第七讲 弗赖登塔尔的数学教育理论

1、第七讲第七讲 弗赖登塔尔的数学教育理论弗赖登塔尔的数学教育理论西华师范大学数学与信息学院西华师范大学数学与信息学院杨孝斌杨孝斌1. 生平及贡献生平及贡献Hans Freudenthal（1905-1990年）年）,荷兰数学家和数学教育家荷兰数学家和数学教育家,生于德国生于德国.1930年获柏林大学数学博士学位；年获柏林大学数学博士学位；1946年起任荷兰年起任荷兰Utrecht 大学教授；大学教授；1951年起为荷兰皇家科学院院士；年起为荷兰皇家科学院院士；1967年当选为国际数学教育委员会主席；年当选为国际数学教育委员会主席；1971-1976年任数学教育研究所所长；年任数学教育研究所所长；

2、1987年年12月应邀来上海华东师范大学讲学，并先后三次来中国。月应邀来上海华东师范大学讲学，并先后三次来中国。弗赖登塔尔是著名数学家布劳威尔的学生，早年从事纯粹数学研弗赖登塔尔是著名数学家布劳威尔的学生，早年从事纯粹数学研究，以代数拓扑学和李群研究方面的杰出工作进入国际著名究，以代数拓扑学和李群研究方面的杰出工作进入国际著名数学家的行列，曾任荷兰数学会的两届主席数学家的行列，曾任荷兰数学会的两届主席 弗赖登塔尔被称为弗赖登塔尔被称为“二十世纪数学教育之父二十世纪数学教育之父” “对于数学教育，本世纪的上半叶对于数学教育，本世纪的上半叶Felix Klein做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶做出

3、了不朽的功绩；本世纪的下半叶Hans Freudenthal做出了巨大的贡献。做出了巨大的贡献。” 加亨加亨(Kahane)教教授授主要工作：主要工作：v1967年当选为国际数学教育委员会主席；v 单独举行国际数学教育大会（ICME1，1969法国里昂）；v提倡数学教育的科学研究；v创办ICME的理论刊物Educational Studies in Mathematics（数学教育研究）主要数学教育论著：v作为教育任务的数学； v除草与播种数学教育学的序言；v数学结构的教学法现象； v数学教育再探在中国的三次讲学2. 弗赖登塔尔的数学教育观弗赖登塔尔的数学教育观v情境问题是教学的平台情境问题是

4、教学的平台v数学化是数学教育的目标数学化是数学教育的目标v学生通过自己努力得到的结论和创造是学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分教育内容的一部分v“互动互动”是主要的学习方式是主要的学习方式v学科交织是数学教育内容的呈现方式学科交织是数学教育内容的呈现方式概括为：现实、数学化、再创造现实、数学化、再创造(1) 何谓数学教育中的何谓数学教育中的“现实现实”？v数学教育中的现实数学来源于现实，存在于现实，应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”.v数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实.弗赖登塔尔坚持主张：数学教育体系的内容应弗赖登塔尔坚持

5、主张：数学教育体系的内容应该是与现实密切联系的数学，能够在实际中该是与现实密切联系的数学，能够在实际中得到应用的数学，即得到应用的数学，即“现实的数学现实的数学”。如果过于强调了数学的抽象形式，忽视了生动如果过于强调了数学的抽象形式，忽视了生动的具体模型，过于集中于内在的逻辑联系，的具体模型，过于集中于内在的逻辑联系，割断了与外部现实的密切关系割断了与外部现实的密切关系，那必然会给，那必然会给数学教育带来极大的损害。数学教育带来极大的损害。“新数新数”运动的运动的失败就是个明证。失败就是个明证。 v如何理解如何理解“现实现实”？v不同的社会需要是否就是不同的社会需要是否就是“现实现实”？v每个

6、人的每个人的“数学现实数学现实”是一样的吗？是一样的吗？数学教育应为不同的人提供不同的数学修养，数学教育应为不同的人提供不同的数学修养，从而为每个人培养适合于他所从事的不同专从而为每个人培养适合于他所从事的不同专业所必需的数学态势，使其能顺利地处理有业所必需的数学态势，使其能顺利地处理有关的各种数学问题。为此，弗赖登塔尔的一关的各种数学问题。为此，弗赖登塔尔的一个基本结论是：每个人都有自己生活、工作个基本结论是：每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的

7、数学知识结构。和有关的数学知识结构。这就是说，这就是说，每个人都有自己的一套每个人都有自己的一套“数学现数学现实实”。 从这个意义上说，所谓从这个意义上说，所谓“现实现实”不一定限于具体的不一定限于具体的事物，作为属于这个现实世界的数学本身，也是事物，作为属于这个现实世界的数学本身，也是“现实现实”的一部分，或者可以说，每个人也都有的一部分，或者可以说，每个人也都有自己所接触到的特定的自己所接触到的特定的“数学现实数学现实”。大多数人的数学现实世界可能只限于数和简单的几大多数人的数学现实世界可能只限于数和简单的几何形状以及它们的运算，另一些人可能需要熟悉何形状以及它们的运算，另一些人可能需要熟

8、悉某些简单的函数与比较复杂的几何，至于一个数某些简单的函数与比较复杂的几何，至于一个数学家的数学现实可能就要包含学家的数学现实可能就要包含Hilbert空间的算，空间的算，子、拓扑学以及纤维丛等等。子、拓扑学以及纤维丛等等。 数学教育的任务就在于，随着学生们所接触的客观数学教育的任务就在于，随着学生们所接触的客观世界越来越广泛，应该确定各类学生在不同阶段世界越来越广泛，应该确定各类学生在不同阶段必须达到的必须达到的“数学现实数学现实”，并且根据学生所实际，并且根据学生所实际拥有的拥有的“数学现实数学现实”，采取相应的方法予以丰富，采取相应的方法予以丰富，予以扩展，从而使学生逐步提高所具有的予以

9、扩展，从而使学生逐步提高所具有的“数学数学现实现实”的程度并扩充其范围。的程度并扩充其范围。数学教学的本质就是培养学生数学教学的本质就是培养学生从已有的从已有的“数学现实数学现实”发展到更高层次的发展到更高层次的“数学现实数学现实”一些具体的例子如下：通过公共汽车上下车人数的变化引一些具体的例子如下：通过公共汽车上下车人数的变化引入整数的加减法，并找出运算规律；借助学生上学乘汽入整数的加减法，并找出运算规律；借助学生上学乘汽车、骑自行车或步行等多种交通工具以及途中出现的各车、骑自行车或步行等多种交通工具以及途中出现的各种情况，介绍各种类型的图象表示、解析表示，进一步种情况，介绍各种类型的图象表

10、示、解析表示，进一步可介绍变化率以及斜率等概念及有关性质；还可以从商可介绍变化率以及斜率等概念及有关性质；还可以从商店出售各种不同牌子、不同规格的商品所获得的利润计店出售各种不同牌子、不同规格的商品所获得的利润计算，引进矩阵的乘法概念，以及它的运算法则；以及根算，引进矩阵的乘法概念，以及它的运算法则；以及根据血压的变化介绍一般周期函数的概念，再进到更有规据血压的变化介绍一般周期函数的概念，再进到更有规律的正弦函数及其性质；或者从物质的生长率引进指数律的正弦函数及其性质；或者从物质的生长率引进指数函数概念，从而导出对数函数等。函数概念，从而导出对数函数等。 由于人们对数学需求不尽相同，各人在不同

11、阶段又有特定的数学现实，弗赖登塔尔认为，在现实背景材料的使用上有下述三种不同的水平： 第一级是在实际问题中直接包含着有关的数学第一级是在实际问题中直接包含着有关的数学运算运算，只要通过简单的变换或过渡，就可以从实际问题求得相应的数学问题。在这里，具体的现实问题起着核心作用。 ( (数学知识的简单应用数学知识的简单应用) ) 第二级是提出了某个现实问题，希望学生能够第二级是提出了某个现实问题，希望学生能够找出与之有关的数学，加以组织，建立结构，从而找出与之有关的数学，加以组织，建立结构，从而解决问题。解决问题。这里需要运用数学作为工具来组织现实问题并予以解决，因而具体的实际问题是起着实质性的作用

12、。 ( (生活数学的数学化生活数学的数学化) ) 第三级则是指出某个数学概念或是描述第三级则是指出某个数学概念或是描述了某个数学过程的特征，由此引进新的数学了某个数学过程的特征，由此引进新的数学概念或是构造新的数学模型概念或是构造新的数学模型，在这儿所提供的现实背景材料已经从通常的具体客观世界中抽象出来。 ( (数学问题的模型化数学问题的模型化) ) 综上所述，弗赖登塔尔提的弗赖登塔尔提的“数学现实数学现实”原则，和我们通常所说的理论联系实际有原原则，和我们通常所说的理论联系实际有原则的区别则的区别，有其独特的含义和理论深度，值得我们借鉴。 (2) 什么是什么是“数学化数学化”？弗赖登塔尔的名

13、言是：与其说是学习数学，还不如说是学习“数学化”；与其说是学习公理系统，还不如说是学习“公理化”；与其说是学习形式体系，还不如说是学习“形式化” 。 人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，这个过程就是数学化。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。 数学化，是一个由浅入深，具有不同层次、不断发展的数学化，是一个由浅入深，具有不同层次、不断发展的过程。过程。数学化的对象：水平数学化数学化的对象：水平数学化生活数学的数学化生活数学的数学化 垂直数学化垂直数学化数学问题的进一步抽象数学问题的进一步抽象水平数学化，形成数学概念、运算法则、规律、定理，水平数学化，形

14、成数学概念、运算法则、规律、定理，以及为解决实际问题而构造的数学模型；垂直数学化，以及为解决实际问题而构造的数学模型；垂直数学化，形成数学概念、运算法则、规律、定理，以及不同层形成数学概念、运算法则、规律、定理，以及不同层次的公理体系和形式体系。次的公理体系和形式体系。现实数学教育的数学化有两种形式：现实数学教育的数学化有两种形式：v一是实际问题转化为数学问题的数学化，即一是实际问题转化为数学问题的数学化，即发现实际问题中的数学成分，并对这些成分发现实际问题中的数学成分，并对这些成分作符号化处理；作符号化处理；v二是从符号到概念的数学化，即在数学范畴二是从符号到概念的数学化，即在数学范畴之内对

15、已经符号化了的问题作进一步抽象化之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理。处理。实际问题转化为数学问题的基本流程是：实际问题转化为数学问题的基本流程是：v确定一个具体问题中包含的数学成分；确定一个具体问题中包含的数学成分；v建立这些数学成分与学生已知的数学模型之间的联建立这些数学成分与学生已知的数学模型之间的联系；系；v通过不同方法使这些数学成分形象化、符号化和公通过不同方法使这些数学成分形象化、符号化和公式化；式化；v找出蕴含其中的关系和规则；找出蕴含其中的关系和规则；v考虑相同数学成分在其他数学知识领域方面的体现；考虑相同数学成分在其他数学知识领域方面的体现；v作出形式化表述。作出形式化

16、表述。从符号到概念的数学化的基本流程是：从符号到概念的数学化的基本流程是：v用数学公式表示关系；用数学公式表示关系；v对有关规则作出证明；对有关规则作出证明；v尝试建立和使用不同的数学模型；尝试建立和使用不同的数学模型；v对得出的数学模型进行调整和加工；对得出的数学模型进行调整和加工；v综合不同数学模型的共性，形成功能更强的新模型；综合不同数学模型的共性，形成功能更强的新模型；v用已知数学公式和语言尽量准确地描述得到的新概用已知数学公式和语言尽量准确地描述得到的新概念和新方法；念和新方法；v作一般化的处理、推广。作一般化的处理、推广。(3) 什么是什么是“再创造再创造”？弗赖登塔尔认为存在两种

17、数学，一种是现成的或已完成的数学，另一种是活动的或者创新的数学。完成的数学在人们面前以形式演绎的面目出现，完成的数学在人们面前以形式演绎的面目出现，它完全颠倒了数学的思维过程和实际创造过程，它完全颠倒了数学的思维过程和实际创造过程，给予人们的是思维的结果；活动的数学则是数活动的数学则是数学家发现和创造数学的过程的真实体现，它表学家发现和创造数学的过程的真实体现，它表明了数学是一种艰难曲折又生动有趣的活动过明了数学是一种艰难曲折又生动有趣的活动过程。程。 v弗赖登塔尔所说的弗赖登塔尔所说的“再创造再创造”，其核心，其核心是数学过程再现。是数学过程再现。v学生学生“再创造再创造”学习数学的过程实际

18、上学习数学的过程实际上就是一个就是一个“做数学做数学”的过程。的过程。v教师的任务是引导和帮助学生去进行这教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作。种再创造的工作。日常生活中，象日常生活中，象“狗狗”、“椅子椅子”等概念，都等概念，都不需要事先给以严格的定义，儿童通过实际不需要事先给以严格的定义，儿童通过实际接触，自然地形成了概念。接触，自然地形成了概念。数学中的一些东西，同样来自现实，也可以通数学中的一些东西，同样来自现实，也可以通过学生的实际感受而形成概念。过学生的实际感受而形成概念。以学习平行四边形概念为例，教师可以出示一系列的平行以学习平行四边形概念为例，教师可以出示一系列的平

19、行四边形的图形或是实际例子，告诉学生这些就是四边形的图形或是实际例子，告诉学生这些就是“平行平行四边形四边形”，让学生自己进行比较、分析、研究。，让学生自己进行比较、分析、研究。在经过反复的观察与思考后，他们就会发现在经过反复的观察与思考后，他们就会发现“平行四边形平行四边形”的许多共同性质，的许多共同性质，如：对边平行、对角相等、邻角互补、如：对边平行、对角相等、邻角互补、对角线互相平分等等，接着就会进而发现这些性质之间对角线互相平分等等，接着就会进而发现这些性质之间的联系，可以由一个性质出发推出其它的性质，在教师的联系，可以由一个性质出发推出其它的性质，在教师的引导与学生间相互讨论的基础上

20、，学生就不仅掌握了的引导与学生间相互讨论的基础上，学生就不仅掌握了平行四边形的概念，同时也理解了形式定义的含义以及平行四边形的概念，同时也理解了形式定义的含义以及各种相关性与等价定义的概念各种相关性与等价定义的概念. 也就是说，学生也就是说，学生通过自己的实践活动学会了怎通过自己的实践活动学会了怎样定义一个数学的概念样定义一个数学的概念，对于定义的必要性，对于定义的必要性与作用都会有更深的体会，通过这样的与作用都会有更深的体会，通过这样的“再再创造创造”方式进行的概念教学，显然比将一个方式进行的概念教学，显然比将一个现成的定义强加给学生要有效得多现成的定义强加给学生要有效得多.伟大的教育家夸美

21、纽斯有一句名言伟大的教育家夸美纽斯有一句名言：“教一个活动的教一个活动的最好方法是演示。最好方法是演示。”他主张要打开学生的各种感觉他主张要打开学生的各种感觉器官，那就不仅是被动地通过语言依赖听觉来吸收器官，那就不仅是被动地通过语言依赖听觉来吸收知识，也包括眼睛看甚至手的触摸及动作。知识，也包括眼睛看甚至手的触摸及动作。弗赖登塔尔将这一思想进一步发展成为弗赖登塔尔将这一思想进一步发展成为“学一个活动学一个活动的最好方法是实践的最好方法是实践”，这样提法的目的是这样提法的目的是将强调的将强调的重点从教转向学，从教师的行为转到学生的活动，重点从教转向学，从教师的行为转到学生的活动，并且从感觉的效应

22、转为运动的效应。并且从感觉的效应转为运动的效应。就象游泳本身就象游泳本身也有理论，学游泳的人也需要观摩教练的示范动作，也有理论，学游泳的人也需要观摩教练的示范动作，但更重要的是他必须下水去实地练习，老是站在陆但更重要的是他必须下水去实地练习，老是站在陆地上是永远也学不会游泳的。地上是永远也学不会游泳的。 提倡按提倡按“再创造再创造”原则来进行数学教育，就是基于以原则来进行数学教育，就是基于以上原理，弗赖登塔尔认为可以从教育学的角度来找上原理，弗赖登塔尔认为可以从教育学的角度来找到这一做法的合理根据，至少可以提出以下三到这一做法的合理根据，至少可以提出以下三点：点： (1)(1)通过自身活动所得

23、到的知识与能力比由旁人通过自身活动所得到的知识与能力比由旁人硬塞的理解得透彻，掌握得快，同时也善于应用，硬塞的理解得透彻，掌握得快，同时也善于应用，一般来说还可以保持较长久的记忆。一般来说还可以保持较长久的记忆。 (2)(2)发现是一种乐趣，通过发现是一种乐趣，通过“再创造再创造”来进行学来进行学习能够引起学生的兴趣，并激发其学习动力。习能够引起学生的兴趣，并激发其学习动力。 (3)(3)通过通过“再创造再创造”方式，可以进一步促进人们方式，可以进一步促进人们形成数学教育是一种人类活动的看法。形成数学教育是一种人类活动的看法。 小 结弗赖登塔尔的数学教育理论不是弗赖登塔尔的数学教育理论不是“教

24、育学教育学+数数学例子学例子”式的论述，而是抓住数学教育的特式的论述，而是抓住数学教育的特征，紧扣数学教育的特殊过程，因而有征，紧扣数学教育的特殊过程，因而有“数数学现实学现实”、“数学化数学化”、“数学反思数学反思”、“再创造再创造”、“思辨数学思辨数学”等诸多特有的概等诸多特有的概念念.每一个概念以及他的每一个想法，都值得我们每一个概念以及他的每一个想法，都值得我们去思考、去领悟、去实践去思考、去领悟、去实践3.3.弗赖登塔尔数学教育思想对中学数学教育的启示弗赖登塔尔数学教育思想对中学数学教育的启示(1)(1)数学教学要立足于数学现实，着眼于超越现实数学教学要立足于数学现实，着眼于超越现实

25、按照数学源于现实，也必须寓于现实，并且用按照数学源于现实，也必须寓于现实，并且用于现实的弗赖登塔尔于现实的弗赖登塔尔“数学现实数学现实”思想，数思想，数学教学必须紧密联系实际。学教学必须紧密联系实际。 数学教学必须联系实际，而且要应用于实际。为了达数学教学必须联系实际，而且要应用于实际。为了达到这个目的，教师可以从几个方面努力：破除思维到这个目的，教师可以从几个方面努力：破除思维定势，主动树立联系实际的意识，并且要落到实处；定势，主动树立联系实际的意识，并且要落到实处；作为老师，要加强数学史的学习，数学史是数学和作为老师，要加强数学史的学习，数学史是数学和现实结合的历史，从这出发能更好的把握数

26、学的逻现实结合的历史，从这出发能更好的把握数学的逻辑；辑；引入生活中的新鲜例子，这就要求老师要关心引入生活中的新鲜例子，这就要求老师要关心周围的事物，了解他学科知识背景，并能从中抽象周围的事物，了解他学科知识背景，并能从中抽象数学问题。数学问题。数学教学要联系学生的实际，这个实际数学教学要联系学生的实际，这个实际要立足于学生要立足于学生现有的水平，并以超越学生现有水平为目的现有的水平，并以超越学生现有水平为目的，使学，使学生感觉到数学的有用之处，这才是数学教学中运用生感觉到数学的有用之处，这才是数学教学中运用“数学现实数学现实”的关键点。的关键点。(2)(2)注重学生的数学化过程，提倡探究教学

27、注重学生的数学化过程，提倡探究教学 学生学生“数学化数学化”的过程，就是将学生的数学现实进一的过程，就是将学生的数学现实进一步提高、组织、抽象的过程。步提高、组织、抽象的过程。它可以分为五个水平：直观阶段、分析阶段、抽象阶它可以分为五个水平：直观阶段、分析阶段、抽象阶段、演绎阶段和严谨阶段。这一思维水平是根据儿段、演绎阶段和严谨阶段。这一思维水平是根据儿童思维发展与学习过程提出的，故而不是要求每个童思维发展与学习过程提出的，故而不是要求每个学生都要一次完成所有阶段。数学教学中不能过分学生都要一次完成所有阶段。数学教学中不能过分强调公理化的演绎和形式化的证明，而应符合学生强调公理化的演绎和形式化的证明，而应符合学生的年龄特征的年龄特征 。根据弗赖登塔尔提出的应该让每个人在学习数根据弗赖登塔尔提出的应该让每个人在学习数学的过程中，根据自己的体验，用自己的思学的过程中，根据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识的观点。维方式，重