四随机变量的数字特征A

1、第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征第一节第一节 数学期望数学期望第二节第二节 方差方差第三节第三节 协方差与相关系数协方差与相关系数第四节第四节 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵本章主要内容 在前面的课程中，我们讨论了随机变量在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分的概率分布，那么布，那么X的全部概率特征也就知道了的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的是较难确定的. 而在一些实际应用中，人而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，们并不需要知

2、道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了只要知道它的某些数字特征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的某些数字特征是重要的 .我们先介绍随机变量的数学期望我们先介绍随机变量的数学期望.在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是期望期望和和方差方差 分赌本问题(产生背景) A, B 两人赌技相同, 各出赌金100元,并约定先胜三局者为胜, 取得全部 200 元.由于出现意外情况 ,在 A 胜 2 局 B 胜1 局时,不得不终止赌博, 如果要分赌金,该如何分配才算公平?A 胜 2 局 B 胜 1 局前三局:后二局

3、:把已赌过的三局(A 胜2局B 胜1局)与上述结果相结合,即 A、B 赌完五局,A AA B B AB BA 胜B 胜假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:A AA B B AB BA胜B负 A胜B负 A胜B负 B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负 B胜A负 因此, A 能“期望”得到的赌金应为 41043200 ),(150 元而B 能“期望”得到的赌金, 则为43041200).(50 元故有, 在赌技相同的情况下, A, B 最终获胜的可能性大小之比为3:1,即A 应获得赌金的 而 B 只能获得赌金的,43.41因而A 期望所得的赌金即为X 的 “期望”值,等于X 的可能值与其概率之积

4、的累加.).即为设随机变量 X 表示 “在 A 胜2局B 胜1局的前提下,继续赌下去 A 最终所得的赌金” .则X 所取可能值为:2000其概率分别为:4341:1定义kkkkkkpxpx 11绝绝对对收收敛敛，则则称称级级数数若若级级数数为随机变量为随机变量X的数学期望，简称期望，记为的数学期望，简称期望，记为E(X)，即即 kkkpxXE 1)(.21 X ，的的分分布布律律为为设设离离散散型型随随机机变变量量 kpxPXkk说明说明v“绝对收敛绝对收敛”保证期望存在及唯一；保证期望存在及唯一；v数学期望实际上就是数学期望实际上就是以概率为权数的加权平均；以概率为

5、权数的加权平均；vr.v.r.v.X的期望也就是它服从的分布的期望的期望也就是它服从的分布的期望。注：并非所有的随机变量都存在数学期望。注：并非所有的随机变量都存在数学期望。试问哪个射手技术较好? 谁的技术比较好?乙射手甲射手击击中中环环数数概率1 . 06 . 010983 . 0击中环数概率10982 . 05 . 03 . 0故甲射手的技术比较好.为为他他们们射射击击的的分分布布律律分分别别乙乙两两个个射射手手、甲甲,.,21XX数数分分别别为为设设甲甲、乙乙射射手手击击中中的的环环),(3 . 96 . 0101 . 093 . 08)(1环环 XE),( 1 . 93 . 0105

6、. 092 . 08)(2环环 XE( ),( )d,( )d,().()( )d .Xf xx f xxx f xxXE XE Xx f xx设连续型随机变量的概率密度为若积分绝对收敛 则称积分的值为随机变量的数学期望 记为即 E(X)是一个实数，形式上是是一个实数，形式上是X的可能值的加权平均的可能值的加权平均数，实质上它体现了数，实质上它体现了X取值的真正平均。又称取值的真正平均。又称E(X)为为X的平均值，简称均值。它完全由的平均值，简称均值。它完全由X的分布所决的分布所决定，又称为分布的均值定，又称为分布的均值.xxfxXEd)()(xxxde5150).(5 分钟因此, 顾客平均等

7、待5分钟就可得到服务. 顾客平均等待多长时间? 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分计)服从指数分布,其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间?. 0, 0, 0,e51)(5xxxfx例例2：设：设X的密度函数如下，求的密度函数如下，求EX其他021210)(xxxxxfdxxxfEX)(解：1)2.(.2110dxxxxdxx 1. 问题的提出：问题的提出： 设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计的分布，我们需要计算的不是算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期的某个函数的期望，比如说望，比如说g(X)的期望的期望. 那么应该如何计算那么应该如何计算呢？呢？随机变

8、量函数的数学期望随机变量函数的数学期望如何计算随机变量函数的数学期望如何计算随机变量函数的数学期望? 一种方法是，因为一种方法是，因为g(X)也是随机变量，也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来的分布求出来. 一旦我们知道了一旦我们知道了g(X)的分布，的分布，就可以按照期望的定义把就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来计算出来. 使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的的分布，一般是比较复杂的 . 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只的分布而只根据根据

9、X的分布求得的分布求得Eg(X)呢？呢？kxX kkpxXP 21011p2p3p4p).(,)(2YEXXgY求若的分布律先求2XY 2XY p4102p31pp 4p设随机变量 X 的分布律为则有)()()(2XEXgEYE43124)(10pppp423212221) 1(0pppp.)(41kkkxXPxg因此离散型随机变量函数的数学期望为若 Y=g(X), 且, 2, 1,kpxXPkk则有.)()(1kkkpxgXgE定理定理1: 设设Y是随机变量是随机变量X的函数，即的函数，即Y=g(X),g(x)是是连续函数。连续函数。.21 )1(，分布律为分布律为是离散型随机变量，且是离散

10、型随机变量，且设设， kpxXPXkkkkkpxgXgEYE 1)()()(绝对收敛，则有绝对收敛，则有若若kkkpxg 1)()()2(xfX概概率率密密度度是是连连续续型型随随机机变变量量，有有设设绝绝对对收收敛敛，则则有有若若dxxfxg)()( dxxfxgxgEYE)()()()(推广：推广： 设设Z是随机向量（是随机向量（X,Y）的函数，即）的函数，即Z=g(X,Y) （g(x,y)是连续函数）是连续函数）.21 ),()1(，分分布布律律为为是是离离散散型型随随机机向向量量，且且若若， jipyYxXPYXijji时时，有有则则当当， ijjijipyxg11)(ijjijipy

11、xgYXgEZE 11)(),()(，有有概概率率密密度度为为连连续续型型随随机机向向量量且且具具若若),(),()2(yxfYX 时时，），（），（则则当当dxdyyxfyxg dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(有有： 该定理的重要性在于该定理的重要性在于: 当我们求当我们求Eg(X)时时, 不必知道不必知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的的分布就可以了分布就可以了. 这给求随机变量函数的期这给求随机变量函数的期望带来很大方便望带来很大方便.即：如求连续型随机变量函数的数学期望即：如求连续型随机变量函数的数学期望并不要求知道其密度函数，只需知道作为并不要求

12、知道其密度函数，只需知道作为自变量的随机变量的密度函数即可。自变量的随机变量的密度函数即可。例4的的分分布布律律为为设设随随机机变变量量 X的的数数学学期期望望求求随随机机变变量量函函数数2XY 解解kkkpxXEYE 22)()(30. 210. 0315. 0220. 01222 25. 0020. 0)1(10. 0)2(222 例例5：设：设XN(0,1)，求，求EX2dxexEXx222221解：)21(22xexddxeexxx)21(| 21.22221例例6： 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为f (x,y)=x + y0 0 x 1 1 ,0 y

13、1 10其它其它试求试求XY的数学期望的数学期望.解：解： dxdyyxfyxYXE(),() 1 10 01 1 0 0 dxdyyx(x + y)13 -?某地中秋节月饼需求量X在4 6t之间服从均匀分布，食品厂每销出1t获利1万元，若积压1t，则损失4千元，为使工厂所获利润的数学期望最大，问该厂应生产多少t月饼为宜 ,at设生产:YX则获利是的函数104(),()10 ,.XaXXaYh XaXa若若64( )( )dh x f xx27-38562aa146,( )20,.xf x， 其他( ) ()( ) ( )dE YE h Xh x fxx64111104()d10d222aax

14、axxax38=( )7aE Y 最大。习题习题8： 设圆的直径设圆的直径XU(a,b)，求圆的面积的期望。，求圆的面积的期望。，则则设设圆圆的的面面积积为为解解24:XAA 式式有有则则由由定定理理1 其其他他）（的的概概率率密密度度为为 01bxaabxfXX）（222212 14)4()(aabbdxabxXEAEba 定理定理2： 设随机变量设随机变量X,Y的数学期望的数学期望 E(X), E(Y)存在存在.；为为常常数数，则则设设ccEc )(；)()(XcEcXE 三、三、 数学期望的性质数学期望的性质kkkkkkx py p()( ).E XE Y4. 设设 X, Y 是相互独立

15、的随机变量是相互独立的随机变量, 则有则有).()()(YEXEXYE 3. 设设 X, Y 是两个随机变量是两个随机变量, 则有则有).()()(YEXEYXE 证明证明()()kkkkE XYxyp说明说明 用连续型随机变量用连续型随机变量 X 的数学期望的定义可类的数学期望的定义可类似证明。可利用期望的性质求似证明。可利用期望的性质求r.v.（函数）的期望。（函数）的期望。niiniiXEXE11)(:推广（Xi独立时）独立时）niiniiXEXE11)(:推广 由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出 X,Y独立独立11:()nniiiiEC XC E X更一般地推广注

16、：注：1)1)性质（性质（3 3）和（）和（4 4）可推广到个随机）可推广到个随机变量的情形变量的情形例例8：设一次试验中事件：设一次试验中事件A发生的概率为，则在次发生的概率为，则在次这样的独立重复试验中事件这样的独立重复试验中事件A发生的次数发生的次数XB（，），求（，），求E(X).解解 ： X的分布律为的分布律为qqnkqpCkXPknkkn 1.10 ，01iX记：第次试验中第次试验中A发生发生第次试验中第次试验中A不发生不发生则则Xi(1 i n )是服从是服从0-1分布的随机变量且有分布的随机变量且有niinXXXXX121.又又 E Xi=p (1 i n)npEXXEEXni

17、inii11)(从而1.数学期望是一个实数, 而非变量,它是一种加权平均, 与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值.2.数学期望的性质).()()(,);()()();()(;)(YEXEXYEYXYEXEYXEXCECXECCE独立例例1： 设设X服从参数为服从参数为p的（的（0-1）分布，求）分布，求E(X)。解：解： X的分布律为的分布律为0p1,q=1-pppqXE 10）（则则几种常用分布的期望几种常用分布的期望例例2： 设设Xb(n，p)，求，求E(X)。解解 ： X的分布律为的分布律为qqnkqpCkXPknkkn 1.10 ，则：则：0=1nk

18、kn knknkn kkE XkCp qnkp qknk（ ）！（）！knknkqpknknnp 1111）！）！（）！（npqpnpqpCnpnknknkkn 11111）（。的泊松分布，求服从参数为设例)(:3XEX: 0 1 . kXeP Xkkk解的分布律为， ，！则0() kkeE Xkk！11 1kkek（）！ee01kkek（）！例例4 设设XU(a，b)，求，求E(X)。 其其他他的的概概率率密密度度为为解解 01)(:bxaabxfX()E X12baabxdxba).()(:52XENX，求，设例dxexXEx22221)(: ）（解解 dtetXEtxt 2221)(）（

19、，得得换换元元， dtedttett2222221 例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、，现用甲、乙两台仪器各测量乙两台仪器各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐用坐标上的点表示如图：标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？劣，你认为哪台仪器好一些呢？a 乙仪器测量结果乙仪器测量结果 a甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的测量结果的均值都是均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近第二节第二节 方差方差 为此需要引进另一个数字特征为此需要

20、引进另一个数字特征,用它用它来度量随机变量取值在其中心附近的离来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度散程度.这个数字特征就是我们这一节要介绍的这个数字特征就是我们这一节要介绍的方差方差:1定定义义).()(2)()( )()(,2)(2)( XXXDXEXEXDxVarXDXXEXEXEXEX方差，记为的标准差或均为随机变量称，即或记为的方差为则称存在，为随机变量，若设 方差是随机变量方差是随机变量X与其与其“中心中心”E(X)的偏的偏差平方的平均。方差刻划了随机变量的取值对差平方的平均。方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散于其数学期望的离散(偏离偏离)程度程度 .为为离离散散型型随

21、随机机变变量量，则则若若 X)(xfX率率密密度度为为为为连连续续型型随随机机变变量量且且概概若若kkkpXExXD 12)()(的的分分布布律律为为，其其中中XkpxXPkk.21 dxxfXExXD)()()(:2 则则的的数数学学期期望望的的函函数数是是随随机机变变量量方方差差2)()()(XEXXgXXD 较较大大。取取值值比比较较分分散散，则则若若较较小小，取取值值比比较较集集中中，则则若若)()(XDXXDX计算方差的一个简化公式计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 展开展开证：证：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(

22、X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性质性质）。（的的方方差差求求其其它它）（的的密密度度函函数数为为设设随随机机变变量量例例XDXxxxxxfX: 010 101- 1:1 dxxxfXE）（）（解解：dxxfxXE）（）（ 2261:22 ）（）（）（所所以以XEXEXD6111102012 dxxxdxxx）（）（ 0110011dxxxdxxx）（）（证明证明22)()()(CECECD (1) 设设 C 是常数是常数, 则有则有. 0)( CD22CC . 0 (2) 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量, C 是常数是常数, 则有则有).()(2XDCCXD

23、 证明证明)(CXD)(22XEXEC ).(2XDC )(2CXECXE ).()()(YDXDYXD (3) 设设 X, Y 相互独立相互独立, D(X), D(Y) 存在存在, 则则证明证明)()()(2YXEYXEYXD 2)()(YEYXEXE 22()( )2 ()( )E XE XE YE YEXE XYE Y ).()(YDXD 推广推广).()()()(2121nnXDXDXDXXXD 则则有有相相互互独独立立若若,21nXXX几种重要随机变量的方差几种重要随机变量的方差分分布布10. 1 分分布布，分分布布律律为为的的服服从从参参数数为为设设10 pXX 0 1P 1-p

24、p).1()(,)(ppXDpXE 二二项项分分布布. 2的的二二项项分分布布，分分布布律律为为服服从从参参数数为为设设pnX,).1()(,)(pnpXDnpXE 10 , 1 , 0 )1( pnkppCkXPknkkn设设XB(n,p), 则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功” 次数次数 . 若设若设10iiXi如第 次试验成功如第 次试验失败i=1,2，n 故故 D(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2E(Xi)=P(Xi=1)= p,E(Xi2)= p, 则则 是是n次试验中次试验中“成功成功” 的次数的次数niiXX1= p- p2= p(1- p)利用方差性

25、质：利用方差性质：于是于是i=1,2，n D(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2 = p- p2= p(1- p)由于由于X1,X2,Xn相互独立相互独立niiXDXD1)()(= np(1- p)泊泊松松分分布布. 3的的泊泊松松分分布布，分分布布律律为为服服从从参参数数为为设设 X eekekekXEkkkk010)!1(!)( 0, 2 , 1 , 0! kkekXPk2220222()(1)(1)() (1)!(2)! +kkkkE XE X XXE X XE Xek kekkee 2222)()()(XEXEXD 其其他他 01)(bxaabxf21)(badxabxXEba 均均

26、匀匀分分布布. 4密密度度为为服服从从均均匀匀分分布布，其其概概率率，在在区区间间设设baX12)(21 )()()(22222abbadxabxXEXEXDba 1)()( dxxxfXE5.指数分布度为的指数分布，其概率密服从参数为设X22222112)()()( XEXEXD0)0(00)( xxexfx 2222)()( dxxfxXEdxexXEx22221)( ）（ ，得得令令tx dtedttett22222216.正态分布度度为为的的正正态态分分布布，其其概概率率密密，服服从从参参数数为为设设 X xexfx, 021)(222)( dtetXEt 22)(21)( dxexX

27、Dx222221)()( ）（ ，得得令令tx 2222222()2()2ttD Xtedttde2222()2ttteedt2212tedt注：正态随机变量的概率密度中的两个参数分别就注：正态随机变量的概率密度中的两个参数分别就是该随机变量的数学期望和方差，故正态随机变量是该随机变量的数学期望和方差，故正态随机变量的分布完全由它的数学期望和方差所确定。的分布完全由它的数学期望和方差所确定。随机变量的分布完全可由它的数学期望和方差来确随机变量的分布完全可由它的数学期望和方差来确定。定。2(,),1,2, ,iiiXNin 若且它们相互独立则22112211(,)nnnniiiiiiC XC X

28、C XNCC10 pp)1(pp 10, 1 pnnp)1(pnp 0 ba 2)(ba 12)(2ab 0 1 21 分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布0, 2思考：思考： 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立且相互独立且XN(1,2),YN(0,1). 试求试求Z=2X-Y+3的概率密度的概率密度. 故故X和和Y的联合分布为正态分布，的联合分布为正态分布，X和和Y的的任意线性组合是正态分布任意线性组合是正态分布.解解: XN(1,2),YN(0,1)，且，且X与与Y独立独立,D(Z)=4D

29、(X)+D(Y)=8+1=9E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 即即 ZN(E(Z), D(Z)ZN(5, 32)故故Z的概率密度是的概率密度是,231)(18)5(2zZezf z契比雪夫不等式契比雪夫不等式.,)(,)(222成成立立不不等等式式则则对对于于任任意意正正数数方方差差具具有有数数学学期期望望设设随随机机变变量量定定理理XPXDXEX 切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式也可以写成切比雪夫不等式也可以写成22(|)1PX 22.P X xxfxd)()(122.122 xxfxxd)(22 得得XP xxxfd)(证明证明取连续型随机变量的情况来证明取连续型随

30、机变量的情况来证明.则则有有的的概概率率密密度度为为设设),(xfX22(|)1PX 例例2 把一枚均匀硬币抛掷把一枚均匀硬币抛掷1000次，试利用切比次，试利用切比雪夫不等式估计，在雪夫不等式估计，在1000次抛掷中正面出现次抛掷中正面出现的次数在的次数在400-600之间的概率。之间的概率。解解:若设若设111000,0iiXii如第 次出现正面，如第 次出现反面，E(Xi)=P(Xi=1)= 1/2, D(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2 =1/4由于由于X1,X2,Xn相互独立相互独立1()500,()()=250niiE XD XD X2400600 10050010025050

31、010010.975100PXPXP X 前面我们介绍了随机变量的数学期望前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映分量之和方差，对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是本间关系的数字特征中，最重要的，就是本节要讨论的节要讨论的协方差和相关系数协方差和相关系数第四节第四节 协方差与相关系数协方差与相关系数1. 问题的提出问题的提出 那那么么相相互互独独立立和和若若随随机机变变量量,YX()()( ).D XYD XD Y不相互独立不相互独立和和若随机变量若随机变量YX()?D XY2()()()D XYEXYE XY2()( )EXE XYE Y2 (

32、)( )E XE XYE Y22()( )E XE XE YE Y()( )2 ()( ).D XD YE XE XYE Y协方差协方差()( )EXE XYE YXY称为随机变量 与 的cov(,)()( )X YEXE XYE YXY对于任意两个随机变量 和cov()()( )2(,)D XYD XD YX Ycov(, )X Y记为，即协方差.2. 定义定义若若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布律为为二维离散型随机变量，其联合分布律为 PX=xi，Y=yj=pij， i,j=1,2, ijijiipYEyXExYX)()(),(Cov若若(X,Y)为二维连续型随机变量，其概率密度

33、为为二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y) dxdyyxfYEyXExYX),()()(),(Cov3. 协方差的计算公式协方差的计算公式Cov(,)()() ( )X YE XYE X E Y证明证明:Cov(,)()()X YEXE XYE Y)()()()(YEXEYXEXYEXYE ).()()(YEXEXYE )()()()(2)(YEXEYEXEXYE cov1.(,)()X XD Xcovcov2.(,)( ,)X YY X为任意常数baYXabbYaX,),(cov),(cov. 3为任意常数CXC, 0),(cov. 4covcovcov12125.(,)(,)(,)X

34、X YX YX Y0),(cov,. 6YXYX则相互独立与如果4. 性质性质 ，反之未必成立。，反之未必成立。例例1：设一坛中装有个红球，个黑球，随机的：设一坛中装有个红球，个黑球，随机的取出一个球观察后放回，同时再放入个与所取球取出一个球观察后放回，同时再放入个与所取球同色的球，设同色的球，设01iX在第次取红球在第次取红球在第次取黑球在第次取黑球（i=1,2）求：求：cov(X1,X2).解：先求解：先求(X1,X2）的联合分布，易知）的联合分布，易知0|000, 012121XXPXPXXP)()(crsrscsscrsrrssXXP., 021crssrsrXXP.0,21crscr

35、rsrXXP.,21则则(X1,X2）的边缘分布分布为：）的边缘分布分布为：srrXPsrsXPX10:111srrXPsrsXPX10:222srrEXEX211, 111000)(2121XXPXXE)()(csrsrcrr212121)()cov(EXEXXXEXX)()(2csrsrrsc例例2 设设 (X, Y)的概率密度函数为的概率密度函数为 f ( x, y) ,求求 Cov(X,Y). 其其他他,010 , 10,),(yxyxyxf101(),01,( )20,Xxy dyxxfx解：由于其他101(),01,( )20,Yxy dxyyfy其他1017()(),212E X

36、x xdx,127)21()(10 dyyyYE,31)()(10102101021010 dxdyxydxdyyxdxdyyxxyXYE144112712731)()()(),( YEXEXYEYXCov例例* 设设 (X, Y)的分布律如图所示的分布律如图所示, 0 p 1, 求求 Cov(X,Y)。,1pXP 解解：,10pXP )1()(,)(ppXDpXE )1()(,)(ppYDpYE )1()()()(),(2ppppYEXEXYEYXCov ,X Y设随机变量的数学期望 方差都存在 称)()(),(covYDXDYXDYEYYDXEXXEXYXY为随机变量 与 的相关系数.XY

37、注意：无量纲1. 定义定义1.1.XY2. 性质性质 利用利用Cauchy-Schwarz 不等式证明：不等式证明：222 ()E UVEUEV22)(),(EYYEXXEYXCOV22)()(EYYEEXXEDYDX121.1XY0,XYXY3.当称 与 不相关.2. 性质性质 2.1XY()1(0)P YaXbaX与与Y之间呈线性相关关系，即之间呈线性相关关系，即即即X与与Y之间无线性相关关系，之间无线性相关关系，（但可能存在非线性关系）（但可能存在非线性关系）.(1) 不相关与相互独立的关系不相关与相互独立的关系3. 注意注意相互独立相互独立不相关不相关(2) 不相关的充要条件不相关的充

38、要条件; 0,1o XYYX不不相相关关; 0),Cov(,2o YXYX不不相相关关).()()(,3oYEXEXYEYX 不不相相关关2222(, )1/1( , )01X Yxyf x yxyXY例1：设服从单位上的均匀分布，即密度函数为：若若判断 和 的相关性和独立性1|01|12)(,2xxxxgYX边缘密度均为：解：所以所以 X与与 Y不相关不相关,2210cov(, )(, ).10 xyEXEYX YE X YEX EYxydxdy因为因为f(xy) g(x)g(y),所以所以X与与Y不独立不独立.0说明说明: (1)不能由不相关性推出独立性不能由不相关性推出独立性(2)即使即

39、使X与与Y不相关，它们之间还是可能存在不相关，它们之间还是可能存在函数关系，相关系数只是函数关系，相关系数只是X与与Y之间线性关系之间线性关系 程度的一种量度。程度的一种量度。但对下述情形，独立与不相关等价但对下述情形，独立与不相关等价若若(X,Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X与与Y独立独立X与与Y不相关不相关例例* 设设 (X, Y)的分布律如图所示的分布律如图所示, 0 p 1, 求求 Cov(X,Y)和和XY,1pXP 解解：,10pXP )1()(,)(ppXDpXE )1()(,)(ppYDpYE )1()()()(),(2ppppYEXEXYEYXCov 1)1()1

40、()1()()(),( ppppppYDXDYXCovXY 第五节第五节 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵:4定义阶阶中中心心矩矩。的的称称它它为为存存在在，）（若若kXkXEXEk,.2 , 1, 阶混合原点矩。阶混合原点矩。的的和和称它为称它为存在，存在，若若lkYXlkYXElk ,.2 , 1,),(.阶阶混混合合中中心心矩矩的的和和称称它它为为存存在在，）（）（若若lkYXYEXXEXElk 阶阶矩矩。阶阶原原点点矩矩，简简称称的的称称它它为为存存在在若若为为随随机机变变量量设设kkXkXEYXk,.2 , 1),(, 设设n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn) 的的1+1阶混合中心

41、矩阶混合中心矩 nnnnnn 212222111211.为为n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵。的协方差矩阵。都存在，则称矩阵都存在，则称矩阵Cov(,) () (),1,2,.,ijijiijjX YEXE XYE Yi jn*协方差矩阵为对称矩阵。协方差矩阵为对称矩阵。协方差协方差Cov(x,y)是是x和和y的的1+1阶混合中心矩阶混合中心矩2例1：设X服从N a,求X的三阶中心矩及四阶中心矩。 ，解：aEXdteaxxEXEax222)(33)(21)()(22332axtdtett0dteaxxEXEax222)(44)(21)()(22442axtdtettdte

42、tett224222343：维维正正态态随随机机变变量量的的性性质质n服服从从一一维维正正态态分分布布。的的任任意意的的线线性性组组合合的的充充要要条条件件是是维维正正态态分分布布服服从从维维随随机机变变量量nnnnXlXlXlXXXnXXXn 22112121 ,),(. 1维维正正态态分分布布。服服从从则则的的线线性性函函数数，是是设设维维正正态态分分布布，服服从从若若KYYYXXXYYYnXXXknkn),(,),(. 221212121两两两两不不相相关关。相相互互独独立立的的充充要要条条件件是是则则维维正正态态分分布布，服服从从设设nnnXXXXXXnXXX,),(. 3212121一、重点与难点一、重点与难点二、主要内容二、主要内容 1.重点重点数学期望的性质和计算数学期望的性质和计算2.难点难点数字特征的计算数字特征的计算方差的性质和计算方差的性质和计算协方差和相关系数的性质和计算协方差和相关系数的性质和计算数学期望数学期望方方 差差离散型离散型连续型连续型性性 质质协方差与相关系数协方差与相关系数二维随机变量的数