第三章系统模型及模型化

1、1 第一节 系统模型与模型化概述 第二节 系统结构模型化基础 第三节 解释结构模型（解释结构模型（ISMISM） 第四节 状态空间模型2第一节第一节 系统模型与模型化概述系统模型与模型化概述一、模型及模型化的定义一、模型及模型化的定义 模型是实体系统模型是实体系统本质特征本质特征的抽象表达。的抽象表达。 本质特征包括实体的主要构成要素，要素间本质特征包括实体的主要构成要素，要素间的联系，实体与环境间的信息交换。的联系，实体与环境间的信息交换。 3 模型化：建模的过程和方法。模型化：建模的过程和方法。 现实性（反复）现实性（反复） 易处理性（简化）易处理性（简化）实际系统 模 型模型化实验、分析

2、解释比较结 论现实意义 模型的作用与地位模型的作用与地位4二、模型的分类5生产管理部门生产管理部门采购部门采购部门制造车间制造车间装配车间装配车间装运部门装运部门原料原料成品成品用户订货用户订货 工厂系统各个子系统的关系工厂系统各个子系统的关系6三、建模的基本步骤三、建模的基本步骤 1 1、明确建模的目的和要求、明确建模的目的和要求 2 2、对系统进行一般语言描述、对系统进行一般语言描述 3 3、弄清系统中的主要因素（变量）及其相互关、弄清系统中的主要因素（变量）及其相互关系（结构关系和函数关系）。系（结构关系和函数关系）。 4 4、确定模型类型、结构和主要参数；、确定模型类型、结构和主要参数

3、； 5 5、实验研究、实验研究 6 6、改进和修正模型、改进和修正模型 7 7、模型的应用、模型的应用7第二节第二节 系统结构模型化系统结构模型化基础基础一、结构模型一、结构模型 结构模型是用有向连接图或矩阵形式来描述结构模型是用有向连接图或矩阵形式来描述系统各要素间的关系，以表示一个要素集合体的系统各要素间的关系，以表示一个要素集合体的系统模型。系统模型。 结构模型化即建立系统结构模型的过程。结构模型化即建立系统结构模型的过程。 结构分析是实现系统结构模型化并加以解释结构分析是实现系统结构模型化并加以解释的过程。的过程。8二、系统结构的基本表达方式二、系统结构的基本表达方式 1 1、 系统的

4、集合表达系统的集合表达 设系统由设系统由n(n2)n(n2)个要素个要素(S(S1 1，S S2 2，S Sn n) )所组所组成，其集合为成，其集合为S S，则，则S=SS=S1 1，S S2 2，S Sn n 。 R Rb b=S=S上的二元关系组合上的二元关系组合 ：系统构成要素中满：系统构成要素中满足某种二元关系足某种二元关系R R的要素的要素S Si i，S Sj j的要素对（的要素对（S Si i，S Sj j) )的集合。的集合。 R Rb b=(S=(Si i,S,Sj j)|S)|Si i，S Sj jS,SS,Si iRSRSj j,i,j=1,2,n,i,j=1,2,n9

5、要素之间的二元关系要素之间的二元关系通常有通常有影响、因果、包含、隶属影响、因果、包含、隶属关系以及各种可关系以及各种可以以比较比较的关系的关系( (如大小、先后、轻重、优劣等如大小、先后、轻重、优劣等) )。10 二元关系的二元关系的传递性传递性二元关系通常具有传递性，如二元关系通常具有传递性，如S Si iRSRSj j、S Sj jRSRSk k, ,则则S Si iRSRSk k，传递性二元关系反映两个要素的间接联系，传递性二元关系反映两个要素的间接联系，可记作可记作R Rt t(t(t为传递次数为传递次数) )，如将，如将S Si i RSRSk k记为记为S Si i R R2 2

6、S Sk k 。对系统的任意构成要素对系统的任意构成要素S Si i和和S Sj j来说，既有来说，既有S Si iRSRSj j，又有又有S Sj jRSRSi i，这种相互关联的二元关系叫，这种相互关联的二元关系叫强连接强连接关关系。系。 11例例3-13-1 某系统由七个要素（某系统由七个要素（S S1 1，S S2 2，S S7 7）组）组成。经过两两判断认为：成。经过两两判断认为：S S2 2影响影响S S1 1、S S3 3影响影响S S4 4、S S4 4影响影响S S5 5、S S7 7影响影响S S2 2、S S4 4和和S S6 6相互影响。这样，该系相互影响。这样，该系统

7、的基本结构可用要素集合统的基本结构可用要素集合S S和二元关系集合和二元关系集合R Rb b来来表达，则：表达，则：S = SS = S1 1，S S2 2，S S3 3，S S4 4，S S5 5，S S6 6，S S7 7 R Rb b = = （S S2 2，S S1 1），（），（S S3 3，S S4 4），（），（S S4 4，S S5 5），）， （S S7 7，S S2 2），（），（S S4 4，S S6 6），（），（S S6 6，S S4 4） 122、有向图表达、有向图表达 有向图由节点和连接各节点的有向弧有向图由节点和连接各节点的有向弧( (箭线箭线) )组组成，可用

8、来表达系统的结构。成，可用来表达系统的结构。 具体方法是：用节点表示系统的各构成要素，具体方法是：用节点表示系统的各构成要素，用有向弧表示要素之间的二元关系。从节点用有向弧表示要素之间的二元关系。从节点i i(S(Si i) )到到j j(S(Sj j) )的最小的最小( (少少) )的有向弧数称为图中节点间通路长的有向弧数称为图中节点间通路长度度( (路长路长) )，也即要素，也即要素S Si i与与S Sj j间二元关系的传递次数。间二元关系的传递次数。13 在有向图中，从某节点出发，沿着有向弧在有向图中，从某节点出发，沿着有向弧通过其它某些节点各一次可回到该节点时，在通过其它某些节点各一

9、次可回到该节点时，在图中形成回路。呈强连接关系的要素节点间具图中形成回路。呈强连接关系的要素节点间具有双向回路。有双向回路。14图图3-1 有向图有向图S = SS = S1 1，S S2 2，S S3 3，S S4 4，S S5 5，S S6 6，S S7 7 R Rb b = = （S S2 2，S S1 1），（），（S S3 3，S S4 4），（），（S S4 4，S S5 5），）， （S S7 7，S S2 2），（），（S S4 4，S S6 6），（），（S S6 6，S S4 4） 153.3.矩阵表达矩阵表达（1） 邻接矩阵邻接矩阵 邻接矩阵邻接矩阵(A)(A)是表示系统

10、要素间基本二元关系或直接是表示系统要素间基本二元关系或直接联系情况的方阵。联系情况的方阵。 若若A=(aA=(aijij) )n nn n，则其定义式为：，则其定义式为：1, S1, Si iRSRSj j或或(S(Si i,S,Sj j)R)Rb b(S(Si i对对S Sj j有某种二元关系有某种二元关系) ) 0, S0, Si i S Sj j或或(S(Si i,S,Sj j) R) Rb b(S(Si i对对S Sj j没有某种二元关没有某种二元关系系) ) a aijij= =R与例与例3-1对应的邻接矩阵如下：对应的邻接矩阵如下：1601S1S2S3S4S5S6S7S1 S2 S

11、3 S4 S5 S6 S7A= 00000000000000010000000110000000000010000100000A A中中“1”1”的个数与例的个数与例3-13-1中中R Rb b所包含的要素对数目和所包含的要素对数目和图图3-3-5 5中有向弧的条数相等，均为中有向弧的条数相等，均为6 6。1701S1S2S3S4S5S6S7S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7A= 00000000000000010000000110000000000010000100000若有一列若有一列( (如第如第j j列列) )元素全为元素全为0 0，则，则S Sj j是系统的输入要是系统的输入要

12、素，如图素，如图3 3-5-5中的中的S S3 3和和S S7 7；若有一行；若有一行( (如第如第i i行行) )元素全元素全为为0 0，则，则S Si i是系统的输出要素，如图是系统的输出要素，如图3-3-5 5中的中的S S1 1和和S S5 5。18a a 若要素若要素S Si i和和S Sj j间存在着某种传递性二元关系，或有间存在着某种传递性二元关系，或有向图上存在着由节点向图上存在着由节点i i至至j j的有向通路时，称的有向通路时，称S Si i是是可以到达可以到达S Sj j的，或者说的，或者说S Sj j是是S Si i可以到达的。可以到达的。b b 所谓可达矩阵所谓可达矩

13、阵(M)(M)，就是表示系统要素之间任意次，就是表示系统要素之间任意次传递性二元关系或有向图上两个节点之间通过任传递性二元关系或有向图上两个节点之间通过任意长的路径可以到达情况的方阵。意长的路径可以到达情况的方阵。（2 2） 可达矩阵可达矩阵19若若M=(mM=(mijij) )n nn n，且在无回路条件下的最大路长或传递，且在无回路条件下的最大路长或传递次数为次数为r r，即有，即有00t tr r，则可达矩阵的定义式为，则可达矩阵的定义式为 M=(A+I)M=(A+I)r r 满足满足(A+I)(A+I)(A+I)(A+I)2 2 (A+I)(A+I)r-1 r-1 (A+I)A+I)r

14、 r =(A+I)=(A+I)r+1r+1 =.=(A+I)=.=(A+I)n n 0, Si Sj (不存在不存在i至至j的通路的通路)tRmij =1，Si Rt Sj (存在着存在着i至至j的路长最大为的路长最大为r的通路的通路) 20布尔代数法则：布尔代数法则：0+0=00+0=0，0+1=10+1=1，1+0=11+0=1，1+1=11+1=1，0 00=00=0，0 01=01=0，1 10=00=0，1 11=11=1矩阵运算：矩阵运算：A+B=B+AA+B=B+A，A+B+C=A+A+B+C=A+（B+CB+C），），A+A+（-A-A）=0=0，A-B=A+A-B=A+（-

15、-B B）与例与例3-13-1和图和图3-3-5 5对应的邻接矩阵为例：对应的邻接矩阵为例：2101S1S2S3S4S5S6S7S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7A= 0000000000000001000000011000000000001000010000011111111111 进一步计算发现进一步计算发现(A+I)(A+I)2 2= (A+I)= (A+I)3 3 ，即有即有r=2r=2，可达可达矩阵矩阵M=(A+I)M=(A+I)2 222（3 3）其他矩阵）其他矩阵 在邻接矩阵和可达矩阵的基础上，还有其在邻接矩阵和可达矩阵的基础上，还有其它表达系统结构并有助于实现系统结构模型

16、化它表达系统结构并有助于实现系统结构模型化的矩阵形式，如缩减矩阵、骨架矩阵等。的矩阵形式，如缩减矩阵、骨架矩阵等。231 1）缩减矩阵）缩减矩阵 根据强连接要素的可替换性，在已有的可达根据强连接要素的可替换性，在已有的可达矩阵矩阵M M中，将具有强连接关系的一组要素看作一中，将具有强连接关系的一组要素看作一个要素，保留其中的某个代表要素，删除其余要个要素，保留其中的某个代表要素，删除其余要素及其在素及其在M M中的行和列，即得到中的行和列，即得到M M的缩减矩阵的缩减矩阵MM。 2411S1S2S3S4S5S6S7S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7M= 00000010000000111

17、1000011 1000001 000001110110000111S1S2S3S4S5S7S1 S2 S3 S4 S5 S7M= 0000010000001110000110000010110001252 2）骨架矩阵）骨架矩阵 对于给定系统，对于给定系统，A A的可达矩阵的可达矩阵M M是唯一的，但是唯一的，但实现某一可达矩阵实现某一可达矩阵M M的邻接矩阵的邻接矩阵A A可以具有多个。可以具有多个。我们把实现某一可达矩阵我们把实现某一可达矩阵M M、具有最小二元关系个、具有最小二元关系个数数(“1”(“1”元素最少元素最少) )的邻接矩阵叫的邻接矩阵叫M M的最小实现二的最小实现二元关系

18、矩阵，或称之为骨架矩阵，记作元关系矩阵，或称之为骨架矩阵，记作AA。26系统结构三种基本表达方式的比较：系统结构三种基本表达方式的比较： 用用集合集合来表达系统结构概念清楚，在各种表来表达系统结构概念清楚，在各种表达方式中处于基础地位；达方式中处于基础地位；有向图有向图形式较为直观、形式较为直观、易于理解；易于理解；矩阵矩阵形式便于通过逻辑运算，用数学形式便于通过逻辑运算，用数学方法对系统结构进行分析处理。方法对系统结构进行分析处理。27 Interpretive Structural ModelingInterpretive Structural Modeling一、一、ISMISM概述概述

19、 美国沃菲尔德教授于美国沃菲尔德教授于19731973年作为分析复杂的年作为分析复杂的社会经济系统结构问题的一种方法而开发的。社会经济系统结构问题的一种方法而开发的。 方法：根据系统要素的邻接关系，求出可达方法：根据系统要素的邻接关系，求出可达矩阵，将它分离成子系统。矩阵，将它分离成子系统。 核心：通过对可达矩阵的处理，建立系统问核心：通过对可达矩阵的处理，建立系统问题的递阶结构模型（多级递阶有向图）。题的递阶结构模型（多级递阶有向图）。第三节第三节 解释结构模型（解释结构模型（ISMISM）281 1、判定二元关系，建立可达矩阵判定二元关系，建立可达矩阵M M及其及其 缩减矩阵缩减矩阵MM；

20、2 2、对、对MM进行层次化处理进行层次化处理，得，得 M(L) M(L)；3 3、根据、根据M(L)M(L)绘制多级递阶有向图绘制多级递阶有向图。二、建立二、建立ISMISM的实用方法的实用方法29 由分析小组寻找与问题有某种关系的要素，经集中由分析小组寻找与问题有某种关系的要素，经集中后，根据要素个数绘制后，根据要素个数绘制方格图方格图，并在每行右端依次注上，并在每行右端依次注上各要素的名称。各要素的名称。1 1、判定二元关系，建立可达矩阵及其缩减矩阵、判定二元关系，建立可达矩阵及其缩减矩阵30方格图方格图31 通过两两比较，直观确定各要素之间的二元关系，通过两两比较，直观确定各要素之间的

21、二元关系，并在两要素交汇处的方格内用符号并在两要素交汇处的方格内用符号V V、A A和和X X加以标识。加以标识。 V-V-行要素直接影响到列要素行要素直接影响到列要素 A-A-列要素直接影响行要素列要素直接影响行要素 X X-行列两要素相互影响行列两要素相互影响( (强连接强连接) )。1 1、判定二元关系，建立可达矩阵及其缩减矩阵、判定二元关系，建立可达矩阵及其缩减矩阵32方格图方格图33 根据要素间二元关系的传递性，逻辑推断出根据要素间二元关系的传递性，逻辑推断出要素间各次递推的二元关系，并用加括号的标识要素间各次递推的二元关系，并用加括号的标识符表示。符表示。 加入反映自身到达关系的单

22、位矩阵，建立起加入反映自身到达关系的单位矩阵，建立起系统要素的可达矩阵。系统要素的可达矩阵。34351 12 23 34 45 56 67 71000011011100000100000111000011110000000110000001 1 2 3 4 5 6 7M =M =加入单位矩阵，得到可达矩阵加入单位矩阵，得到可达矩阵M M361 12 23 34 45 57 7100011010000011000011100000011000001 1 2 3 4 5 7 M M= =删去强连接，得到缩减矩阵删去强连接，得到缩减矩阵MM37在在MM中按每行中按每行“1”“1”元素的多少，由少到多

23、顺元素的多少，由少到多顺次排列，调整次排列，调整MM的行和列，得到的行和列，得到M(L)M(L)；最后在；最后在M(L)M(L)中，从左上角到右下角，依次分解出最大阶中，从左上角到右下角，依次分解出最大阶数的单位矩阵，并加注方框。每个方框表示一个层数的单位矩阵，并加注方框。每个方框表示一个层次。次。2 2、对、对MM进行层次化处理，得进行层次化处理，得M(L)M(L)38152473 1 5 2 4 7 3100011010000011000011100000011000001缩减矩阵的层次化处理结果缩减矩阵的层次化处理结果39 首先把所有要素按已有层次排列，然后按照首先把所有要素按已有层次排

24、列，然后按照M(L)M(L)中两方框中两方框( (单位矩阵单位矩阵) )交汇处的交汇处的“1”“1”元素，元素，画出表征不同层次要素间直接联系的有向弧，形成画出表征不同层次要素间直接联系的有向弧，形成多级递阶有向图。多级递阶有向图。 3 3、根据、根据M(L)M(L)绘制多级递阶有向图绘制多级递阶有向图40 根据第二层到第一层间的根据第二层到第一层间的S S2 2RSRS1 1、S S4 4RSRS5 5和第三和第三层到第二层间的层到第二层间的S S7 7RSRS2 2、S S3 3RSRS4 4，并补充进被，并补充进被删掉删掉的的S S6 6，即可绘制出多级递阶有向图。，即可绘制出多级递阶有

25、向图。41思考：此图与最初的有向图有何区别？S1S2S7S3S4S5S6第第1级级第第2级级第第3级级多级递阶有向图多级递阶有向图42设定设定问题问题形成形成意识意识模型模型找出找出影响影响要素要素要素要素关系关系分析分析(关系关系图图)建立建立可达矩可达矩阵阵(M)和缩减和缩减矩阵矩阵(M/)矩阵矩阵层次层次化处化处理理M/ ( L)绘制绘制多级多级递阶递阶有向有向图图建立建立解释解释结构结构模型模型分析分析报告报告比较比较/学习学习ISMISM程序图程序图三、三、ISMISM程序程序43思考：思考：ISMISM技术可以解决的实际问题？技术可以解决的实际问题？本专业的主要课程体系本专业的主要

26、课程体系（分析主要课程之间的关系）（分析主要课程之间的关系）44工业工程类专业本科教学质量国家标准工业工程类专业本科教学质量国家标准通识教育课：高等数学、概率统计、计算机基础通识教育课：高等数学、概率统计、计算机基础.专业基础课：管理学、经济学、运筹学、应用统计专业基础课：管理学、经济学、运筹学、应用统计、系统工程、系统工程专业课：专业课：基础工业工程、人因工程、生产计划与控基础工业工程、人因工程、生产计划与控制、物流工程、质量管理制、物流工程、质量管理45第四节第四节 状态空间模型状态空间模型一、系统的状态和状态变量一、系统的状态和状态变量 （1 1）状态。状态是指完全描述）状态。状态是指完

27、全描述tttt0 0时系统行为所时系统行为所需变量的最小集合，该集合构成状态空间。需变量的最小集合，该集合构成状态空间。 （2 2）状态变量。）状态变量。 上述最小变量集合中的每个变量上述最小变量集合中的每个变量称为状态变量称为状态变量. .46二二、离散状态方程的求解、离散状态方程的求解 以自由系统为例，自由系统为例，X(K+1)=AX(K)X(K+1)=AX(K) 故故 X(1)=AX(0) X(1)=AX(0) X(K+1)=A X(K+1)=AK+1K+1X(0)X(0) A A为状态转移矩阵为状态转移矩阵47状态方程的应用之状态方程的应用之宏观观经济模型宏观观经济模型状态方程应用之二

28、状态方程应用之二人口模型人口模型状态方程应用之三状态方程应用之三预测产品销售量预测产品销售量48状态方程应用之三状态方程应用之三预测产品销售量预测产品销售量 2005 2005年牙膏购买的产品类型转变概率年牙膏购买的产品类型转变概率49状态转移矩阵状态转移矩阵 A=A=3 .01 .03 .01 .03 .03 .06 .06 .04 .050X(0)=2006年年X(1)=AX(0)= =2002001003 .01 .03 .01 .03 .03 .06 .06 .04 .020020010011011028051 2007年，年，X(2)=A2X(0) = X(K+1)=AK+1X(0)

29、3 .01 .03 .01 .03 .03 .06 .06 .04 .02002001003 . 01 . 03 . 01 . 03 . 03 . 06 . 06 . 04 . 052统计软件统计软件SPSSSPSS1 1、方差分析、方差分析2 2、相关分析、相关分析3 3、回归分析、回归分析4 4、主成分分析、主成分分析5 5、聚类分析、聚类分析53 1、方差分析方差分析（Analysis of VarianceAnalysis of Variance，ANOVAANOVA） 又称又称“变异数分析变异数分析”或或“F“F检验检验”，是，是R.A.FisterR.A.Fister发明的，用于两

30、个及两个以上样本均发明的，用于两个及两个以上样本均数数（MeanMean）差别的显著性检验。差别的显著性检验。 目的是通过数据分析找出对该事物有显著影目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最佳水平等。响因素的最佳水平等。542 2、相关分析（、相关分析（Correlation Analysis） 研究变量之间是否存在某种关联关系。研究变量之间是否存在某种关联关系。 线性相关分析：研究两个变量间线性关线性相关分析：研究两个变量间线性关系的程度。用相关系数系的程度。用相关系数r r来描述。来描述。 55正相

31、关：如果正相关：如果x,yx,y变化的方向一致，如身高与体重的变化的方向一致，如身高与体重的关系，关系，r0r0；一般地，；一般地，|r|0.95 |r|0.95 存在显著性相关；存在显著性相关；|r|0.8 |r|0.8 高度相关；高度相关；0.5|r|0.8 0.5|r|0.8 中度相关；中度相关；0.3|r|0.5 0.3|r|0.5 低度相关；低度相关；|r|0.3 |r|0.3 关系极弱，认为不相关关系极弱，认为不相关负相关：如果负相关：如果x,yx,y变化的方向相反，如吸烟与肺功能变化的方向相反，如吸烟与肺功能的关系，的关系，r0r0；无线性相关：无线性相关：r=0r=0。56 偏相关分析：研究两个变量之间的线性相关偏相关分析：研究两个变量之间的线性相关关系时，控制可能对其产生影响