312空间向量的数乘运算（2）

1、3.1.23.1.2空间向量的空间向量的数乘运算（二）数乘运算（二）2一、共线向量一、共线向量: :零向量与任意向量共线零向量与任意向量共线. .1.1.共线向量共线向量: :如果表示空间向量的有向线如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合段所在直线互相平行或重合, ,则这些向量叫则这些向量叫做共线向量做共线向量( (或平行向量或平行向量),),记作记作/a b 2.2.共线向量定理共线向量定理: :对空间任意两个向量对空间任意两个向量 的充要条件是存在实数的充要条件是存在实数 使使, (0),/a b bab ab3OABPa若若P P为为A,BA,B中点中点, , 则则12 OPO

2、AOB向量参数表示式向量参数表示式推论推论: :如果如果 为经过已知点为经过已知点A A且平行已知非零且平行已知非零向量向量 的直线的直线, ,那么对任一点那么对任一点O,O,点点P P在直线在直线 上上的充要条件是存在实数的充要条件是存在实数t,t,满足等式满足等式 其中向量其中向量 叫做直线叫做直线 的方向向量的方向向量. .laalOPOAta l若若 则则A、B、P三点共线。三点共线。OPOAtAB ()APtAB 或(1)OPxOAyOB xy 若，则A、B、P三点共线。312共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .OAaa注

3、意：注意：空间任意两个空间任意两个向量是共面的向量是共面的，但空，但空间任意三个向量就不间任意三个向量就不一定共面的了。一定共面的了。5 1、如果向量、如果向量e e1 1和和e e2 2是一平面内的两个不平是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量行的向量，那么，该平面内的任一向量a与与 e1, e2有什么关系有什么关系? 如果如果e1和和e2是一平面内的两个不平行的向是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量量，那么，该平面内的任一向量a，存在惟一存在惟一的一对实数的一对实数a a1 1，a a2 2，使使 a a1 e1 a2 e22、平面向量基本定理、平面向量基

4、本定理复习：复习：6 （1）必要性：必要性：如果向量如果向量c c与向量与向量a，b共面，共面，则通过平移一定可以使他们位于同一平面内，则通过平移一定可以使他们位于同一平面内，由平面向量基本定理可知，由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的实数对一定存在唯一的实数对x，y，使使c cx ay b3 3、共面向量定理：、共面向量定理： 如果两个向量如果两个向量a a，b b不共线不共线，则向量，则向量c c与向量与向量a a，b b 共面的共面的充要条件充要条件是，存在是，存在唯一唯一的一对实数的一对实数 x，y，使，使 cx ay b证明：证明：（2）充分性：充分性：如果如果c 满足关系式满足关

5、系式cxayb，则可选定一点则可选定一点O，作作OAxa，OBACyb，于是，于是OCOAACxaybc，显然显然OA，OB，OC，都在平面，都在平面OAB内内，故故c，a，b共面共面BACOc7OAabBCPp AP a b 与与 、共面, 唯一有序实数对( , ),x y使APxayb .点P在平面 上 唯一有序实数对( , ),x y使AP xa yb 已知点B C、在平面 内且AB a ,AC b ,对于空间任意一点O点P在平面 上 存在唯一有序实数对( , ),x y使OPOAxAByAC 8PQRS9共面向量定理的剖析共面向量定理的剖析 如果两个向量如果两个向量 a，b 不共线不共

6、线, , 向量向量c c与向量与向量a，b共共面面存在唯一的一对实数存在唯一的一对实数x，y，使，使 cxayb cxayb向量向量c c与向量与向量a，b共面共面( (性质性质) )( (判定判定) )10 试试 证证 明明 : :对对 于于 不不 共共 线线 的的 三三 点点A B C、 、和和 平平 面面ABC外外 的的一一 点点O, ,空空 间间 一一 点点P满满 足足 关关 系系 式式OPxOAyOBzOC , ,则则点点P在在 平平 面面 A AB BC C 内内 的的 充充 要要 条条 件件 是是1xyz . . 思考思考2（课本（课本P88思考）思考）即，即，P、A、B、C四点

7、共面。四点共面。11()()O P O A mO B O A nO C O A (1)O Pm nO A mO B nO C 又点O在平面ABC外,OA OB OC 、不共面,1,xmn ym zn ,1xyz 12平面AC（2）平面EGH四点共面G,F,求证：（1）E,ODOHOCOGOBOFOAOE且O为平面AC外一点，ABCD,例2.已知平行四边形13ABCDOEFGH四边形四边形ABCD为平行四边形为平行四边形 ACABAD （）EGOGOE kOCkOA ()k OCOA kAC （）代入（）代入()k ABAD ()k OBOAODOA OFOEOHOE 所以所以 E、F、G、H共

8、面。共面。EFEH ,ODOHOCOGOBOFOAOE证明：,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 14证明：证明：由面面平行判定定理的推论得：由面面平行判定定理的推论得：EFOFOE kOBkOA ()k OBOA kAB 由由知知EGkAC /EGAC/EFAB/EGAC面面面面ABCDOEFGH151.对于空间任意一点对于空间任意一点O，下列命题正确的是：，下列命题正确的是：(A)若若 ，则，则P、A、B共线共线(B)若若 ，则，则P是是AB的中点的中点(C)若若 ，则，则P、A、B不共线不共线(D)若若 ，则，则P、A、B共线共线OPOAt AB 3OPOAAB OPOAt

9、AB OPOAAB 2.已知点已知点M在平面在平面ABC内，并且对空间任意一点内，并且对空间任意一点O， , 则则x的值为的值为( )1( )1( )0( )3()3ABCDOMxOAOBOC11113333 163.下列下列说明正确的是：说明正确的是： (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线在平面内共线的向量在空间不一定共线(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线在空间共线的向量在平面内不一定共线(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线在平面内共线的向量在空间一定不共线(D)在空间共线的向量在平面内一定共线在空间共线的向量在平面内一定共线4.下列说法正确的是：下列说法正确的是： (A)平面内的任意两个向量都共线平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面空间的任意三个向量都