尺规作图五点定椭圆的方法

1、尺规作图五点定椭圆的方法徐文平东南大学210096摘要：椭圆上五点，通过确定椭圆圆心、椭圆主轴方向和椭圆长轴短轴位置等三个步骤，尺规作图完成椭圆作图。椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色，在机械制图和土木工程领域中也有重要运用。利用几何画板和cad软件，依据任意五个点的椭圆尺规作图，具有重要意义。一、引言在几何画板和cad软件中， 任意五个点作椭圆，具有意义。五点定椭圆在卫星轨道， 机械制图和土木工程中是有重要用途。第一步，通过五点寻找椭圆圆心第二步，确定椭圆坐标 x、y主轴方向第三步、确定椭圆的长轴 a和短轴b1大狗熊定理1:二次圆锥曲线接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。

2、如图1,椭圆接四边形 KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角 线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，那么A、B、C、D四点共 线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD = 2/AB。双曲线和抛物线也具有同样性质。圏 1*2命题1 :椭圆的斜向割线 AB，作一条过椭圆圆心 O点的任意割线JK， JA、 BK交于E点，JB、AK交于F点，确定EF的中点N点，连线NA、NB就是椭圆的切线。 '证明：由于割线JK的切线交点极点在无穷远，利用定理1，可以快速证明这个命题。2-1定理2 :圆锥曲线 的接完全四点形的对边三点形是圆锥曲线的自配极三点形

3、。 命题3 高斯定理：椭圆外一点 P,过P点作PAB与PCD二条任意椭圆割线,二、通过五点寻找椭圆圆心原理：通过五点，作椭圆切线，获得割线的极点，将割线的极点和割线中点连接并延伸，必定通过椭圆的圆心。图4问题1:只有五点，没有坐标轴和原点，椭圆斜的，割线PQ的切线极点如何办？切线方法：帕斯卡定理五点 + 个切点二次做切线，或者如图5方法作切线。命题4:椭圆上P、H、G、Q、A五点，利用椭圆接四边形 PQGH确定对角线PQ 和GH交叉点T,可绘制极点T的极线E F，利用椭圆接四边形 PQABH确定对角线PQ 和ABH交叉S点利用帕斯卡定理，新构造椭圆第六点B点，替换H点，绘制极点S的极线MN，极

4、线MN和极线EF交于C点，C点即为PQ割线的极点。证明：依据极点极线的对偶定理，由于S、T为PQ极线上的二点，可可知 S、T极点的极线MN和极线EF相交于C点就是PQ的极点，连线PC、QC就是椭圆的切线。该方法也适合于双曲线和抛物线的情况问题2 :椭圆上五点有时候似乎不够啊，如何构造椭圆上的临时第六点啊。命题5 :运用帕斯卡原理，通过椭圆上五点，可以增加椭圆上一点。Pascal '定理为通过五点作圆锥曲线提供了一种优美的解决方案。设已给1,2, 3, 4, 5五点，其中任意三点不在同一直线上特例将在后面讨论，但五点的平面位置为任意。我74-174-274-374-4们将这五点依次相连，

5、并设线段12与45的交点为L。为了构作圆锥曲线上的任意一点，如点6，我们通过点1任意作一直线a，设a与线段34交于点N,再通过L和N作直线b，设b与a交于M,图74-3 ;再通过5和M作直线c,那么c与a的交点就是期望的第六点6图74 Pascal理应用：通过五点寻找圆锥曲线上任竜第六点命题6 :禾U用侯明辉三割线定理加上阿波罗尼斯圆的调和分割性质，构造更多椭圆点。在尺规作图五点定椭圆中，椭圆上五点不知道椭圆曲线，不知道椭圆圆心，也不 知道椭圆的xy坐标主轴情况下，需要构造其他的椭圆点。即A、B、C三点已经知道还有其他二点知道，采用其他方法作出 AB割线的极点N , 利用侯明辉三割线定理以及调

6、和分割性质确定新的椭圆点E点方法：连接CN线段交AB线段于M点，取线段 MN中点J为圆心，画圆直径为 MN , 过C点作MN的垂直线交圆于 F点，过F点作切线或者是作垂直 JF的线段EF,交MN 于E点，那么构成调和分割的第四点。本例子是构成了椭圆上的新点用途。工程应用实例：是用5点定圆心的，没有构造第六点方法图8三、确定椭圆坐标主轴方向目标：通过的椭圆圆心和椭圆上三点，寻找椭圆坐标主轴方向。原理：利用椭圆圆心，构造二条共轭直径，然后确定椭圆坐标主轴方向方法：利用椭圆圆心，首先构造一条共轭直径，作图共轭直径端点的切线方向确定另外一条共轭直径的方向，作平行线通过构筑一条椭圆共轭弦，采用仿射几何方

7、法转换为二 条共轭直径。1作AB割线的切线极点 N图102作AF共轭直径连接0A，作CL共轭弦平行AN图113仿射几何构筑0E共轭半径方法：作直径为AF的圆，过N点作MN垂直AF，作三角形 MNL.作KO垂直AF，过K点作MLDE 平行线，KE和0E延伸交于E点。 依据仿射原理，可知，0E为椭圆的共轭半径。4)构筑椭圆坐标主轴方向图13方法：绕椭圆圆心0点，0E旋转90度，获得N点，连接NA连线，获得NA中点KK点为圆心，作任意半径的圆，与K0交于W点，与NA交于H、G点。那么WC为长轴方向，HW为短轴方向，完成椭圆坐标主轴方向确定。证明：分析0K线段的斜率与 NA线段的斜率的关系|(1 )共

8、轭直径的性质a b如果，点A%, yi，椭圆共轭直径推理，那么有，CXi, yib a对于点C分析，那么有： COS 2sin 1 sin 2cos(2)共轭直径的椭心角为 简单分析可以得到，/90°C10A1 = 90°图15(3)共轭半径旋转90°图16分析可以得知：A acos -i， bsin 1 ， C acos 2， bsin 2 ，C点绕原点旋转90°，那么：，N bsin 2， acos 2(4)图形分析研究问题1:延伸连线NK与坐标轴交于 U V两点。要构筑椭圆坐标主轴方向的方法成立， 只需证明B 1 / V0A1 =Z VOK= /

9、OVU= 0 1,即证明 OKV和厶ONU是等腰三角形，命题 就成立。现在，/ VOK= 0 1已经成立A acos bsin 1 , N asin 2, bcos 2由于：cos 2 sin j , sin 2 cos 1那么：N bsin 2，acos 2坐标，可以化为N bcos 1，asin分析NA线段的斜率:y1asin 1bsin 1tan( 3)ta n( 1)X2X1bcosacos 1那么：31，等腰三角形图形成立，命题成立。问题2: K点为OA1与NA线段的交点，是不是位于NA线段的中点啊。假设K为NA线段的中点，分析 K、A1、O三点共线，就ok一丄- A a ba b

10、.K 点坐标，Acos 1, sin 12 2对于OK线段分析斜率：y2 y1tan( )21 tan( J，斜率相同，命题成立。x2 x-i四、确定椭圆长轴a和短轴b目标：椭圆心和坐标轴、椭圆上二点，确定椭圆长轴a和短轴b原理：运用极点和极线关系，构造自配极三角形，确定椭圆长轴和短轴位置。方法：利用椭圆上二点构造轴对称二点，构成椭圆接四边形，连接对角线，获得交叉点 和对边交叉点，运用二个极点的数学关系，完成长轴和短轴位置。1)构造自配极三角形，寻找二个对偶极点T图18E点为B点的轴对称点，N点为x轴与AE的交叉点令 OE I ， OQ c极点极线关系方程分析得知：| a2C类似椭圆准线方程2确定长轴a位置连线QN， K为QN中点，以K圆心半径为KN画圆，过0点作圆K的切线E,以 0E为半径原点0为圆心作一个圆，与 x轴交于F点，F点即为长轴a图193确定长轴b位置利用切线方法，构造割线 AB的极点N点，过N点作水平线交y轴于G点，延伸割 线AB与y轴交于P点，连线PG, K为PG中点，以K圆心半径为KP画圆，过0点作圆 K的切线R，以OR为半径原点0为圆心作一个圆，与 y轴交于U点，U点即为短轴b图20参考文献：1 建华.射影几何入门 M ，科学