1哈密顿函数为哈密顿函数为FDDDmTDTJIJKItH1000010),(2xux2由控制方程得到由控制方程得到00221DmDDJKIIH即即022DmDJKI221DmDJKI华中科技大学研究生课程562022-2-93由伴随方程由伴随方程 ，得到，得到xH01constc 11112c212ctc ， 为积分常数为积分常数1c2c)(2121ctcJKIDmD4由形状方程得由形状方程得21xx FDDmDmFDDDmTJcJKtcJKTJIJKx1212112221222322221222)121(41ctTJcJKtcJK

38、xFDDmDm43222223122112141121ctctTJtcJKtcJKxFDDmDm ， 为积分常数为积分常数3c4c华中科技大学研究生课程572022-2-9根据边境条件，确定积分常数，得根据边境条件，确定积分常数，得043 cc223124mDfKJtcFmDmDfTKJKJtc22222212代入代入 和和)()(2ttx)(tID6)(222ffttttxtttJTtJKtIfDFfDmD321261)(它们的曲线如下图它们的曲线如下图图中图中 ，实线是，实线是实际上的变化，虚线实际上的变化，虚线是实践的轨线。是实践的轨线。)(tID华中科技大学研究生课程582022-2-

39、92.3 末值时辰自在情况下的最优控制末值时辰自在情况下的最优控制非线性时变系统形状方程为非线性时变系统形状方程为),(tux,fx 初始形状初始形状)()(00ttttxx初始时辰初始时辰 固定，末值时辰固定，末值时辰 是自在的。是自在的。 自在，性能目的自在，性能目的0tft)(ftxttttJfttffd),(),(0uxLx34 寻求最优控制寻求最优控制 以及以及 ，使性能目的，使性能目的J 取极小值。为了求出取极小值。为了求出最优控制，引入哈密顿函数最优控制，引入哈密顿函数*u*ft),()(),(),(ttttHTuxfuxLux其中其中)()()()(21ttttn华中科技大学研

40、究生课程592022-2-9tttHttJTttfffd)(),(),(0 xuxx于是于是可以变分的量可以变分的量ftux)(ftx不能变分的量不能变分的量)(0tx0t)(tfttTTTTttfffTftHtHHttttJffd)()(0 xxuuxxxx),(tHux上式中上式中H 为为 的简化表示的简化表示对上式中对上式中 进展分部积分，进展分部积分， 成为成为tfttTd0 xJfttTttTTTttfffTtHtHHtttJfffd)(0 xxuuxxxx35华中科技大学研究生课程602022-2-9)(ftx该当留意，末值时辰该当留意，末值时辰 自在时，自在时， 不等于不等于 f

41、tfttxffttftttf)()(xxx或或ffftttttf)()(xxx上式代入上式代入35式式fffTTttfTffttHttHHtttJf)(d)()()(0uuxxxx华中科技大学研究生课程612022-2-9性能目的取极值时，必有性能目的取极值时，必有0J0)(d)()()(0fffTTttfTffttHttHHtttJfuuxxxx36选择选择 使其满足使其满足)(txH37)()(ffttx38由于由于 、 是恣意的，可得是恣意的，可得uft0uH39华中科技大学研究生课程622022-2-940ffttH)(41而而),(tHuxfx例例3 系统的形状方程为系统的形状方程为

42、ux 1)0(x0)(ftx性能目的性能目的tutJftfd022求最优控制求最优控制 和末值时辰和末值时辰 ，使性能目的泛函取极小值。，使性能目的泛函取极小值。)(*tuft解解经判别系统是能控的经判别系统是能控的1 构造哈密顿函数构造哈密顿函数uutx,uH2),(华中科技大学研究生课程632022-2-92由控制方程由控制方程 ，得，得0uH02*u或或21*u3由伴随方程由伴随方程0 xH1cconst 1*21cu4将将 代入形状方程代入形状方程*u121cx解为解为ftc212121ctcx2c其中，其中， 、 为积分常数，由为积分常数，由 ， 确定，得确定，得1c)0(x)(ft

43、x1)0(2 xc华中科技大学研究生课程642022-2-95由于由于 自在，自在， ，得到，得到ft0)(ffttHfffttutu2)()(202)()(2fffttutu或或解得解得3116c312ft31*2u1231*tx华中科技大学研究生课程652022-2-93 极小值原理及其在快速控制中的运用极小值原理及其在快速控制中的运用3.1 问题的提出问题的提出 用变分法求解最优控制时，认用变分法求解最优控制时，认为控制向量为控制向量 不受限制。但是不受限制。但是实践的系统，控制信号都是遭到实践的系统，控制信号都是遭到某种限制的。某种限制的。)(turRUt)(u 因此，运用控制方程因此

44、，运用控制方程来确定最优控制，能够出错。来确定最优控制，能够出错。0uHa)图中所示，图中所示，H 最小值出如今左最小值出如今左侧，不满足控制方程。侧，不满足控制方程。b)图中不存在图中不存在 0uH华中科技大学研究生课程662022-2-93.2 极小值原理极小值原理非线性定常系统的形状方程为非线性定常系统的形状方程为42),(uxfx ft初始时辰初始时辰 ，初始形状，初始形状 ，末值时辰，末值时辰 ，末端形状，末端形状 自在自在0t)(0tx)(ftxUu)(t43性能目的为末值型性能目的性能目的为末值型性能目的),(ffttJx44)(ftx要求在形状方程约束下，寻求最优控制要求在形状

45、方程约束下，寻求最优控制 及及 使系统从使系统从转移到转移到 ，并使，并使J 取极小值。取极小值。Uu *ft)(0tx华中科技大学研究生课程672022-2-9以下就是用极小值原了解前面的问题：以下就是用极小值原了解前面的问题： 设设 为允许控制，为允许控制， 为对应的形状轨线。为了使它们分别成为对应的形状轨线。为了使它们分别成为最优控制为最优控制 和最优轨线和最优轨线 ，存在一个向量函数，存在一个向量函数 ，使得，使得)(tu)(tx)(t*u)(t*x)(t*xH*45xH*46其中哈密顿函数：其中哈密顿函数：),(),(uxfuxTtH47)(*t4948 和和 满足边境条件满足边境条

46、件)()(0*0ttttxx)()(*ffttx)(*tx华中科技大学研究生课程682022-2-9那么哈密顿函数那么哈密顿函数H 相对最优控制取极小值，即相对最优控制取极小值，即50,min),(*tHtHuxuxUu或者或者),(*tHux,*tHux51consttHtHf)()(*在末值时辰在末值时辰 是自在的情况是自在的情况ft哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律：哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律：在末值时辰在末值时辰 是固定的情况是固定的情况ft52530)()(*ftHtH几点阐明：几点阐明：1极小值原理给出的只是最优控制应该满足的必要条件。极小值原理给出的只是最优控制应该满

47、足的必要条件。2极小值原理的结果与用变分法求解最优问题的结果相比，差别极小值原理的结果与用变分法求解最优问题的结果相比，差别仅在于极值条件。仅在于极值条件。4非线性时变系统也有极小值原理。非线性时变系统也有极小值原理。3这里给出了极小值原理，而在庞德里亚金著作论述的是极大值这里给出了极小值原理，而在庞德里亚金著作论述的是极大值原理。由于求性能目的原理。由于求性能目的J的极小值与求的极小值与求J的极大值等价。的极大值等价。华中科技大学研究生课程692022-2-93.3 二次积分模型的快速控制二次积分模型的快速控制在问题在问题2中，假设中，假设 ， ，令，令 。就是二次积。就是二次积分模型。分模

48、型。0FT1/DmJK)()(tutID其形状方程模型其形状方程模型ux 221xx 54u1155系统的初始形状为系统的初始形状为)0(1x)0(2x56末值形状为末值形状为0)(1ftx0)(2ftx57性能目的为性能目的为ftttJf0d58华中科技大学研究生课程702022-2-9)(ftx 要求在形状方程约束下，寻求满足要求在形状方程约束下，寻求满足55式的最优控制式的最优控制，使系统从，使系统从 转移到转移到 ，同时使，同时使J 取极小值。取极小值。)(*tu)0(x由于在这个最优控制问题中，控制信号由于在这个最优控制问题中，控制信号 受限制，因此用极小值受限制，因此用极小值原理来

49、求解。系统是能控的，其解存在且独一。原理来求解。系统是能控的，其解存在且独一。)(tu1哈密顿函数为哈密顿函数为uxtuxH221),(592根据极值条件根据极值条件50，来确定最优控制。，来确定最优控制。只能用分析的方法确定只能用分析的方法确定u(t)，使哈密顿函数取，使哈密顿函数取极小值。显然，在极小值。显然，在u的限制条件下，选择的限制条件下，选择u 使使H 获得极小。有获得极小。有0)(10)(122*ttu60或或)(sign2*tu61华中科技大学研究生课程712022-2-93伴随方程为伴随方程为011xH122xH假设假设 的初始值为的初始值为 ， ，那么，那么 )(t11)0

50、(d22)0(d11dtdd1226263 在在0， 内最多变号一次，最优控制函数有以下能够的内最多变号一次，最优控制函数有以下能够的4种情况种情况)(2tft华中科技大学研究生课程722022-2-94由形状方程可知，当由形状方程可知，当 时，求得时，求得1*utxtx)0()(22221121)0()0()(ttxxtx消去消去t 得得)(21)0(21)0()(222211txxxtx或写成或写成22221121)0(21)0(xxxx为了笼统地表示系统的运动形状，援用相平面方法，画出相轨迹如为了笼统地表示系统的运动形状，援用相平面方法，画出相轨迹如以下图所示。相轨迹为两族抛物线。以下图

51、所示。相轨迹为两族抛物线。华中科技大学研究生课程732022-2-9从从 到达到达 的相轨迹只需两条的相轨迹只需两条 、 。0)0(x0)(ftxrr1*u2212121),(xxxxr2x001*u2212121),(xxxxr2x00r将将 和和 合起来，合起来，r2212121,xxxxxrrr曲线曲线r 将相平面分成两个区域将相平面分成两个区域 和和RR2212121,xxxxxR2212121,xxxxxR华中科技大学研究生课程742022-2-9当初始形状当初始形状 位于位于 ： 为为 +1，1)0(xR*u最优轨线：当初始形状最优轨线：当初始形状 位于位于 ： 为为 1，+1)0

52、(xR*u0CBA0 ED曲线曲线r 常称为转移曲线或开关曲线。常称为转移曲线或开关曲线。开关曲线方程式为开关曲线方程式为021),(22121xxxxxh也称为开关函数。最优控制为也称为开关函数。最优控制为),(21xxh11)(*tu0),(21xxh当当 及及 ，0),(21xxh2x000),(21xxh当当 及及 ，0),(21xxh2x00最优控制系统的构造图，如以下图所示最优控制系统的构造图，如以下图所示华中科技大学研究生课程752022-2-95最优性能目的最优性能目的初始形状在初始形状在A点：点：COACfttt*)0(21)0()0(2212xxxtAC)0(21)0(22

53、1xxtCOCOACfttt*)0(2)0(4)0(2212xxx)()(*tItuD阐明：经过这个最优控制问题的求解发现，最优控制与问题阐明：经过这个最优控制问题的求解发现，最优控制与问题6-1不不同。在问题同。在问题6-1中，中， 为时间的三角函数。为时间的三角函数。 而在这里，而在这里， 为时间方波函数。缘由在于性能目的不同，因此为时间方波函数。缘由在于性能目的不同，因此 也也不同。因此，在说到最优控制问题时，一定要指明性能目的，即求不同。因此，在说到最优控制问题时，一定要指明性能目的，即求解在什么性能目的下的最优。解在什么性能目的下的最优。)()(*tItuD)(*tu华中科技大学研究

54、生课程762022-2-94 用动态规划法求解最优控制问题用动态规划法求解最优控制问题右图为某小城镇交通道路图。右图为某小城镇交通道路图。起点站为起点站为S，终点站为，终点站为F，) 1 (1x)2(1x)3(1x) 1 (2x)2(2x) 3(2x 站与站之间的里程标在图上，要求选择一条道路站与站之间的里程标在图上，要求选择一条道路走法，使里程最短。这是一个最优控制问题。走法，使里程最短。这是一个最优控制问题。一种方法是将从一种方法是将从S 到到F 一切能够走法都列出来，并且把每一切能够走法都列出来，并且把每种走法的里程标在各条道路上，找出最短的。种走法的里程标在各条道路上，找出最短的。4.

55、1 动态规划法的根本思想动态规划法的根本思想华中科技大学研究生课程772022-2-9华中科技大学研究生课程782022-2-9第二个方法：从最后一段开场，第二个方法：从最后一段开场，向前倒推。当倒推到某一站时，向前倒推。当倒推到某一站时，计算该站到终点站的总里程，计算该站到终点站的总里程，并选择里程最少的走法。并选择里程最少的走法。华中科技大学研究生课程792022-2-9从该例看出，这种解法有两个特点从该例看出，这种解法有两个特点: 第一，它把一个复杂的问题第一，它把一个复杂的问题即：决议一条道路的选择问题变成许多个简单的问题即：每即：决议一条道路的选择问题变成许多个简单的问题即：每次只决

56、议向上走次只决议向上走p还是向下走还是向下走q的问题，因此问题的求解的问题，因此问题的求解变得简单容易了。变得简单容易了。不变嵌入原理的含义是：为理处理一个特定的最优控制问题，而把不变嵌入原理的含义是：为理处理一个特定的最优控制问题，而把原问题嵌入到一系列类似的但易于求解的问题中去。对于一个多级原问题嵌入到一系列类似的但易于求解的问题中去。对于一个多级最优控制过程来说，就是把原来的多级最优控制问题代换成一系列最优控制过程来说，就是把原来的多级最优控制问题代换成一系列单级最优控制问题。单级最优控制问题。华中科技大学研究生课程802022-2-94.2 最优性原理最优性原理 最优性原理最优性原理在

57、一个多级决策问题中的最优决策具有这样的性在一个多级决策问题中的最优决策具有这样的性质，不论初始级质，不论初始级 、初始形状和初始决策是什么，当把其中任何一级、初始形状和初始决策是什么，当把其中任何一级和这一级的形状再作为初始级和初始形状时，余下的决策对此必定和这一级的形状再作为初始级和初始形状时，余下的决策对此必定构成一个最优决策。构成一个最优决策。将最优性原理运用到离散系统中去，系统形状方程为将最优性原理运用到离散系统中去，系统形状方程为)(),() 1(kkkuxfx初始形状为初始形状为)0()(0 xxkk性能目的为性能目的为)(),(0kkLJNkux要求确定要求确定 ，使性能目的最优

58、，即，使性能目的最优，即)(kuoptJ华中科技大学研究生课程812022-2-9)(ik u普通以为，第普通以为，第k 级决策级决策 与第与第k 级以及级以及k 以前各级形状以前各级形状 和和决策决策 有关有关)(ku)(ik x), 2 , 1(i),1(),(,),1(),()(kkkkkuuxxuu64以上函数称为战略函数以上函数称为战略函数)(),()1 (),1 ()0(),0(opt0),0()(,),1(),0(*NNLLLJNuuuuxuxuxx)(),()1 (),1 (opt)0(),0(opt)(,),2(),1()0(NNLLLNuuuuuxuxux假设记假设记)()

59、,()1 (),1 (opt 1),1 ()(,),2(),1(*NNLLJNuuuuxuxx那那么么1),1 ()0(),0(opt0),0(*)0(*xuxxJLJu对于恣意级对于恣意级k ， 有有1),1()(),(opt),(*)(*kkJkkLkkJkuxuxx65应该指出，最优性原理所一定的是余下的决策为最优决策。对以前应该指出，最优性原理所一定的是余下的决策为最优决策。对以前的决策没有明确的要求。的决策没有明确的要求。华中科技大学研究生课程822022-2-94.3 用动态规划法求解离散系统最优控制问题用动态规划法求解离散系统最优控制问题系统形状方程为系统形状方程为)(),()

60、1(kkkuxfx66)0()(0 xxkk67)(),(0kkLJNkux68要求在形状方程约束下，寻求要求在形状方程约束下，寻求 使使)(kuminJ1),1()(),(min),(*)(*kkJkkLkkJkuxuxx 可以受限制，也可以不受限制。可以受限制，也可以不受限制。)(ku华中科技大学研究生课程832022-2-9例例4 线性定常离散系统的形状方程为线性定常离散系统的形状方程为)()() 1(kukxkx初始形状为初始形状为 ，性能目的为，性能目的为)0(x)(21)(212102kuNcxJNk寻求最优控制序列寻求最优控制序列 ，使，使 为了简单起见，设为了简单起见，设 2N