小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)

1、模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）广精选范本Si：S2S4：S3或者SiS3S2S4AO:OCS8：S4S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线ACBD分成四个部分，AOB1积为1平方千米，BOO积为2平方千米，4COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？A【分析】根据蝴蝶定理求得SAaod3121.5平方千米，公园四边

2、形ABCD的面积是1231.57.5平方千米，所以人工湖的面积是7.56.920.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知,求：三角形BGC的面积；AG:GC?【解析】根据蝴蝶定理, 根据蝴蝶定理,Svbgc 12 3,那么AG:GC 12:3Svbgc 6 ；61:3.(?)四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的1 ,且A0 2 , DO3 ,那么C0的长度是DO的长度的倍。在本题中，四边形 ABCD为任意四边形，对于这种"不良四边形” ，无外乎两种处理方法：利用已 知条件，向

3、已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条 件Svabd:Svbcd 1:3 ,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已 知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个"不良四边形”,于是可以作 AH垂直BD于H , CG垂直BD于G ,面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使 学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：:0C 2 OC:OD解法二：作AO：OC S ABD ：S B

4、DC 1:3,3 6, 6:3 2:1 .AH BD 于 H , CG BD 于 G .AH一S AOD1SS BCD , 31 .-CG ,31SS DOC ,3-1 一 AO -CO , 32 OC 2 3 6,3 OC:OD 6:3 2:1 .例3 如图，平行四边形 ABCD的对角线交于O点，4CEF、AOEF > AODF > ABOE的面积依次是2、 4、4和6。求：求 OCF的面积；求 4GCE的面积。【解析】根据题意可知，ABCD的面积为244616,那么ABCO和CDO的面积都是1628,所以OCF的面积为844;由于ABCO的面积为8,4BOE的面积为6,所以OC

5、E的面积为862,根据蝴蝶定理，EG:FGSCOE:SCOF2:41:2,所以Sgce:SgcfEG:FG1:2,112那么SgceScef12-1233例4图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？【解析】【例5】在VABE,VCDE中有AEBCED,所以VABE,VCDE的面积比为(AEEB):(CEDE)。同理有VADE,VBCE的面积比为（AEDE）:（BEEC）。所以有SVABExSVCDE=SVADEXSV3cE,也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成

6、上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。即SVAbe6=SVADE7,所以有VABE与VADE的面积比为7:6,SVAbe二二一3921公顷，SVAde=63918公顷。6767显然，最大的三角形的面积为21公顷。（2008年清华附中入学测试题为。）如图相邻两个格点间的距离是1,则图中阴影三角形的面积【解析】【巩固】连接AD、CD、BC。则可根据格点面积公式，可以得到ABC的面积为：1412,ACD的面积为:24ABD的面积为：2-13.24412所以BO：ODSabc：Sacd2：3.54：7,所以SaboSabd3471111如图，每个小方格的边长都是1,求

7、三角形ABC的面积。【解析】例6FD,求三角形AEG因为BD:CE2:5，且BD/CE,所以DA:AC2:5,SABCABC（2007年人大附中考题）如图，边长为1的正方形ABCD中，BE2EC,CF的面积.【解析】连接因为BE2EC,CFFD所以SDEF(2因为SAEDSwAI2BCD,根据蝴蝶定理,AG:GF)SWABCD所以SAGD6SGDF6sSADF7SWABCD4所以SAGESAEDSAGDSWABCD212SWAI14BCDSWABCD14SwaBCD7SWABCD122,7即三角形AEG的面积是27BE:EC 2:3 , DF : FC 1:2,三角形DFG的面积为2平方厘米，

8、求长【例7】如图，长方形ABCD中,方形ABCD的面积.【解析】因为 BE: EC 2:3 ， DF : FC1：2,所以 Svdefz3111o(cc)S长方形ABCD,cS长方形ABCD5321012平111因为SvaEDS方形ABCD，AG:GF:5:1,所以SvAGD5SvGDF10千方厘米，所以SvAFD2210ABCD的面积是72平方厘米.方厘米因为Svafd1+方形ABCD，所以长方形6【例8】如图，已知正方形 ABCD的边长为10厘米, 形BDG的面积.E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角【解析】设BD与CE的交点为O,连接BE、DF.由蝴蝶定理可知EO :OCSv

9、bed : SvBCD ,而SVBED-SWABCD， 4SvBCD-SWABCD，21，,由于F为CE中点，所以EFEC,故EO:EF2:3,FO:EO1:2.2由蝴蝶定理可知Svbfd：SvbedFO：EO1：2，所以&bfdSvbed13AA2A3A4A5As面积的一，那么空白部分的面积为正K边形面积的一 6 一,所以阴影部分面积为14147SaABCD，281_1_1那ASvbgdSvbfdSwabcd-10106.25（千方厘米）21616【例9】如图，在ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O,若AOM、ABO和BON的面积分别是3、2、1,则MNC的面

10、积是.这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.根据蝴蝶定理得S monS AOM S BON 3 13S AOB22设s MON x ,根据共边定理我们可以得S ANMS MNCS ABMS MBC22.5.【例10】（2009年迎春杯初赛六年级平方厘米.）正六边形AA2AAA5A6的面积是2009平方厘米，B1B2B3B4B5B6分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是【解析】如图，设B6A2与B1A的交点为O,则图中空白部分由6个与A20A3一样大小的三角形组成，只要求出了A20A3的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.连接A3A3、B6B1、B

11、6A3.设A1B1B6的面积为”1“，则B1A2B6面积为"1“，AA2B6面积为"2“，那么A6A3B6面积为AA2B6的2倍，为"4"，梯形AA2A3A6的面积为224212,A2B6A3的面积为”6“，B1A2A3的面积为2.612根据蝴蝶定理，BOA3OSB1A2B6：SA3A2B61：6,故SAOA3，SBAA一,1637121所以$为0%：6弟形aa2AAy：12:1:7,即A20A3的面积为梯形AAAA面积的亍，故为K边形3200911148（平万厘米）.7板块二梯形模型的应用梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”广2,2,a :b :ab:ab

12、 ；2a b . S1:S3a2:b2 Si:S3:S2:S4S的对应份数为梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果.（具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明）【解析】设G为a2份，S3为b2份，根据梯形蝴蝶定理，S34b2,所以b2;又因为S22ab,所以a1;那么Sa21,S4ab2,所以梯形面积SSiS2s3$12429,或者根22据梯形蝴蝶定理，Sab129.【巩固】（2006年南京智力数学冬令营）如下图，梯形ABCD的AB平行于CD,对角线AC,BD交于O,已知AOB与480。的

13、面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是平方厘米.根据梯形蝴蝶定理，Svaob : SvBOCC22222Sv AOB : Sv DOC a :b 5 :725: 49 ,25 35 35 49 144（平方厘米）.a2:ab25:35,可得a:b5:7,再根据梯形蝴蝶定理，所以Svdoc49（平方厘米）.那么梯形ABCD的面积为【例12】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点0,已知梯形上底为2,且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的-,求三角形AOD与三角形BOC的面积之比.3【解析】根据梯形蝴蝶定理，SVAOB：SVBOCab：b22:3,可以求出a:b2:3,再

14、根据梯形蝴蝶定理，SAOD:SBOCa2:b222:324:9.V/AOvoc通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论.【例13】（第十届华杯赛）如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于0点，已知A01,并且Y黑3，那么0C的长是多少？根据蝴蝶定理,三角形ABD的面积 三角形CBD的面积A0 ,所以也COCO3一一 .5士，又AO 1 ,所以CO -53【例14】三角形 OBC的面积是9cm2,问三角形 AOD的面积是多少?根据梯形蝴蝶定理，a:b 1:1.5 所以 S aod 4 c

15、m2 .2:3 , S AOD : S BOC2 , 222a :b 2 :34:9 ,COD的面积分别为【巩固】根据梯形蝴蝶定理，SVAOB : SVACOD1.2和2.7,求梯形ABCD的面积.a2: b2 4:9,所以 a :b 2:3 ,2SVAOD : SVAOBab : a b : a 3: 2 ,SVAODSVCOB1.22 1.8，S弟形ABCD1.2 1.8 1.8 2.7 7.5 .【例15】如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块,已知三角形 ADG的面积是11 ,三角形BCH的面积是23,求四边形EGFH的面积.【解析】如图，连结EF,显然四边形ADE群口四边形BC

16、ERTB是梯形，于是我们可以得到三角形EFG勺面积等于三角形ADG的面积；三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积，所以四边形EGFH的面积是112334.1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2【巩固】（人大附中入学测试题）如图，长方形中，若三角形的面积为36,则三角形1的面积为.【解析】做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角形3,所以1的面积就是36一匕16,3的面积就是36-20.4545【例16如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点.求图中阴影部分的面积.因为M是AD边上的中点，所以 AM :BCS*A AMG :

17、SA ABG : SA MCG: SA BCG2，、，1 :(1 2):(11:2,根据梯形蝴蝶定理可以知道2） :22 1:2:2:4,设区AGM 1 份，则 &MCD1 2 3 份,所以正方形的面积为1 2 2 4 3 12份，时影2 2 4份，所以"影：S正方形1: 3 ,所以时影1平方厘米.【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米.【解析】连接DE,根据题意可知BE:AD1:2,根据蝴蝶定理得S梯形（12）29（平方厘米），SAECD3（平方厘米），那么SwABCD12（

18、平方厘米）.【例17如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，E,F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积.【解析】因为E,F是DC边上的三等分点，所以EF:AB1:3,设SAOEF1份，根据梯形蝴蝶定理可以知道SaaoeSaofb3份，Saob9份，S.adeSabcf（13）份，因此正方形的面积为44（13）224份，升影6,所以S阴影：S正方形6:241:4,所以4影3平方厘米.【例18】ABCD中，AB 6厘米，AD 2厘米，AE EF FB ,求阴影部分的面积.如图，在长方形【解析】方法一：如图，连接DE,DE将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED的面积为26322平方厘米.

19、3一由于EF:DC1:3,根据梯形蝴蝶定理，Svdeo:Svefo3:1,所以SVDEO-SVDEF,而SvdefSvade24平方厘米，所以Svdeo 92 1.5平方厘米，阴影部分的面积为2 1.5 3.5平方厘米.方法二：如图，连接份,S梯形 EFCD(1 3)24 3 7份，而4DE , FC ,由于16 份,SA ADES:方形 ABCD 6 2EF : DC 1:3,设 S oefSA BCF 1 3 4份，因此BCF12平方厘米，所以，影1份，根据梯形蝴蝶定理,土方形 ABCD43.5平方厘米SA OED316 4 24 份,【例19】（2008年“奥数网杯”六年级试题 ）已知A

20、BCD是平行四边形,面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是 平方厘米.BC:CE 3: 2 ,三角形 ODE的【解析】连接AC.由于ABCD是平行四边形，BC:CE3:2,所以CE:AD2:3,根据梯形蝴蝶定理，SVCOE:SVAOC:SVDOE:SVAOD22:23:23:324:6:6:9,所以0.6（平方厘COOCOOVA5OC米），SVAOD9（平方厘米），又SVABCSVACD6915（平方厘米），阴影部分面积为61521（平方厘米）.【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米.AECD也是梯形，那么 SOCD

21、 SOAE. OCO【分析】连接AE .由于AD与BC是平行的，所以 根据蝴蝶定理，S OCD S OAE 所以SOCD 6（平方厘米）.2 一S OCE S OAD 4 936,故 S OCD 36 ,【巩固】（2008年三帆中学考题）右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米.【解析】连接AE.由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SOCDSOAE.OCO根据蝴蝶7E理,SocdSOAESOCESOAD 60 （平方厘米）.四边形ABEF的面积为60 5 10 20 25（平方厘米）.【巩固】如图所示， BD、

22、CF将长方形ABCD分成4块， DEF的面积是4平方厘米， CED的面积是6平 方厘米.问：四边形 ABEF的面积是多少平方厘米？816,故Socd16,所以Socd4（平方厘米）.另解：在平行四边形ABED中，Sade1Syabed116812（平方厘米），22所以SAOESADESAOD1284（平方厘米），根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244（平方厘米）.【例20】如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是5平方厘米,CED的面积是10平方厘米.问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米?【分析】连接BF ,根据梯形模型，可知三角形 方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BEF的

23、面积和三角形BCE的面积为10 10 5DEC的面积相等，即其面积也是 10平20（平方厘米），所以长方形的面积为20 10【解析】（法1）连接BF,根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等，即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为6649（平方厘米），所以长方形的面积为96230（平方厘米）.四边形ABEF的面积为3046911（平方厘米）.（法2）由题意可知，EF42,根据相似三角形性质，-ED空2,所以三角形BCE的面积为：EC63EBEC326-9（平万厘米）.则三角形CBD面积为15平万厘米，长万形面积为15230（平万厘米）

24、.四3边形ABEF的面积为3046911（平方厘米）.【巩固】（98迎春杯初赛）如图，ABCD长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB的长是9.那么四边形OECD的面积是多少？【解析】因为连接ED知道ABO和AEDO的面积相等即为54,又因为OD：OB=16：9,所以4AOD的面积为5491696,根据四边形的对角线性质知道：BEO的面积为：54549630.375,所以四边形OECD的面积为：549630.375119.625（平方厘米）.【例21】（2007年“迎春杯”高年级初赛）如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，

25、那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘米.【解析】连接DE、CF.四边形EDCF为梯形，所以SEODSFOC,又根据蝴蝶定理，ovOocSEODSFOCSEOFSCOD,所以SEODSFOCSEOFSCOD2816,所以SEOD4（平方厘米），SECD4812（平方厘米）.那么长方形ABCD的面积为12224平方厘米，四边形OFBC的面积为245289（平方厘米）.【例22（98迎春杯初赛）如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB的长是9.那么四边形OECD的面积是.【解析】解法一：连接DE ,依题意SVAOB1 八 八 1八BO AO 9 AO2254 ,

26、所以 AO 12 ,11则Sv AOD -DO AO - 16 12 96 .22又因为S/AOB得 SvBOE-21Svdoe 54 16 OE ,所以 OE 2133BO EO - 9 6- 30,2486r所以SOECDSvBDCSvBOES/ABDSvBOE54 963038斛法一:由于 S/aod : S/aobOD : OB 16:9 ,所以 Svaod5416蝴蝶定理,SVBOE SVAODSVAOB SVDOE，所以 S/BOE54 54 9696 ,而 S/doe330-，8Svaob54,根据所以SoecdSvBDCSvBOES/ABDS/BOE3554 9630- 119

27、 .88【例23 如图， ABC是等腰直角三角形,DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点.已知正方形DEFG的面积48,AK:KB1:3,则BKD的面积是多少?【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形.在梯形ADBC中，BDK和11ACK的面积是相等的.而AK:KB1:3,所以ACK的面积是ABC面积的1,那么BDK134的面积也是ABC面积的-.4由于ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AMDE,可见ABM和ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为48.那么BD

28、K的面积为48112.4【例24如图所示，ABCD是梯形，ADE面积是1.8,ABF的面积是9,BCF的面积是27.那么阴【解析】根据梯形蝴蝶定理，可以得到SafbSDFCSAFDSBFC,而SAFBSDFC（等积变换），所以可得QS AFB S CDF 9 9S AFD Z 并且S AEF所以阴影S BFCS ADF273,S AEDAEC的面积是:3 1.8 1.2,而 Safb :S BFC AF : FC 9:27 1:3, Saec Saef 4 1.2 44.8 .【例25】6 ,那么阴影部分面积为多少?连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴

29、蝶定理把六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积【例26】如图，已知 D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点.三角形ABC的面积是多少平方厘米?ABC由这6部分ADEF为梯形.在梯形因为E是DC中点，F为AC中点，有AD2FE且平行于AD,则四边形22ADEF中有=，X=*，：二人口：FE=4.又已知-=6,所以=6(41)2,二48,所以X=*=16,而=,所以=4,梯形ADEF的面积为、四块图形的面积和，为 8 4 4即为1:4 .所以VADC面积为梯形以VABD与VADC的面积相等，而2 18 .有VCEF与VADC的面积比为 CE平方与CD平方的比，ADEF面积

30、的 ±二4 ,即为18 - 24 .因为D是BC中点，所 4-1 33VABC的面积为 VABD、VADC的面积和，即为 24 24 48平方厘米.三角形ABC的面积为48平方厘米.【例27】如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为.本题中小正方形的位置不确定, 理来解决一般情况.所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5,因此空白处的总面积为6

31、1.5242222,阴影部分的面积为662214.解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2,下底都为6,上底、下底之比为2:61:3,根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之精选范本比为12:13:13:321:3:3:9，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的_9,阴影部分的面16积占该梯形面积的工，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的工，那么阴影部分的面积为1616722-(62)1416【例28如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE2BE,CF2DF,连接BF、DE,相交于点G,过G作MN、PQ得到两个正方形

32、MGQA和PCNG,设正方形MGQA的面积为S1,正方形PCNG的面积为S2,则S:5.精选范本【解析】连接BD、EF.设正方形ABCD边长为3,22222BD3318.因为EFBD818SAGEF:SAGBDSADGF:SnBGEEF2:BD2:EF22则CECF2,BEDF1,所以，EF2144122,所以EFBD12.由梯形蝴蝶定理,BD:EFBD8:18:12:124:9:6:6,8,所以，Sabge932,SaCEF2222,2所以S®形BDFESabcdSacef5,所以，SABGE625由于BGE底边BE上的高即为正方形PCNG的边长，所以CNND所以AM:CNDN:CN3:2,则S1:&AM2:CN29:4.F分别是AD和BC的中点,平方厘米.【例29如下图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且CD2AB,点E、已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯