一次函数详细讲义(共9页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上1变量和函数一、变量1.变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.2.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。注意：（1）变量和常量是相对的，前提条件是在一个变化过程中；（2）常数也是常量，如圆周率要作为常量二、函数1.函数： 一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。注意：函数是相对自变量而言的，如对于两个变量x,y，y是x的函数，而不能简单的说出y是函数。判断一个关系式是否为函数关系：

2、一看是否在一个变化过程中，二看是否只有两个变量，三看对于一个变量没取到一个确定的值时，另一个变量是否有唯一的值与其对应。函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系 “有唯一值与对应”是指在自变量的取值范围内，每取一个确定值，都唯一的值与之相对应，否则不是的函数判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系取不同的值，的取值可以相同例如:函数中，时，；时，2.函数的三种表示形式（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法（2）列表法：通过列表表示函数的方法（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法3确定函数解析式的步骤（

3、1）根据题意列出两个变量的二元一次方程（2）用汉字变量的式子表示函数4确定自变量的取值范围（1）分母不为0（2）开平方时，被开方数非负性（3）实际问题对自变量的限制。注意：（1）整式型：一切实数（2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数（3）分式型：分母不为（4）复合型：不等式组（5）应用型：实际有意义即可2.函数图象一、函数图象的概念一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。注意：函数解析式与函数图象的关系（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；（2）函数图象上点的坐标满足函数

4、解析式二、描点法画函数图象的步骤（1）列表； （2）描点； （3）连线2.1 正比例函数1、正比例函数的定义：一般地，形如y=kx(k是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数注意：注意k是常数，k0的条件，当k=0时，无论x为何值，y的值都为0，所以它不是正比例函数。自变量x的指数只能为12、正比例函数图象和性质一般地，正比例函数y=kx（k为常数，k0）的图象是一条经过原点和（1,k）的一条直线，我们称它为直线y=kx.当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大，y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的

5、增大y反而减小.注意：解析式：y=kx（k是常数，k0）必过点：（0，0）、（1，k）走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴3、正比例函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx(k0)中的常数k，其基本步骤是：（1）设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k0)；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程；（3）解方程，求出待定系数k；（4）将求得的待定系数的值代回解析

6、式.2.2 一次函数一、一次函数的定义一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，即，这时即是前一节所学过的正比例函数注意：一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式当，时，仍是一次函数当，时，它不是一次函数一次函数的自变量取值范围是全体实数。正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数二、一次函数的图象及其画法1、图象：一次函数（，为常数）的图象是一条直线2、画法：由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可如果这个函数是正比例函数，通常取，两点；如果这个函数是一般的一次函数（），通常

7、取，即直线与两坐标轴的交点注意：由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线三、一次函数的性质当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小注意：一次函数的图象、性质与、的符号一次函数，符号图象性质随的增大而增大随的增大而减小字母k，b的作用：k决定函数趋势，b决定直线与y轴交点位置，也称为截距倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴图像的平移：b0时，将直线ykx的图象向上平移b个单位

8、，对应解析式为：ykxbb0时，将直线ykx的图象向下平移个单位，对应解析式为：ykxb口诀：“上下”将直线ykx的图象向左平移m个单位，对应解析式为：yk（xm）将直线ykx的图象向右平移m个单位，对应解析式为：yk（xm）口诀：“左右”直线y=kxb(k0)与坐标轴的交点(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)；(2)直线y=kxb与x轴交点坐标为(，0)与 y轴交点坐标为(0，b)四、用待定系数法求一次函数的解析式1、定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法2、用待定系数法求函数解析式的一般步骤：根据已知条件写出含有待

9、定系数的解析式；将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；解方程（组），得到待定系数的值；将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式注意：直线（）与（）的位置关系（1）两直线平行且（2）两直线相交（3）两直线重合且（4）两直线垂直3 用函数观点看方程和不等式一、一次函数与一元一次方程的关系：直线与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。求直线与x轴交点时，可令，得到方程，解方程得，直线交x轴于，就是直线与x轴交点的横坐标。二、一次函数与一元一次不等式的关系：任何一元一次不等式都可以转化为或(为常数，)的形式，所以解一元一次不等

10、式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。三、一次函数与二元一次方程（组）的关系：一次函数的解析式本身就是一个二元一次方程，直线上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程，因此二元一次方程的解也就有无数个。（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同.（2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点.4 方案选择1生产方案的设计例1 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件

11、B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。(1)要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你设计出来；(2)生产A、B两种产品获总利润是y(元)，其中一种的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少? (98年河北)解 (1)设安排生产A种产品x件，则生产B种产品是(50-x)件。由题意得 解不等式组得 30x32。因为x是整数，所以x只取30、31、32，相应的(50-x)的值是20、19、18。所以，生产的方案有三种，即第一种生产方案：生产A种产品30件，B种产品20件；第二种生产方案

12、：生产A种产品31件，B种产品19件；第三种生产方案：生产A种产品32件，B种产品18件。(2)设生产A种产品的件数是x，则生产B种产品的件数是50-x。由题意得y=700x+1200(50-x)=-500x+6000。(其中x只能取30，31，32。)因为 -500<0, 所以 此一次函数y随x的增大而减小，所以 当x=30时，y的值最大。因此，按第一种生产方案安排生产，获总利润最大，最大利润是：-500·3+6000=4500(元)。本题是利用不等式组的知识，得到几种生产方案的设计，再利用一次函数性质得出最佳设计方案问题。2.调运方案设计例2 北京某厂和上海某厂同时制成电子

13、计算机若干台，北京厂可支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台。如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是4百元/台、8百元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是3百元/台、5百元/台。求：(1)若总运费为8400元，上海运往汉口应是多少台?(2)若要求总运费不超过8200元，共有几种调运方案?(3)求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元?解 设上海厂运往汉口x台，那么上海运往重庆有(4-x)台，北京厂运往汉口(6-x)台，北京厂运往重庆(4+x)台，则总运费W关于x的一次函数关系式：W=3x+4(6-x)+5(4-x)+8(4+x)=76+2x。(1) 当W=84(

14、百元)时，则有76+2x=84,解得x=4。若总运费为8400元，上海厂应运往汉口4台。(2) 当W82(元)，则解得0x3，因为x只能取整数，所以x只有四种可的能值：0、1、2、3。答：若要求总运费不超过8200元，共有4种调运方案。(3) 因为一次函数W=76+2x随着x的增大而增大，又因为0x3，所以当x=0时，函数W=76+2x有最小值，最小值是W=76(百元)，即最低总运费是7600元。此时的调运方案是：上海厂的4台全部运往重庆；北京厂运往汉口6台，运往重庆4台。本题运用了函数思想得出了总运费W与变量x的一般关系，再根据要求运用方程思想、不等式等知识解决了调运方案的设计问题。并求出了

15、最低运费价。3 营方案的设计例3 某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额(指每日卖出商品所收到的总金额)为60万元。由于营业性质不同，分配到三个部的售货员的人数也就不等，根据经验，各类商品每1万元营业额所需售货员人数如表1，每1万元营业额所得利润情况如表2。表1 表2商品每1万元营业额所需人数商品每1万元营业额所得利润百货类5百货类03万元服装类4服装类05万元家电类2家电类02万元商场将计划日营业额分配给三个经营部，设分配给百货部、服装部和家电部的营业额分别为x(万元)、y(万元)、z(万元)(x,y,z都是整数)。(1) 请用含x的代数式分别

16、表示y和z；(2) 若商场预计每日的总利润为C(万元)，且C满足19C19.7，问这个商场应怎样分配日营业额给三个经营部?各部应分别安排多少名售货员?解 (1)由题意得，解得 (2) C=0.3x+0.5y+0.2z=-0.35x+22.5。因为 19C19.7， 所以 9-0.35x+22.519.7，解得 8x10。因为 x,y,z是正整，且x为偶数，所以 x=8或10。当x=8时，y=23,z=29，售货员分别为40人，92人，58人；当x=10时，y=20,z=30，售货员分别为50人，80人，60人。本题是运用方程组的知识，求出了用x的代数式表示y、z，再运用不等式和一次函数等知识解

17、决经营调配方案设计问题。4优惠方案的设计例4 某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游。甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优待。”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠。”若全票价为240元。(1)设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)；(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样；(3)就学生数x讨论哪家旅行社更优惠。解 (1)y甲=120x+240, y乙=240·60%(x+1)=144x+144。(2)根据题意，得120x+240=144x+144, 解得 x

18、=4。答：当学生人数为4人时，两家旅行社的收费一样多。(3)当y甲>y乙，120x+240>144x+144， 解得 x<4。当y甲<y乙,120x+240<144x+144, 解得 x>4。答：当学生人数少于4人时，乙旅行社更优惠；当学生人数多于4人时，甲旅行社更优惠；本题运用了一次函数、方程、不等式等知识，解决了优惠方案的设计问题。一、 生产方案的设计例1 （镇江市）在举国上下众志成城，共同抗击非典的非常时期，某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务要求在天之内（含天）生产型和型两种型号的口罩共万只，其中型口罩不得少于1.8万只，该厂的生产能力是：

19、若生产型口罩每天能生产0.6万只，若生产型口罩每天能生产0.8万只，已知生产一只型口罩可获利0.5元，生产一只型口罩可获利0.3元设该厂在这次任务中生产了型口罩万只问：（）该厂生产型口罩可获利润_万元，生产型口罩可获利润_万元； （）设该厂这次生产口罩的总利润是万元，试写出关于的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （）如果你是该厂厂长：在完成任务的前提下，你如何安排生产型和型口罩的只数，使获得的总利润最大？最大利润是多少？若要在最短时间内完成任务，你又如何来安排生产型和型口罩的只数?最短时间是多少？ 分析：（）0.5，0.3（5）；（）0.50.3（5）0.21.5，首先，1.8，但由于生产

20、能力的限制，不可能在天之内全部生产型口罩，假设最多用天生产型，则（）天生产型，依题意，得0.60.8（），解得，故最大值只能是0.6×74.2，所以的取值范围是1.8（万只）4.2（万只）；（）要使取得最大值，由于0.21.5是一次函数，且随增大而增大，故当取最大值4.2时，取最大值0.2×4.21.52.32（万元），即按排生产型4.2万只，型0.8万只，获得的总利润最大，为2.32万元；若要在最短时间完成任务，全部生产型所用时间最短，但要求生产型1.8万只，因此，除了生产型1.8万只外，其余的3.2万只应全部改为生产型所需最短时间为1.8÷0.63.2

21、7;0.8（天）二、营销方案的设计例（湖北）一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份元，卖不掉的报纸还可以0.20元的价格退回报社在一个月内（以30天计算），有20天每天可卖出100份，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同若以报亭每天从报社订购的份数为自变量，每月所获得的利润为函数（）写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？ 分析：（）由已知，得应满足60100，因此，报亭每月向报社订购报纸30份，销售（2060×10）份，可得利润0.3（2060

22、×10）6180（元）；退回报社10（60）份，亏本0.5×10（60）5300（元），故所获利润为（6180）（5300）480，即480自变量的取值范围是60100，且为整数（）因为是的一次函数，且随增大而增大，故当取最大值100时，最大值为100480580（元）三、优惠方案的设计例（南通市）某果品公司急需将一批不易存放的水果从市运到市销售现有三家运输公司可供选择，这三家运输公司提供的信息如下：运输单位运输速度（千米时）运输费用（元千米）包装与装卸时间（小时）包装与装卸费用（元）甲公司601500乙公司501000丙公司100103700解答下列问题:（）若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的倍，求，两市的距离（精确到个位）；（）如果，两市的距离为千米，且这批水果在包装与装卸以及运输过程中的损耗为300元小时，那么要使果品公司支付的总费用（包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和）最小，应选择哪家运输公司？ 分析：（）设，两市的距离为千米，则三家运输公司包装与装卸及运输的费用分别是：甲公司为（61500）元，乙公司为（81000）元，丙公司为（10700）元，依题意，得（81000）（10700）×（61500），解得216217（千米）；（） 设选择甲、乙、丙三家公司的总费用分别为，（单位：元），则三家运输公司