第三章 测量误差的传递

1、与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 在间接测量中，待求量通过间接测量的方程式在间接测量中，待求量通过间接测量的方程式 获得。通过测量获得量获得。通过测量获得量 的数值后，即可由上面的函的数值后，即可由上面的函数关系计算出待求量数关系计算出待求量y y 的数值。的数值。测量数据的误差怎样作用于间接量测量数据的误差怎样作用于间接量y y，即给定测，即给定测量数据的测量误差，怎样求出所得间接量量数据的测量误差，怎样求出所得间接量y y 的误的误差值差值? ? ),(21nxxxfynxxx,21与数据

2、处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 一般地，测量结果的误差是测量方法各环节的一般地，测量结果的误差是测量方法各环节的诸诸误差因素共同作用误差因素共同作用的结果。这些误差因素通过一的结果。这些误差因素通过一定的关系作用于测量结果。定的关系作用于测量结果。 研究测量误差的传递规律有重要意义，它不仅可研究测量误差的传递规律有重要意义，它不仅可直接用于已知系统误差的传递计算，并且是建立直接用于已知系统误差的传递计算，并且是建立不确定度合成规则的依据，因而是精度分析的基不确定度合成规则的依据，因而是精度分析的基

3、础。础。 与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 3.1 3.1 按定义计算测量误差按定义计算测量误差 l若对量若对量Y Y用某种方法测得结果用某种方法测得结果y y，则按测量误差的，则按测量误差的定义，该数据的测量误差应为定义，该数据的测量误差应为l设有如下测量方程设有如下测量方程 式中式中:y :y 间接测量结果；间接测量结果； 分别为各直接测得值分别为各直接测得值。 Yyy),(21nxxxfynxxx,21与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教

4、研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 u直接量的测量数据的测量误差分别为直接量的测量数据的测量误差分别为 式中，式中，X1X1，X2X2，XnXn分别为相应量的实际分别为相应量的实际值值( (真值真值) )。 111Xxx222XxxnnnXxx与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 l则间接测量结果的误差可写为式则间接测量结果的误差可写为式(3-2) (3-2) l上式给出了由测量数据的误差计算间接量上式给出了由测量数据的误差计算间接量y y的误的误差的传递关系式，这一误差关系是准确无

5、误的。差的传递关系式，这一误差关系是准确无误的。nnXXXfxxxfYyy,2121nnnXXXfxXxXxXf,212211与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 l使用范围及优点使用范围及优点 在误差传递计算中经常使用在误差传递计算中经常使用, ,特别是在特别是在单独单独分析某项误差因素对测量结果的影响分析某项误差因素对测量结果的影响时。时。 在这一影响关系在这一影响关系不便或不能化成简单的线不便或不能化成简单的线性关系时性关系时, ,这一方法更常使用。这一方法更常使用。 与数据处理Harbin

6、 Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 l举例举例例例3-1 3-1 设矩形长度为设矩形长度为x x，宽度为，宽度为y y，则矩形面积，则矩形面积s=xys=xy。现通过测量获得现通过测量获得x x和和y y的测得值，分别为和，的测得值，分别为和，其测量误差分别为和，如图其测量误差分别为和，如图3-13-1所示，求由所示，求由此引起的面积误差。此引起的面积误差。 xyxys与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 解解 这是间接

7、测量的这是间接测量的情形情形, ,按测量误差的定义按测量误差的定义, ,面积误差应为面积误差应为 该误差为三项之和该误差为三项之和, ,这三这三项分别相应于图中划有项分别相应于图中划有阴影的三块小面积。阴影的三块小面积。 xyyxsssxyyyxxyxxyyx与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 例例3-2 3-2 测量工件平行端面间测量工件平行端面间的距离的距离L L，若工件在测量，若工件在测量时，安置歪斜角，则时，安置歪斜角，则测量线与被测线方测量线与被测线方向不一致，分析由此引向不一致，分析

8、由此引起的测量误差起的测量误差( (图图3-2)3-2)。 acab与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 解解 由图由图3-23-2的三角形的三角形abcabc，被测量的实际值，被测量的实际值L L与测与测得值得值l l间有如下关系间有如下关系 按定义，测量误差为按定义，测量误差为将将 按级数展开，略去三次以上的高按级数展开，略去三次以上的高次项可得次项可得备注备注: :此例不能按下面所述的线性化的方法计算此例不能按下面所述的线性化的方法计算. . coslL cos1coslllLllcos12

9、21ll 与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 例例3-3 3-3 为求得某物体在给定时间间隔内的平均速度为求得某物体在给定时间间隔内的平均速度, ,测测得时间间隔得时间间隔t t和物体相应移过的距离和物体相应移过的距离s s, ,若测量误若测量误差分别为和差分别为和, ,求所给速度的误差表达式。求所给速度的误差表达式。解解 给出的速度应按下式计算给出的速度应按下式计算 而排除测量误差的速度表达式则为而排除测量误差的速度表达式则为 tsvttssVts与数据处理Harbin Institute o

10、f Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 按误差的定义，所给出速度的误差应为按误差的定义，所给出速度的误差应为 经整理并略去微小量可得经整理并略去微小量可得 ttsstsVvvttsstv21与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 例例3-4 3-4 如图如图3-33-3所示电路，设所示电路，设电阻电阻R R1 1、R R2 2的误差分别的误差分别为为 、 ，分析，分析V V0 0的误差。的误差。解解 由图示关系，得由图示关系，得 1R2RsVRRRV

11、1220与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 由由 与与 引入引入V V0 0的误差为的误差为 由于由于R R1 1, , R R2 2，故上式可简化为，故上式可简化为000VVVssVRRRVRRRRRR212221222sVRRRRRRRRRR21212112212R1R1R2R与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 u小结小结由例由例3-43-4可见，对于间接测量的函数可见，对于间接测量的函数 ；

12、当测得值；当测得值 时，若按由误差定义所给出的式时，若按由误差定义所给出的式(3-2)(3-2)直接计算直接计算y y 的误差，一般来说是较为繁杂的误差，一般来说是较为繁杂的。的。12212210RRRRRRVVs),(21nxxxfynxxx,21与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递改进改进 式式(3-2)(3-2)给出的误差计算关系是完全准确的给出的误差计算关系是完全准确的, ,其中包括了若干微小因素。这些微小因素其中包括了若干微小因素。这些微小因素产生了非线性的关系产生了非线性的关系, ,造成

13、误差表达式的复造成误差表达式的复杂性。将杂性。将这些微小量适当舍弃这些微小量适当舍弃以后以后, ,可使可使误误差表达式大为简化差表达式大为简化。与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 3.2 3.2 函数误差传递计算的线性化函数误差传递计算的线性化u设有函数设有函数若若 分别含有误差分别含有误差 ，则则y y的误差为的误差为u为获得简单的误差关系式，将函数为获得简单的误差关系式，将函数 按泰勒级数展开，并略去二按泰勒级数展开，并略去二次以上的高次项，则得次以上的高次项，则得),(21nxxxfynx

14、xx,21nxxx,21nnXXXfxxxfy,2121),(21nxxxfy2202110121,XxxfXxxfXXXfn),(21nxxxfy与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 式中式中: : 分别为分别为 的真值；的真值；nnnXxxf0nnnxxfxxfxxfXXXf020210121,nXXX,21nxxx,21与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 分别为分别为 的误差；的误差； 分别为

15、函数分别为函数 对对 的偏导的偏导 数在数在 处的值。处的值。nxxx,21nxxx,2100201,nxfxfxf),(21nxxxfnnXxXxXx,2211nxxx,21与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 将展开式代人上面的误差式中，则有将展开式代人上面的误差式中，则有 或简单写成或简单写成( (式式3-3)3-3)nnXXXfxxxfy,),(2121nnxxfxxfxxf0202101iniinnxxfxxfxxfxxfy12211与数据处理Harbin Institute of Te

16、chnology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 l式中:偏导数 可用真值Xi 代入求得，也可用测得值xi 代入求得。这是因为xi 与Xi 的差别甚小，相应的偏导数值十分接近。 ixf与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 l上式表明，函数上式表明，函数y y 的总误差应是各误差分的总误差应是各误差分量量 与相应偏导数与相应偏导数 之积的代数和之积的代数和, ,即函数即函数y y 的总误差是各误差的总误差是各误差分量分量 的线性和。的线性和。 ixfixix与数据处理

17、Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 l优点优点 获得了线性的误差传递关系获得了线性的误差传递关系。既。既简明简明, ,又有规则又有规则。在函数关系较复杂时。在函数关系较复杂时, ,更具有突出的优越性。更具有突出的优越性。l局限性局限性函数关系通常是非线性的函数关系通常是非线性的, ,在作线性化处理时需在作线性化处理时需要略去展开式中二次以上的高次项要略去展开式中二次以上的高次项, ,保留的一次保留的一次项部分项部分( (即线性部分即线性部分) )只是原来的函数只是原来的函数y y的近似表的近似表达式达式,

18、 ,因此因此, ,式式3-33-3在一般情况下只是一个近似的在一般情况下只是一个近似的关系式。只有在关系式。只有在y y是是x xi i 的线性函数时的线性函数时, ,该式才是该式才是准确的。准确的。 与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 当展开式的当展开式的高次项不可忽略高次项不可忽略( (如例如例3-2)3-2)时时, ,函数函数不能作线性化处理不能作线性化处理, ,此时只能直接按定义计算此时只能直接按定义计算误差。误差。 就一般情形看就一般情形看, ,由于测量误差相对来说通常是由于测量误差相

19、对来说通常是很微小的很微小的, ,所以所以函数线性化处理时略去的高次函数线性化处理时略去的高次项部分也常可忽略不计项部分也常可忽略不计。可以说。可以说, ,一般按线性一般按线性和求总误差在实用上具有足够的精度和求总误差在实用上具有足够的精度, ,因而式因而式(3-3),(3-3),具有普遍意义。具有普遍意义。 与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 对一些具有特殊函数关系的间接量的处理对一些具有特殊函数关系的间接量的处理u对于线性函数对于线性函数式中，式中， 为系数。为系数。 间接量间接量y y 的

20、总误差应为式的总误差应为式(3-4) (3-4) 当当 时，则有式时，则有式(3-5) (3-5) nnxkxkxky2211nkkk,21niiinnxkxkxkxky12211121nkkkniinxxxxy121与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 u对于三角函数对于三角函数 由式由式(3-3)(3-3)，得，得 为求角度的误差，对正弦函数微分为求角度的误差，对正弦函数微分 则有则有 以误差量代替微分量，得以误差量代替微分量，得 ),(sin21nxxxfnnxxfxxfxxf2211)(s

21、inddcossincossinddcossin与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 将式将式(3-6)(3-6)代人上式，得角度误差的表达式代人上式，得角度误差的表达式 u同样，也可给出具有其他三角函数关系的角度同样，也可给出具有其他三角函数关系的角度误差表达式。误差表达式。 对于函数对于函数 角度角度 的误差式为的误差式为 ) +(cos12211nnxxfxxfxxfiniixxf1cos1),(cos21nxxxfiniixxf1sin1与数据处理Harbin Institute of T

22、echnology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 对于函数对于函数角度角度 的误差式为的误差式为对于函数对于函数角度角度 的误差式为的误差式为对于对数函数对于对数函数 y y的误差式为的误差式为 ),(21nxxxftginiixxf12cos),(21nxxxfctgxylnxxy1iniixxf12sin与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 对于对数函数对于对数函数 y y的误差式为的误差式为u当函数误差以相对误差的形式给出时，由式当函数误差以相对误差的形式给

23、出时，由式(3-(3-3)3)，其传递关系为，其传递关系为 或写成或写成 xyalogxxxyln1iniiyxxfyyy11iniiyxxfyy1ln与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 u以相对误差表示各误差分量时，其传递关系为以相对误差表示各误差分量时，其传递关系为 或或例例3-5 3-5 利用线性化的方法给出例利用线性化的方法给出例3-33-3中速度的误中速度的误差表达式。差表达式。ixiniiyxxfy11ixiniiyxxf1lns与数据处理Harbin Institute of Te

24、chnology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 解解 由速度的函数式，求偏导数有由速度的函数式，求偏导数有 根据误差传递关系式根据误差传递关系式(3-3)(3-3)，由测量误差，由测量误差 和和 引起的引起的v v 的误差为：的误差为： tsvs12tstvtsst与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 小结小结 这一结果与例这一结果与例3-33-3中经简化处理中经简化处理( (将将 和和 的系数的分母中的略去的系数的分母中的略去) )后的结果相同，表明这后的结果相

25、同，表明这一结果是一结果是v v 的近似的、但却是十分简单的误差表的近似的、但却是十分简单的误差表达式。达式。 sttsstttvssvtsvts21st与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 例例3-6 3-6 利用函数线性化的方法给出例利用函数线性化的方法给出例3-43-4中输出中输出V V0 0的误差表达式。的误差表达式。 解解 对输出电压对输出电压V V0 0 的函数式的函数式 求偏导求偏导, ,有有 则按式则按式(3-3),(3-3),V V0 0的误差式为的误差式为 ssVRRRV212

26、0;212101sRVRRRVV;2211202sRVRRRVV22211122122201100RRRVRRRRVRRRVRRVVss与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 例例3-7 3-7 以压力以压力F F 将一直径为将一直径为D D 的钢球压人样块的钢球压人样块，样块上压痕高度为，样块上压痕高度为t t，则样块的布氏硬度为，则样块的布氏硬度为 ( (F F 的单位为的单位为N N，D D、t t的单位为的单位为mm)mm)。设所加负荷。设所加负荷F F=29420N=29420N，钢球直径

27、，钢球直径D=D=10mm10mm，测得压痕高度，测得压痕高度t=t=0.425mm0.425mm，试给出布氏硬度的误差表达式，试给出布氏硬度的误差表达式( (只考只考虑虑F F、D D、t t的误差的误差) )。 sDtFHB102.0与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 解解 设所加压力设所加压力F F 的误差为的误差为 ，钢球直径，钢球直径D D 的的误差为误差为 ，压痕高度，压痕高度t t 的测量误差为的测量误差为 ，则布，则布氏硬度误差的线性化的表达式为氏硬度误差的线性化的表达式为 sF

28、DtttHBDDHBFFHBHB与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 现计算各偏导数现计算各偏导数( (量纲略量纲略) ) 则可得所给硬度值的误差表达式则可得所给硬度值的误差表达式 由上式可见，由上式可见， 的系数较大，所以对的系数较大，所以对t t 的测量精的测量精度应有较高的要求。度应有较高的要求。s;106 . 7425. 0101416. 3102. 0102. 0102. 03DtDtFFFHP; 5 .22425. 0101416. 329420102. 0102. 0102. 022

29、tDFDtFDDHP;529425. 0101416. 329420102. 0102. 0102. 022DtFDtFttHPtDFHP5295 .220076. 0t与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 3.3 3.3 误差传递计算的线性叠加法则误差传递计算的线性叠加法则 l公式公式(3-3)(3-3)表明表明: :函数的误差是自变量误差的线性函数的误差是自变量误差的线性和和。若把函数。若把函数y y看作是间接测量的量，自变量看作是间接测量的量，自变量xixi看作是直接的测量结果，则间接量的误

30、差应是直看作是直接的测量结果，则间接量的误差应是直接测量数据误差的线性和。接测量数据误差的线性和。l把上述误差的线性叠加关系把上述误差的线性叠加关系推广推广到一般的情形。到一般的情形。不管能否写出如上所述的函数关系不管能否写出如上所述的函数关系, ,一般可将测一般可将测量结果量结果y y 的误差表示为的误差表示为 s17)-(3 12211iniinnxxxxy与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 式中式中: : 测量结果的总误差；测量结果的总误差； 原始误差原始误差, ,包括直接量包括直接量 的

31、误差和其他各种因素的误差和其他各种因素 造成的误差造成的误差; ; 各原始误差相应的系数各原始误差相应的系数, , 称为原始误差的传递系统称为原始误差的传递系统; ; 局部误差或分量误差。局部误差或分量误差。synxxx,21n,21iix与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 l式式(3-17)(3-17)表明表明: :测量结果的总误差等于各原测量结果的总误差等于各原始误差分别乘以相应的传递系数后的代数始误差分别乘以相应的传递系数后的代数和，即和，即测量结果的总误差可表述为各原始测量结果的总误差可

32、表述为各原始误差的线性和误差的线性和( (局部误差之和局部误差之和) )，这就是这就是误误差传递的线性叠加法则差传递的线性叠加法则。s与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 l按按绝对误差绝对误差加以讨论的误差传递关系的基加以讨论的误差传递关系的基本表达形式。本表达形式。 误差作用具有误差作用具有独立性独立性，即各原始误差对测，即各原始误差对测量结果的作用是独立的，一个误差因素对量结果的作用是独立的，一个误差因素对测量结果的影响与其他误差因素的大小无测量结果的影响与其他误差因素的大小无关，它们构成总

33、误差的单独组成部分。关，它们构成总误差的单独组成部分。s与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 误差的线性叠加法则给出了一个误差的线性叠加法则给出了一个形式非常形式非常简单、使用非常方便简单、使用非常方便的误差传递关系。的误差传递关系。 任何一个任何一个原始误差只要乘以相应的传递系原始误差只要乘以相应的传递系数数即可折合为最终结果的误差分量。传递即可折合为最终结果的误差分量。传递系数可以通过求导数的方法得到，也可以系数可以通过求导数的方法得到，也可以通过其他方法求得。通过其他方法求得。与数据处理Har

34、bin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 严格地说严格地说, ,误差因素与总误差之间的这一线性关误差因素与总误差之间的这一线性关系只是近似的系只是近似的. .在一般情况下在一般情况下, ,由于误差量相对于由于误差量相对于被测量来说总是很微小的被测量来说总是很微小的, ,所以非线性的影响十所以非线性的影响十分微小分微小, ,可忽略不计可忽略不计, ,即可认为误差对最终结果是即可认为误差对最终结果是按线性关系按线性关系独立作用的。独立作用的。 误差作用的线性叠加法则误差作用的线性叠加法则可用于已知系统误差的可用于已知系统

35、误差的分析计算分析计算, ,并且是建立不确定度合成法则的基本并且是建立不确定度合成法则的基本依据依据, ,因而是精度分析的基础。因而是精度分析的基础。s与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递l按按相对误差相对误差加以讨论的误差传递关系的基本表达加以讨论的误差传递关系的基本表达形式。形式。 设测量结果设测量结果y y 有式有式(3-17)(3-17)的误差传递关系的误差传递关系, ,则其则其相对误差可表示为相对误差可表示为17)-(3 12211iniinnxxxxy与数据处理Harbin Instit

36、ute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 或写成或写成 即即 式中式中: : x xi i的相对误差，的相对误差， 的传递系数。的传递系数。 s19)-(3 1111ixniiiiiniiiyxyxxxy20)-(3 1ixniiybixxxiiibix与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 式式(3-20)(3-20)即为相对误差的线性叠加关系，其传递即为相对误差的线性叠加关系，其传递系数系数 与绝对误差形式的线性叠加传递系数与绝对误差形式

37、的线性叠加传递系数 有如下关系有如下关系若若则有则有若若 则有则有 sibi21)-(3 iiiyxbnxxxy,21nnyxxxxxxyy221122)-(3 21nxxx21xxy 23)-(3 212211xxyxxxxyy与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 例例3-8 3-8 按线性叠加法则分析计算例按线性叠加法则分析计算例3-13-1中面积中面积s s 的误差。的误差。解解 根据误差作用的线性叠加法则根据误差作用的线性叠加法则( (式式3-17),3-17),矩形矩形面积面积s s 的

38、误差可写成的误差可写成 由间接测量的函数式由间接测量的函数式s=s=xyxy，得，得 则面积则面积s s 的误差式可写成的误差式可写成将这一结果与例将这一结果与例3-13-1所得结果作对比可见所得结果作对比可见: : syxsysxysyxsyx;yxxys与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 这一结果只包含二项线性的误差项。而例这一结果只包含二项线性的误差项。而例3-13-1的结果中还包含一项非线性的二次项的结果中还包含一项非线性的二次项 , ,是准确的误差式。是准确的误差式。由于误差量由于误差

39、量 相对于相对于x x与与y y是十分微小是十分微小的，所以其非线性部分的值相对来说十分的，所以其非线性部分的值相对来说十分微小，可忽略不计。因此，在按线性叠加微小，可忽略不计。因此，在按线性叠加法则计算时法则计算时略去这一部分略去这一部分，对实际结果影，对实际结果影响极小。响极小。 syxyx,与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 例例3-9 3-9 三块量块三块量块L1L1、L2L2、L3L3的中心长度误差分的中心长度误差分别为别为 -0.5-0.51010-3-3mmmm， 0.20.210

40、10-3-3mmmm， 0.10.11010-3-3mm,mm,求三块量块组合后的尺寸误差求三块量块组合后的尺寸误差. .解解 三块量块组合尺寸为三块量块组合尺寸为 由此可得由此可得 的传递系数都为的传递系数都为1 1，则按式则按式(3-17)(3-17)，组合尺寸的误差应为，组合尺寸的误差应为 =(-0.5=(-0.51010-3-3mm+0.2mm+0.21010-3-3mm+0.1mm+0.1 10 10-3-3mm)=-0.2mm)=-0.21010-3-3mmmm s1L2L3L321LLLL321,LLL321LLLL与数据处理Harbin Institute of Technol

41、ogy 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 例例3-10 3-10 测量闸门时间测量闸门时间T T 与计数的脉冲数与计数的脉冲数N N，则，则 频率可按式频率可按式 求得，若已知求得，若已知N N、T T 的相对的相对 误差误差 、 ，给出，给出f f 的相对误差。的相对误差。 解解 由测量方程由测量方程 得误差传递关系式得误差传递关系式sTNf NTTNf TTNNTf21与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 其相对误差为其相对误差为 即即 sTTNNTTfTNNNf

42、TNfffTNf与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 例例3-11 3-11 已知光在空气中的波长已知光在空气中的波长,空气折射率空气折射率n n 与光在真空中与光在真空中的波长如有下关系：的波长如有下关系： 当空气温度改变当空气温度改变 而引起的空气折射率变化为而引起的空气折射率变化为 s,0nt; nnntt按定义直接计算和用微分法分别给出由此引起的波长按定义直接计算和用微分法分别给出由此引起的波长变化，并作对比。变化，并作对比。 与数据处理Harbin Institute of Techno

43、logy 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 按定义直接计算按定义直接计算 波长误差应为波长误差应为 而而 代入误差式，得代入误差式，得 sttttnnttttttttnnnnnnnnn与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 微分法 对式 微分得波长误差 将 代入上式，得 sn0ttnn20ttnnn0与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 对比对比 1)1)按定义计算的结果应

44、为准确的结果。 2)2)微分法线性化的结果是近似的。 3)3)二者差异十分微小。 stttttnnnnnnn112)(tttttnnnnnnnn与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 4)4)用用微分法微分法获得的线性化的结果具有获得的线性化的结果具有足够足够高的近似程度高的近似程度。 代入空气折射率代入空气折射率n=n=1.00027651.0002765，温度偏差，温度偏差11时的折射率偏差时的折射率偏差 =-9.3=-9.310-710-7，则，则 stn1410644. 8与数据处理Harb

45、in Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 例例3-12 3-12 分析杆秤的误差因素及其传递关系。分析杆秤的误差因素及其传递关系。 s与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 解解 杆秤是按杠杆原理设计的。设被称量的质量杆秤是按杠杆原理设计的。设被称量的质量为为M M，秤砣质量为，秤砣质量为m m，秤盘质量为，秤盘质量为 ，秤秆质量，秤秆质量为为u u，秤秆上各作用点几何关系如图，秤秆上各作用点几何关系如图3-43-4所示。所

46、示。 当秤盘中不放任何物品，提起秤杆时，将秤砣置当秤盘中不放任何物品，提起秤杆时，将秤砣置于于O O2 2处，秤杆平衡处，秤杆平衡( (O O2 2为定盘星位置为定盘星位置) )，由杠杆原，由杠杆原理，此时有如下关系理，此时有如下关系 sw(1) cugbmgawg与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 式中式中: :g g为重力加速度；为重力加速度；c c为秤杆重心至提手处的为秤杆重心至提手处的距离。上式可简化为距离。上式可简化为 当称量质量为当称量质量为M M 时，秤砣置于时，秤砣置于O O3

47、3，秤杆平衡，则，秤杆平衡，则有如下关系有如下关系 s(2) cubmaw(3) mlbcuawaM与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 考虑到式考虑到式(2)(2)，则有，则有 因而因而, ,质量质量M M 可由长度可由长度l按一定的刻度指示出来。按一定的刻度指示出来。对于确定的杆秤，对于确定的杆秤， 为一常数。为一常数。 当读取的当读取的l值有误差值有误差 ，则称得的质量，则称得的质量M M 的误差的误差应为应为 误差误差 包括：各参数包括：各参数( (m m、w w、u u及及a a、b b

48、、c)c)误差误差引起的读数误差引起的读数误差 ，刻度误差，刻度误差 ，秤的灵敏阈，秤的灵敏阈 引起的误差引起的误差 ，及人的判读误差，及人的判读误差 等。等。s(4) kllamMkam/l(5) lkMl1l2l3l4l与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 按线性叠加法则，称量的总误差应是各分量的线按线性叠加法则，称量的总误差应是各分量的线性和性和 现进一步分析误差分量现进一步分析误差分量 。由式。由式(3)(3)，l可表示可表示为为 s4321MMMMM(6) 4321lklklklk1M(

49、7) bmcumaMmawl与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 当式当式(7)(7)中各参数有误差时，读数误差为中各参数有误差时，读数误差为 则则 smcuaMawmumcwmal211(8) 1cmubaMwm(9) 11lkM与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 将将 及及k=m/ak=m/a代人代人(9)(9)，则有，则有 s1lmuacMwmuacwM11(10) 1caubamaMwa与数

50、据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 例例3-133-13 分析用量杯量取分析用量杯量取溶液时的误差，溶液时的误差，如图如图3-53-5所示。所示。 s与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 解解 用量杯量取溶液是按体积度量的，影响度量的误差因素是与体积有关的诸因素。 (1)(1)量杯内径误差 设量杯内径为d，所量溶液相应刻度的高度为h，则相应的容积为shdV241与数据处理Harbin Institute

51、 of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 当有内径误差 时，对上式微分可得相应的容积误差分量 该项分量为系统误差。 sddddhV211与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 (2)(2)量杯刻度误差量杯刻度误差 若量杯刻度误差为 ，对V 微分可得相应的容积误差为 该项误差也为系统误差。shhdV2241与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 (3)(3

52、)观测误差观测误差 观测度量时，液面应与刻度瞄准重合。但因观观测度量时，液面应与刻度瞄准重合。但因观察方式、习惯及人眼的判断能力等因素的影响，察方式、习惯及人眼的判断能力等因素的影响，使液面与刻度瞄准有误差使液面与刻度瞄准有误差 ，产生的容积度量，产生的容积度量误差为误差为 这一误差包括随机的与系统的两部分。这一误差包括随机的与系统的两部分。shhdV2341与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 (4)(4)温度误差温度误差 由于量杯的体膨胀系数由于量杯的体膨胀系数 与所量溶液的体膨与所量溶液的体

53、膨胀系数胀系数 不同，当温度偏离标准温度不同，当温度偏离标准温度 时，会使时，会使度量结果造成误差，约为度量结果造成误差，约为式中式中: :V V0 0为溶液的标称体积。为溶液的标称体积。 这一误差为系统误差。这一误差为系统误差。 将上列各项分量线性求和，可得总误差将上列各项分量线性求和，可得总误差 s12ttVtVtVV120102044321VVVVV与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 3.4 3.4 传递系数的计算传递系数的计算u在误差的线性传递关系中，在误差的线性传递关系中，传递系数传递

54、系数是误差分是误差分量转换为总误差的比例系数，就如同误差的量转换为总误差的比例系数，就如同误差的“传传动比动比”一样，某项误差乘以这样一个一样，某项误差乘以这样一个“传动比传动比”就可折合为最后结果的总误差。就可折合为最后结果的总误差。u传递系数可以通过对传递系数可以通过对相应函数关系相应函数关系的分析、的分析、几几何关系何关系的分析、的分析、测量传动关系测量传动关系的分析，以及的分析，以及实验实验分析等方法来确定分析等方法来确定。 s与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 一、一、微分法求传递系数

55、 若若包含误差的量包含误差的量 与测量的最终结果与测量的最终结果y y( (直接或间接测量结果直接或间接测量结果) )之间之间有有: : 对它求导数，可得到相应于对它求导数，可得到相应于 的误差的误差 的传递系数的传递系数: : s),(21nxxxfynxxx,21nxxx,21nxxx,21与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 s0211011,nxxxfxxya0210,nnnnxxxfxxya0212022,nxxxfxxya与数据处理Harbin Institute of Technol

56、ogy 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 可简写为可简写为 snnnnnnxxxfxxyaxxxfxxyaxxxfxxya,212122221111与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 式中式中: :分别为函数分别为函数y y 对对 的导数在其真值的导数在其真值 处的值。处的值。实际计算中，一般可用实际计算中，一般可用 的公称值或的公称值或测得值代替真值测得值代替真值 代人求得上述导代人求得上述导数。这个方法也常称为数。这个方法也常称为微分法。 s00201,nxyx

57、yxynxxx,21nXXX,21nxxx,21nXXX,21与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递对于线性函数对于线性函数 系数系数 即为相应于即为相应于 的传递系数。的传递系数。 nnxkxkxky2211nkkk,21nxxx,21与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 优点优点 1 解析式明确解析式明确, ,方法简便方法简便 。 2 2 不仅便于计算，也便于进行误差关系的不仅便于计算，也便于进行误差

58、关系的分析。分析。局限性局限性 仅适用于能给出仅适用于能给出解析式解析式的场合的场合。s与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 例例3-14 3-14 渐开线齿形的极坐渐开线齿形的极坐标方程为标方程为 。式中。式中, , 为展开长度为展开长度, , 为展开角为展开角, , 为基圆半径为基圆半径, ,如图如图3-63-6所示。所示。试分析由基圆半径误差试分析由基圆半径误差 ( (由刀具压力角误差造成由刀具压力角误差造成) )和展和展开角误差开角误差 ( (由机床传动误差由机床传动误差造成造成) )引起

59、的齿形误差引起的齿形误差 ( (齿齿形坐标形坐标 的误差的误差) )。 s0r0r0r与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量误差的传递测量误差的传递 解解 按线性叠加法则按线性叠加法则( (式式3-17)3-17)计算误差计算误差 。 先按微分法求出误差先按微分法求出误差 与与 的传递系数的传递系数 则齿形误差可写为则齿形误差可写为( (系统误差系统误差 与与 已知已知) )s000rar00ra00rr 0r0r与数据处理Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第三章第三章 测量

60、误差的传递测量误差的传递 例例3-15 3-15 若测得阻值若测得阻值R R及电流及电流I I，则所耗功率可按，则所耗功率可按式式P=IP=I2 2R R求得，现测得阻值求得，现测得阻值R R=515=515；测量误差；测量误差 1010；电流；电流I= I= 25.3mA25.3mA，测量误差，测量误差 mAmA，求电功率及修正值。，求电功率及修正值。解解 电功率电功率P=IP=I2 2R R =(0.0253 =(0.02532 2515)W515)W0.330W0.330W 对函数式对函数式P=IP=I2 2R R求偏导数，得求偏导数，得 与与 的传递系数的传递系数 sR5 . 1IIR