常用求极限方法的探索与总结

1、 论文题目：学院：专业班级：姓名：学号：常用求极限方法的探究与总结摘要： 求数列和函数极限是高等数学中的一个重点也是难点。题目类型不同，解题方法就可能不一样。根据本学期所学内容，本文将会探索和总结一些求极限的常用方法。关键词：极限 夹逼定理 等价无穷小 海涅定理 泰勒公式 拉格朗日中值定理正文：一. 用极限定义证明某一极限的正确性例1 证明极限：limxsinxx =0解：>0,由 sinxx-01x<,可得|x|>1 , 因此取X=1 ,则当|x|>X时，有sinxx-0< ,由-X定义，极限为0二利用四则运算法则 极限的四则运算法则是求极限的基础例2 求极限：

2、limx12x+1x2+x+1解：=limx12x+1limx1x2+x+1=2limx1x+1limx1x2+limx1x+1=1三利用夹逼定理求极限 例3 求极限：limnn1+2n+3n 解：因为 n3nn1+2n+3nn33n 即3n1+2n+3n3n3 因为limn3=3 , limn3n3 =3 由夹逼定理可知 极限为3 此方法适合于求递推数列极限例3 设x1=a>0, xn+1=12xn+axn 且（n=1,2.） 证明limnxn存在并求出极限 解：xn+1=12xn+axnxnaxn=a xn+1=12xn+axn=xn2+a2xn12xn2+xn2xn=xn 所以 当

3、n2时，数列是单调递减有下界的数列 设 极限为A 在原式两边取极限得 A=12A+aA 得A=a 另一根不符合故舍去五.利用两个重要极限 （1）利用limx0sinxx=1计算三角函数未定式极限 例4 求极限：limh0htanh 解: limh0htanh =limh0hsinhcosh=limh0hsinhlimh0cosh=1（2） 利用limx1+1xx计算形如fxgx的幂指函数极限例5 求极限：limx1+x2+xx=limx1+-1x+2x+2-1-1.1+ -1x+2-2 =1e六.利用等价无穷小代换及无穷小的性质 几种常见的等价无穷小：n1+x-1xn ,sinxx,tanxx

4、, 1-cosxx22 ,sin-1xx , ex-1x x趋近于0 例6 limx0ln1+2xsin3x =limx02x3x =23 例7 limxxe1x-1=limxx.1x =1 注意：求极限时，无穷小因子可用等价无穷小换以简化极限计算，但是要注意，和，差运算时不能对某一项进行这种代换。七.应用收敛数列和海涅定理 利用数列收敛与子列收敛关系定理，函数极限与数列极限的关系的海涅定理说明不存在，用海涅定理及函数极限求数列极限例如，数列an=-1n-1 ,(n=1,2).奇子列a2n-1=1 ,偶子列a2n=-1,显然，前者极限为1，后者极限为-1，所以原数列极限不存在。 由海涅定理的必

5、要性，可借助函数极限求数列极限。由海涅定理的充分性，能把数列极限的结论转移到函数极限上来，海涅定理提供了一种说明函数极限不存在的方法。例8 讨论极限 limx0sin1x解： 取xn=12n ,xn'=12n+2 ,则当n,时，xn0, xn'0 ,而fxn=sin2n=0,后者等于1，因此该函数极限不存在 八利用复合函数连续性 若f在x0处连续，则计算limxx0fx相当于计算fx0,特别的，当 limxx0ux=A>0,limXX0vx=B, 则limxx0uxvx=AB 例9 limx0ln1+xx =limx0ln1+x1x=lnlimx01+x1x =1 例10

6、 limx0ax-1x 解：令ax-1=y,并代入原式 得 limy0ylnaln1+y=lna 注意：三角函数及反三角函数在其定义域内是连续的，指数函数ex在其定义域内连续，其反函数y=lnx在其定义域内连续，一般的，指数函数及对数函数在其定义域内连续 九. 利用洛必达法则 在第一章进行极限的运算时，遇到过许多无穷小之比或无穷大之比的极限。这些类型的极限可能存在，也可能不存在。关于这类0比0型未定式和无穷比无穷型未定式，我们可以将limfxgx的问题转化为limf'xgx的形式进行计算，即罗比达法则 0比0型和无穷比无穷型是基本类型，其他类型可转化成这两个类型，比如0乘以无穷型可取倒

7、数进行转化，无穷减无穷型可通分转化，0的0次幂型和1的无穷次幂型可根据对数函数和指数函数的性质进行转化 例11 求极限：limx0+xx 解： 原式=limx0+exlnx =limx0+elnx1x=elimx0+-x=1 注意：有时候，可以间接使用洛必达法则，也可以连续用多次罗比达法则，也可以先用无穷小量代换，再使用洛必达法则 例12 求数列极限：limnnn 解： 由于nn=n1n,函数x1x当x趋近与正无穷时，是无穷的0次幂型未定式，可转化为无穷比无穷型未定式，再使用罗比达法则 可得 函数极限为1，根据海涅定理可知对应数列极限为1 十利用泰勒中值定理及拉格朗日中指定值 例13 求极限

8、limx0cosx-e-x22x4 解 因为x0时，此式为0比0型，分母是4阶无穷小，cosx和 ex相应的迈克劳林公式为 cosx=1-x22+x44!+ox4 ex=1+x+x22!+ox2e-x22=1-x22+x44!+ox4 因此可得 limx0cosx-e-x22x4 =limx01-x22+x44!+ox4-1-x22+x44!+ox4x4=limx0x44!-x48+ox4x4 =limx0-112+ox4x4 =-112 在函数极限运算中，若函数是fb-fab-a 或fb-fa两种形式，我们不妨构造满足拉格朗日中值定理条件的函数，将所求简化，以便运算 拉格朗日定理的结论式可变

9、性为 fb-fab-a=fa+rb-a , (0<r<1) 例14 求极限：limx0ex-esinxx-sinx 解： 令fx=ex , 可知该函数在区间x,sinx满足拉格朗日中值定理的条件，对该函数应用拉格朗日中值定理得 ex-esinx=fx-fsinx=x-sinxf'sinx+rx-sinx (0<r<1) 即：ex-esinxx-sinx=f'sinx+rx-sinx (0<r<1) 因为 fx=ex 连续 所以limx0f'sinx+rx-sinx=f'0=1 从而原来极限为1 十一.利用导数及不定积分的定义 对于形如limxx0fx-fx0x-x0的极限可利用导数的定义求解，对于形如 limn1nfx0+fxn 的和式极限可利用定积分的定义求解 例15 求极限limn1nsinn+sin2n+sinn-1n 解： 由定积分的定义可知，可视被积函数为sinx ,而积分区间为0,1，将区间作n等分，取i为区间i-1n,in的左端点，于是sinx 相应的积分和就是本题的和式，且函数连续，可积 Limn1nsinn+sin2n+sinn-1n=01sinx=-1cosx|10=2 用定积分求此类和式极限的关键是仔细分析所求和式，选择适当的函数与积分区间，把和式极限转化为定