第一节不等关系与不等式

1、第一节不等关系与不等式第一节不等关系与不等式第六章不等式、推理与证明第六章不等式、推理与证明 考考 纲纲 要要 求求了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组组)的实际背景的实际背景课课 前前 自自 修修知识梳理知识梳理一、不等式的概念一、不等式的概念在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号我们用数学符号“”，“”，“”，“”连接两个数连接两个数式或代数式以表示它们之间的不等的关系的式子，叫做不等式或代数式以表示它们之间的不等的关系的式子，叫做不等式式二、实数运算性质与大

2、小顺序关系二、实数运算性质与大小顺序关系1abab0；2.abab0；3.ababbbb，bcac.3定理定理3(同加性同加性)：ab，c为整式或实数为整式或实数acbc.4.定理定理3推论推论(叠加性叠加性)： acbd.5定理定理4(可乘性可乘性)： acbc； acbd.7定理定理4推论推论2(可乘方性可乘方性)：ab0anbn(nN*且且n1)8定理定理5(可开方性可开方性)：ab0 (nN*且且n1)四、不等式性质成立的条件四、不等式性质成立的条件例如，重要结论：例如，重要结论：ab，ab0 ，不能弱，不能弱化条件得化条件得ab .五、正确处理带等号的情况五、正确处理带等号的情况如由

3、如由ab，bc或或ab，bc均可得出均可得出ac；而由；而由ab，bc可能有可能有ac，也可能有，也可能有ac，当且仅当，当且仅当ab且且bc时，才时，才会有会有ac.注意：注意：不等式的性质从形式上可分两类：一类是不等式的性质从形式上可分两类：一类是“”型；另一类是型；另一类是“”型要注意二者的区别型要注意二者的区别1a1b1a1b基础自测基础自测1给出四个命题：给出四个命题：abac2bc2；bbc；ab banbn(n1，nN*)其中正确的个数是其中正确的个数是()A0 B1 C2 D31a1b解析：解析：当当c0时，时，ac2bc2；bbacbc；当当abbn不一定成立，如不一定成立，

4、如a1，b1，n2，此时显然有此时显然有anbn.故选故选B.答案：答案：B1a2(2012广东两校联考广东两校联考)若若0ab0，m0，n0，则，则 ， ， ， 由大到小的顺序是由大到小的顺序是_baabanbnbmam考考 点点 探探 究究考点一考点一不等式的性质的运用不等式的性质的运用【例【例1】已知已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：均为实数，有下列命题：若若ab0，bcad0，则，则 0；若若ab0， 0，则，则bcad0；若若bcad0， 0，则，则ab0.其中正确命题的个数是其中正确命题的个数是()A0B. 1C2D3cadbdbdbcaca变式探究变式探究1若若ab0，则，

5、则 ()Aab1 B. 1Clg(ab)0 D. b得得ab0，得不到，得不到ab1，故，故A错误；错误； 取取a3，b2，则，则 b0，则当，则当0ab1时，时，lg(ab)lg 10，故，故C错误；由指数函数性质错误；由指数函数性质知知D正确故选正确故选D.答案：答案：Dba23考点二考点二 用作差法比较两代数式用作差法比较两代数式( (实数实数) )的大小的大小【例【例2】已知已知aR，试比较，试比较 与与1a的大小的大小思路点拨：思路点拨：要判断要判断 与与1a的大小，只需研究的大小，只需研究它们差的符号它们差的符号自主解答：自主解答：11a11a点评点评： 实数的大小比较常常转化为对

6、它们差实数的大小比较常常转化为对它们差(简称作差简称作差法法)的符号的判定，当解析式里面含有字母时常需分类讨论，的符号的判定，当解析式里面含有字母时常需分类讨论，在分类讨论时，要做到不重复、不遗漏在分类讨论时，要做到不重复、不遗漏变式探究变式探究2设设xy”、“”或或“”)解析：解析：(法一法一)(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)(xy)x2y2(xy)22xy(xy)，xy0，xy(x2y2)(xy)故填故填“”(法二法二)xy0，xy0，xy0.(x2y2)(xy)0，(x2y2)(xy)0.0 (x2y2)(xy)答案：答案：考点三考点三求含条件的特定解析式的取值范围求含条件的特定

7、解析式的取值范围【例【例3】设设f(x)ax2bx,1f(1)2,2f(1)4，求，求f(2)的取值范围的取值范围解析：解析：(法一法一)设设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数为待定系数)，则则4a2bm(ab)n(ab)，即即4a2b(mn)a(nm)b，于是得于是得 解得解得 f(2)3f(1)f(1)又又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10.故故5f(2)10.变式探究变式探究考点四考点四现实生活中的不等关系的探究现实生活中的不等关系的探究【例【例4】某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案甲旅行社的

8、方案是：乙两家旅行社提供两种优惠方案甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠如果甲、乙两家旅行社的原价相同，请问该家庭选惠如果甲、乙两家旅行社的原价相同，请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算？择哪家旅行社外出旅游合算？解析：解析：设该家庭除户主外，还有设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总金额分别为旅行社收费总金额分别为y1和和y2.一张全票价格为一张全票价格为a元，元，那么那么y1a0.55a

9、x，y20.75(x1)a.y1y2a0.55ax0.75a(x1)0.2a(1.25x)当当x1.25时，时，y1y2；当；当x1.25时，时，y1y2.又又x为正整数，所以当为正整数，所以当x1，即两口之家应选择乙旅行，即两口之家应选择乙旅行社；社；当当x2(xN*)，即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅，即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社行社变式探究变式探究4(1)已知已知4枝郁金香和枝郁金香和5枝丁香的价格最多枝丁香的价格最多22元，而元，而6枝郁金香和枝郁金香和3枝丁香的价格不小于枝丁香的价格不小于24元，设每枝郁金香的价元，设每枝郁金香的价格为格为x元，每枝丁香的价格为元，每

10、枝丁香的价格为y元，则满足上述所有不等关系元，则满足上述所有不等关系的不等式组为的不等式组为_(2)某种杂志原以每本某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出元的价格销售，可以售出8万万本根据市场调查，若单价每提高本根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少元，销售量就相应减少2 000本若把提价后杂志的定价设为本若把提价后杂志的定价设为x元，用不等式表示销元，用不等式表示销售的总收入仍不低于售的总收入仍不低于20万元为万元为_解析：解析：(1)最多最多22元即小于等于元即小于等于22元；不小于元；不小于24元即元即大于等于大于等于24元，故可得不等元，故可得不等x20课时升华课时

11、升华1在学习不等式的性质时，要特别注意下面几点在学习不等式的性质时，要特别注意下面几点 (1)不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数实数a，b有有ab0ab，ab0ab，ab0ab，这是比较两数，这是比较两数(式式)大小的理论根据，也是学习不等大小的理论根据，也是学习不等式的基石式的基石(2)一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意在解题中灵活、准确地加以应用并注意在解题中灵活、准确地加以应用(3)不等式的传递性：若不等式的传递性：若ab，bc，则，则ac，这是，这是放缩法的依据，在运用传递

12、性时，要注意不等式的方放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明向，否则易产生这样的错误：为证明ac，选择中间，选择中间量量b，在证出，在证出ab，cb后，就误认为能得到后，就误认为能得到ac.(4)同向不等式可相加，但不能相减，即由同向不等式可相加，但不能相减，即由ab，cd，可以得出，可以得出acbd，但不能得出，但不能得出acbd.(5)不等式两边同时乘以一个数或式时，只有该数或式保证不等式两边同时乘以一个数或式时，只有该数或式保证为正，才能得到同向的不等式，否则不等式两边同时乘以该数为正，才能得到同向的不等式，否则不等式两边同时乘以该数或式后不能确定

13、不等式的方向；不等式两边同偶次乘方时，也或式后不能确定不等式的方向；不等式两边同偶次乘方时，也要特别注意不等式的两边必须是正的要特别注意不等式的两边必须是正的(6)对于含参数问题的大小比较要注意分类讨论对于含参数问题的大小比较要注意分类讨论总之，不等式的概念和性质是本章内容的基础，是证明不总之，不等式的概念和性质是本章内容的基础，是证明不等式和解不等式的主要依据，必须透彻理解，特别要注意同向等式和解不等式的主要依据，必须透彻理解，特别要注意同向不等式可相加，也可相乘，但相乘时，两个不等式都需大于不等式可相加，也可相乘，但相乘时，两个不等式都需大于零处理分式不等式时不要随便将不等式两边乘以含有字

14、母的零处理分式不等式时不要随便将不等式两边乘以含有字母的分式，如果需要去分母，一定要考虑所乘的代数式的正负分式，如果需要去分母，一定要考虑所乘的代数式的正负2在复习过程中，注意几个强化在复习过程中，注意几个强化(1)作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法，应作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法，应引起高度注意，要注意强化引起高度注意，要注意强化(2)加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算(3)通过复习要强化不等式通过复习要强化不等式“运算运算”的条件如的条件如ab，cd在什么条件下才能推出在什么条件下才能推出acbd.(4)强化函数的性质在比较大小中的重要作用，加强知识强化函数的性质在比较大小中的重要作用，加强知识间的联系间的联系.感感 悟悟 高高 考考品味高考品味高考1设设a，b为实数，则为实数，则“0ab1”是是“b ”的的()A充分不必要条件充分不必要条件B必要不充分条件必要不充分条件C充分必要条件充分必要条件D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件1a解析：解析： 当当0ab1，a0，b ，反过来，反过来b ，当，当a1，所以，所以“0ab1”是是“b ”的