第6章(3) 活动地块的大地测量划分方法-相对稳定点组方法-2014

1、地壳形变地壳形变主页主页第第6 6章章 板块构造说与活动地块说板块构造说与活动地块说（3 3） 武汉大学武汉大学 许才军许才军1. 1. 相对稳定点组的概念相对稳定点组的概念2. 32. 3种确定相对稳定点组方法种确定相对稳定点组方法活动地块的大地测量划分方法活动地块的大地测量划分方法 在变形分析中，往往需要对一组观测值来确定运动模型中的在变形分析中，往往需要对一组观测值来确定运动模型中的各个参数。但是有由于各种原因（如某个点因局部干扰引起各个参数。但是有由于各种原因（如某个点因局部干扰引起位移，或原始观测值中真正存在粗差等），有些观测点上的位移，或原始观测值中真正存在粗差等），有些观测点上的

2、位移可能位移可能“不合群不合群”，即可以用来描述大部分观测点的一组，即可以用来描述大部分观测点的一组运动参数不能恰当的描述这些观测点的运动。反过来说，如运动参数不能恰当的描述这些观测点的运动。反过来说，如果在求取模型参数时，采用了这些果在求取模型参数时，采用了这些“不合群不合群”的观测值的观测值, ,得到得到的模型参数会受到的模型参数会受到“污染污染”。因此，我们可以将这些。因此，我们可以将这些“不合不合群群”的位移观测值看作是某种粗差观测值，从而采用适当的的位移观测值看作是某种粗差观测值，从而采用适当的方法将它们判别筛选出来，我们把不包含方法将它们判别筛选出来，我们把不包含“不合群不合群”位

3、移观位移观测点的所有其它点的集合称为测点的所有其它点的集合称为相对稳定点组相对稳定点组。相对稳定点组概念相对稳定点组概念相对稳定点组相对稳定点组也可以认为是也可以认为是相对不动的点组相对不动的点组，或者说是，或者说是一组一组几何关系不变的点组。几何关系不变的点组。相对稳定点组的确定方法相对稳定点组的确定方法1 1、几何关系不变判别法、几何关系不变判别法2 2、F F检验法检验法3 3、粗差的拟准检定法（、粗差的拟准检定法（QUADQUAD法）法）1.1.黄立人黄立人, ,马青马青. . 确定三维网中相对稳定点组的一种方法确定三维网中相对稳定点组的一种方法. . 地壳形变与地震地壳形变与地震 1

4、999.8 1999.8 ，Vol.19Vol.19，No.3No.32.2.黄立人黄立人, ,马青马青. GPS. GPS所处构造位置的统计检验所处构造位置的统计检验. . 地壳形变与地震地壳形变与地震 1999.11 1999.11， Vol.19Vol.19，No.4 No.4 3.3.欧吉坤欧吉坤. .粗差的拟准检定法（粗差的拟准检定法（QUADQUAD法）法）. . 测绘学报测绘学报 1999.2 ,Vol28 1999.2 ,Vol28，No.1No.14.4.黄立人黄立人. .用于相对稳定点组判别的用于相对稳定点组判别的QUADQUAD法法. . 大地测量与地球动力学大地测量与地

5、球动力学 2002.5 2002.5 ， Vol.22 Vol.22，No2No21 1、几何关系不变判别法、几何关系不变判别法依据一组点间的几何关系是否保持不变来判别这一组点是否依据一组点间的几何关系是否保持不变来判别这一组点是否可认为它们是相对稳定的其可认为它们是相对稳定的其基本思想基本思想是：是：如果一组公共点在两期测量之间内部没有相对位移，尽管两如果一组公共点在两期测量之间内部没有相对位移，尽管两期测量计算坐标时所依据的参考系可能有变化而造成求得的期测量计算坐标时所依据的参考系可能有变化而造成求得的坐标有视变化，但坐标参考改变引起这组点的两期测量坐标坐标有视变化，但坐标参考改变引起这组

6、点的两期测量坐标的视变化则可以通过坐标变换加以消除。把这样一组点之为的视变化则可以通过坐标变换加以消除。把这样一组点之为相对稳定点组。相对稳定点组。当然，两期测量之间内部没有相对位移，并否位移绝对为零，当然，两期测量之间内部没有相对位移，并否位移绝对为零，允许两期坐标有所不同，但这种判别不应超过测量精度的允允许两期坐标有所不同，但这种判别不应超过测量精度的允许范围。许范围。 设有一个空间的三维网。第一期观测后的空间直角坐标向设有一个空间的三维网。第一期观测后的空间直角坐标向量为量为 ，方差阵为，方差阵为 。其中。其中 3 , nII2 , nI1 , nI3 , iI2 , iI1 , iI3

7、 , 2I2 , 2I1 , 2I3 , 1I2 , 1I1 , 1Ix,x,x,.x,x,x,.x,x,x,x,x,xX 相应地，第二期观测后得到空间直角坐标向量为相应地，第二期观测后得到空间直角坐标向量为 ，方差阵为方差阵为 。 IIXIIxD采用如下采用如下7 7个步骤个步骤 进行相对稳定点组的判别进行相对稳定点组的判别IXIxDT321321kD,r ,r ,r ,T,T,TR步骤步骤1 1：任取不在一条直线上的：任取不在一条直线上的3 3个公共点个公共点i i、j j、k k，第一、二期观，第一、二期观测后得到该测后得到该3 3点的坐标和为方差阵分别为：点的坐标和为方差阵分别为：用这

8、用这3 3个公共点作空间直角坐标变换，以消除由于坐标系的平移、个公共点作空间直角坐标变换，以消除由于坐标系的平移、旋转（旋转（6 6参数变换）和尺度比（增加为参数变换）和尺度比（增加为7 7参数变换）造成的视变化参数变换）造成的视变化 。),(3 ,2,1 ,IiIiIixxx),(3 ,2,1 ,IjIjIjxxx),(3 ,2,1 ,IkIkIkxxxIkjid,),(3,2,1 ,IIiIIiIIixxx),(3,2,1 ,IIjIIjIIjxxx),(3 ,2,1 ,IIkIIkIIkxxxIIkjid,IIIXXXrrrrrrDTTTXXX321121323321321111)1 (

9、步骤步骤2 2：由步骤：由步骤1 1可以求得变换参数可以求得变换参数 和方差阵和方差阵KRRkD以及变换后的第二期坐标以及变换后的第二期坐标 和其方差阵和其方差阵),(3 ,2,1 ,IIiIIiIIixxxIIxD将第二期变换后的坐标将第二期变换后的坐标 等平移等平移IiIIiiIiIIiiIiIIiixxdxxxdxxxdx3 ,3 ,3 ,2,2,2,1 ,1 ,1 ,3 ,2,1 ,iiidxdxdx),(3 ,2,1 ,IIiIIiIIixxx即有：即有：3,3,03,2,2,02,1 ,1 ,01 ,3,3,03,2,2,02,1 ,1 ,01 ,3,3,03,2,2,02,1 ,

10、1 ,01 ,iIIkkkIIkkiIIkkjIIjjiIIjjiIIjjiIIiiiIIiiiIIiidxxxdxxxdxxxdxxxdxxxdxxxdxxxdxxxdxxx步骤步骤3 3：求由步骤：求由步骤2 2求得的坐标与第一期坐标之差及它们的方根差求得的坐标与第一期坐标之差及它们的方根差IkkkIkkkIkkkIjjjIjjjIjjjIiiiIiiiIiiixxdxxxdxxxdxxxdxxxdxxxdxxxdxxxdxxxdx3 ,03 ,03 ,2,02,02,1 ,01 ,01 ,3 ,03 ,03 ,2,02,02,1 ,01 ,01 ,3 ,03 ,03 ,2,02,02,1

11、 ,01 ,01 ,00001 , jdxm02, jdxm03, jdxm01 ,kdxm02,kdxm03,kdxm03,02,01 ,03,02,01 ,03 ,02,01 ,03 ,02,01 ,kkkjjjdxkdxkdxkdxjdxjdxjfmdxfmdxfmdxfmdxfmdxfmdx若有：若有：同时成立，则可以认为同时成立，则可以认为 i, j , k 3i, j , k 3点是相对稳定的，否则不是。点是相对稳定的，否则不是。其中其中 f f 为一选定的比例系数，可调节判别相对稳定点组的为一选定的比例系数，可调节判别相对稳定点组的“宽宽”、“严严”程度程度 。步骤步骤4 4：更

12、换：更换k k点，重复步骤点，重复步骤1-31-3的过程，直到对所有公共点都的过程，直到对所有公共点都 作如上的判别，找出所有与作如上的判别，找出所有与 i,j i,j两点成相对两点成相对 稳定的稳定的3 3个点的全个点的全部点，令有部点，令有k k1 1 个点（包括个点（包括 i, ji, j点）可初步判别为相对稳定点组。点）可初步判别为相对稳定点组。步骤步骤5 5：更换：更换 i, ji, j点，重复步骤点，重复步骤1-41-4的过程，直到对所有的过程，直到对所有3 3点组合点组合都作如上判别都作如上判别, ,最终找出所有公共点能初步构成的相对稳定点最终找出所有公共点能初步构成的相对稳定点

13、组组, , 设共有设共有n n组，每组中包含的相对稳定点数分别为组，每组中包含的相对稳定点数分别为k k1 1 k k2 2 kkn n 个。个。步骤步骤6 6：从从n n组可能的相对稳定点组中找出包含相对稳定点数组可能的相对稳定点组中找出包含相对稳定点数 K K最大的那一组，令其为最大的那一组，令其为maxK步骤步骤7 7：用找出的用找出的 组中所有可能的相对稳定点组，作坐组中所有可能的相对稳定点组，作坐 标转换，并求出这标转换，并求出这 个点转换后的残差（与第一个点转换后的残差（与第一 期资料期资料 的坐标值相比较）。仿照步骤的坐标值相比较）。仿照步骤3 3判别这判别这 中最终的相对中最终

14、的相对 稳定点组。稳定点组。maxKmaxKmaxK此时的此时的f f可以适当大一些！可以适当大一些！2 2、F F检验法检验法F F检验法检验法主要应用方差分析理论，基于有约束和无约束平差的主要应用方差分析理论，基于有约束和无约束平差的统计特征，给出一种根据复测结果判别一组测站是否位于同一统计特征，给出一种根据复测结果判别一组测站是否位于同一构造块体上的假设检验方法构造块体上的假设检验方法。 原理：原理：两期测量之间内部没有相对位移，尽管两期测量计算坐两期测量之间内部没有相对位移，尽管两期测量计算坐标时所依据的参考系可能有变化或所处的构造块体有运动，但标时所依据的参考系可能有变化或所处的构造

15、块体有运动，但它们的运动是一致的（即认为在同一构造块体上），由此而造它们的运动是一致的（即认为在同一构造块体上），由此而造成的坐标变化将综合反映在一组转换参数中：成的坐标变化将综合反映在一组转换参数中： 转动参数转动参数 和比例缩放因子和比例缩放因子 e exyz、sinsincoscoscoszyx000ypxpppzpxpppzpypppxyzzxzyyyzxx在刚性块体的情况下，板块在刚性块体的情况下，板块A A上任上任何一点何一点P P在经过一段时间后，位置在经过一段时间后，位置将发生变化，这种变化相当于数学将发生变化，这种变化相当于数学上的坐标系旋转造成的坐标变化上的坐标系旋转造成的

16、坐标变化: : (A)(A)(B)(B)对于板块对于板块A A内另一点内另一点O O : :00000yxoozoxooozoyoooxyzzxzyyyzxx板块运动后，同一板块上的两点间的坐标差为：板块运动后，同一板块上的两点间的坐标差为： 0)()()()(0)()()()(0)(yopxopopopzopxopopopzopyopopopxxyyzzzzxxzzyyyyyyzzxxxx(D)(D)(C)(C)000,yopxopopopzopxopopopzopyopopopxyzzxzyyyzxx(D(D) )如果该块体是一个均匀应变体（体应变）如果该块体是一个均匀应变体（体应变）,

17、,则（则（DD）式需要增加一项均匀应）式需要增加一项均匀应变变e e引起的坐标差的变化引起的坐标差的变化 : :ezxyzzeyxzyyexyzxxopyopxopopopopzopxopopopopzopyopopop,000(E)(E)(E)(E)式就是位于同一刚性或均匀应变块体上观测点的运动模型，即相对稳定点式就是位于同一刚性或均匀应变块体上观测点的运动模型，即相对稳定点的运动模型。由的运动模型。由(D) (D) 、 (E)(E)式可以看出，构造块体在球面上的运动造成的同式可以看出，构造块体在球面上的运动造成的同一块体内的两点间坐标差的变化，与坐标参考系的放置一块体内的两点间坐标差的变化

18、，与坐标参考系的放置附加或不附加尺度因附加或不附加尺度因子子的变化对坐标差产生的影响在形式上是相同的。的变化对坐标差产生的影响在形式上是相同的。 在实际测量中，由于各种原因，两次测量所依据的坐标参考框在实际测量中，由于各种原因，两次测量所依据的坐标参考框架不可能完全一致。因此，即使所有的架不可能完全一致。因此，即使所有的观测点实际上没有运动，观测点实际上没有运动，测量也没有误差，那么根据两次观测结果求得的坐标差也可能测量也没有误差，那么根据两次观测结果求得的坐标差也可能发生变化发生变化，其变化量可由，其变化量可由(D) (D) 或或 (E)(E)式求出，这种变化是由于式求出，这种变化是由于两次

19、测量的两次测量的坐标参考框架间的相对放置和尺度因子坐标参考框架间的相对放置和尺度因子不同引起的。不同引起的。反过来说，如果两次测量中间，这个板块确实在球面上按上面反过来说，如果两次测量中间，这个板块确实在球面上按上面所研究的形式运动，那么它将被所研究的形式运动，那么它将被“融合融合”在坐标框架的在坐标框架的转动和转动和尺度因子尺度因子之中。之中。而坐标参考框架之间的平移参数，对于任意两点间（无论它们而坐标参考框架之间的平移参数，对于任意两点间（无论它们是否位于同一构造单元内）坐标差的变化没有影响。是否位于同一构造单元内）坐标差的变化没有影响。F F检验方法来判别一组点是否位于同一构造体上检验方

20、法来判别一组点是否位于同一构造体上为了下面讨论的方便为了下面讨论的方便, ,我们假定两次测量所有的点都进行了复我们假定两次测量所有的点都进行了复测测( (实际上实际上, ,对于两次测量只有部分点进行了复测的情况对于两次测量只有部分点进行了复测的情况, ,下面下面所述的方法也适用所述的方法也适用), ),无论这些点是否在同一块体上无论这些点是否在同一块体上, ,我们总可我们总可以对这些点构成的基线向量或坐标观测值分别对两期资料进以对这些点构成的基线向量或坐标观测值分别对两期资料进行自由网平差行自由网平差, ,得到两次测量的两个单位权方差估值得到两次测量的两个单位权方差估值: :211111222

21、222TTVPVfVPVf211111222222TTVPVfVPVf(a)(a)(b)(b)由于每期测量都是在一个较短时间内由于每期测量都是在一个较短时间内( (例如几天例如几天) )完成的完成的, ,地壳运动地壳运动的影响可以忽略不计的影响可以忽略不计, ,因而因而(a)(a)、(b)(b)式可以看作纯测量精度的量度式可以看作纯测量精度的量度 , ,两期测量看作是独立的，我们可以将这两期独立测量值在一起作两期测量看作是独立的，我们可以将这两期独立测量值在一起作一次平差（观测为两期观测之和，必要观测为两期必要观测之一次平差（观测为两期观测之和，必要观测为两期必要观测之和），而平差的单位权方差

22、（精度）可表示为：和），而平差的单位权方差（精度）可表示为：222112212ffff称之为单位权方差的无约束平差估值。称之为单位权方差的无约束平差估值。211 122211 122212121122()()()()()TTTTTV PV V PVV PVV PVV PVnnttntnt1,01,01,0,0,01,01,0101,0101,010,00,00,00mmIIxIIyIIzIImxmIImymIImzmxVxxyVyyzVzzxVxxyVyyzVzz第一次观测量的观测方程为：第一次观测量的观测方程为：第二次观测量的观测方程为：第二次观测量的观测方程为：1,01,01,0,01,0

23、101,01,01,01,0101,01,01,01,0101,01,01,0,00,0,0,00000mIIIIxyzIIIIyxzIIIIzxyIIIImxmmymzmxVxxzyx eyVyyzxy ezVzzyxz exVxxzyxey ,0,0,00,0,0,0,00,0,0,000mmIIIImymmxmzmIIIImxmmxmzmVyyzxyezVzzyxze 第一、二次观测方程一起平差可得第一、二次观测方程一起平差可得约束平差（或称附有条件）约束平差（或称附有条件）下的下的单位权方差估值：单位权方差估值：2TV PVf21P00PP为约束平差下的自由度为约束平差下的自由度 f?

24、f 111222121111122212)()TTTTTTRVPVVPVffRVPVfRRVPVVPVVPVfff自由度（自由度自由度采用下列符号：采用下列符号：1111212()/()()*/()RRRRRfRRffFRfRfff则有：则有：)ff (),ff (f ,(FF2121表明在置信水平表明在置信水平 下，这一组点间的确只有因坐标框架的不一致或整下，这一组点间的确只有因坐标框架的不一致或整个块体的运动引起的变化，这一组点间的相对位置在两次测量之间没个块体的运动引起的变化，这一组点间的相对位置在两次测量之间没有变化，它们是一组相对稳定点组。有变化，它们是一组相对稳定点组。 若若(C)

25、(C)、 R1RR与与相互独立相互独立若（若（C C）式不成立，则其中必有若干点不在同一构造）式不成立，则其中必有若干点不在同一构造块体上，或者有局部干扰，造成这些点的异常运动，块体上，或者有局部干扰，造成这些点的异常运动，它们不是一组相对稳定点组。它们不是一组相对稳定点组。当（当（C C）式不成立时，需进一步分析，逐一剔除最可）式不成立时，需进一步分析，逐一剔除最可能不在同一构造块体上的点，重新对余下的点作统计能不在同一构造块体上的点，重新对余下的点作统计检验，剔除的点的判别将主要依据改正数检验，剔除的点的判别将主要依据改正数V V 假设检验理论假设检验理论方法是基于真误差与观测值之间的解析

26、关系建立起来的用于探测观测方法是基于真误差与观测值之间的解析关系建立起来的用于探测观测值中的粗差。如果在用相对稳定点组上，即是确定一组没有发生相对位移（或值中的粗差。如果在用相对稳定点组上，即是确定一组没有发生相对位移（或者对位移在观测误差允许范围内）的点。者对位移在观测误差允许范围内）的点。 3 3、粗差的拟准检定法（、粗差的拟准检定法（QUADQUAD法）法）粗差是指离群的误差粗差是指离群的误差，抗御粗差干扰的方法归纳起来，抗御粗差干扰的方法归纳起来, ,大致可分为两类大致可分为两类: :一类是以假设检验为基础的粗差探测、辨识和修正的方法一类是以假设检验为基础的粗差探测、辨识和修正的方法,

27、 ,如如CookCook等人等人的余差分析的余差分析,Baarda ,Baarda 的的 Data SnoopingData Snooping等等等等; ;另一类是抗差估计另一类是抗差估计(Robust Estimation)(Robust Estimation)。如数理统计学界的。如数理统计学界的HuberHuber、Hampel Hampel 等为抗差等为抗差M M估计奠定了理论基础估计奠定了理论基础,Kubik,Kubik等将该方法引入测量界。等将该方法引入测量界。“粗差的拟准检定法粗差的拟准检定法”是在是在“拟稳平差理论拟稳平差理论”基础上发展起来的，拟稳基础上发展起来的，拟稳平差贯穿

28、一种辩证思想平差贯穿一种辩证思想, ,突出选群拟合而非强制。大量观测数据的统计突出选群拟合而非强制。大量观测数据的统计分析表明分析表明, ,粗差在数据中出现是少数。一般情况粗差在数据中出现是少数。一般情况, ,含粗差的观测数占总含粗差的观测数占总数据量的数据量的1%10% ，因此有理由相信观测数据的大部分是正常的。，因此有理由相信观测数据的大部分是正常的。把基本正常但尚待确认的观测称为拟准观测把基本正常但尚待确认的观测称为拟准观测。经典自由网平差经典自由网平差秩亏自由网平差秩亏自由网平差 经典自由网平差经典自由网平差111ntntnXAl12020)(PQlD当当A A的秩的秩 为待定坐标参数

29、的个数，随机模型中的权阵为待定坐标参数的个数，随机模型中的权阵P P是满秩是满秩阵，即阵，即 ，表示观测值之间不存在函数相关，这是一个满秩平差问，表示观测值之间不存在函数相关，这是一个满秩平差问题。在最小二乘原理下可得参数的惟一解题。在最小二乘原理下可得参数的惟一解 :ttAR,)(nPR)(tnPVVPAANQPlANXTTXXT20111)(平差模型平差模型 ：上述经典平差法的条件是控制网中必须设定足够的起算数据。上述经典平差法的条件是控制网中必须设定足够的起算数据。若设定的起算数据等于必要起算数据个数，称为若设定的起算数据等于必要起算数据个数，称为经典自由网平差经典自由网平差。 当当A

30、A的秩的秩 为待定坐标参数的个数，误差方程系数阵列秩为待定坐标参数的个数，误差方程系数阵列秩亏，这样的平差问题称为秩亏自由网平差。亏，这样的平差问题称为秩亏自由网平差。秩亏秩亏d d的定义是的定义是 ，实际上就是平差中缺少的必要起算，实际上就是平差中缺少的必要起算数据个数。数据个数。 ( ),R At t( )dtR A 通常水准网的秩亏数通常水准网的秩亏数 d=1d=1，即一个待定点的高程；，即一个待定点的高程；测角网的秩亏数测角网的秩亏数 d=4d=4，即两个待定点的平面坐标数，即两个待定点的平面坐标数；测边网的秩亏数测边网的秩亏数 d=3d=3，即一个待定点的平面坐标和一条边的方位角；，

31、即一个待定点的平面坐标和一条边的方位角；GPSGPS二维网的秩亏数（二维网的秩亏数（ d=4d=4，即两个待定点的平面坐标数，即两个待定点的平面坐标数 或或d=3d=3，即，即一个待定点的平面坐标和一条边的方位角一个待定点的平面坐标和一条边的方位角）；）；GPS三维网的秩亏数三维网的秩亏数 d=6，即两个待定点的，即两个待定点的3维坐标数（基线平差）维坐标数（基线平差） 或或d=7，即一个待定点的即一个待定点的3 3维坐标和维坐标和3 3个旋转角参数和一个尺度比参数（个旋转角参数和一个尺度比参数（坐标平差）坐标平差） 秩亏自由网平差秩亏自由网平差 1 1，秩亏自由网平差的广义逆解法（略），秩亏

32、自由网平差的广义逆解法（略）2 2，秩亏自由网平差的附加条件解法，秩亏自由网平差的附加条件解法自由网的误差方程为自由网的误差方程为 ：lXAVntntn111trAR)(为消除秩亏，为消除秩亏，附加基准条件附加基准条件 OXStTdt1行满秩TSdSR,)(（2 2）（1 1）按最小二乘原则，作函数按最小二乘原则，作函数min)(2XSKPVVTTT求导得求导得或或 （3 3） OSKPAVXTTT22OSKPVAT（1 1）代入（）代入（3 3）并和（）并和（2 2）组成法方程有）组成法方程有 OXSPlASKNXTT（4）（4 4）式第一式左乘）式第一式左乘 可得可得因为因为 ，故得，故得

33、因为因为 不能为零，故不能为零，故K=OK=OTSPlASSKSNXSTTTTOASONSTTT,OSKSTSSTPVVXSKPVVTTTT)(2因此得因此得 即最小二乘原则与附加条件无关。这是自由网平差的一个重要性质即最小二乘原则与附加条件无关。这是自由网平差的一个重要性质。真误差与观测值之间存在确定的解析关系真误差与观测值之间存在确定的解析关系数学模型数学模型 01mnmnA XL矩阵的上标表示矩阵的秩，下标表示矩阵的维数，矩阵的上标表示矩阵的秩，下标表示矩阵的维数，X X0 0是是m m维向量，代维向量，代表未知参数的真值，表未知参数的真值， 为其估值；为其估值；L是是n维观测值向量；维

34、观测值向量；是观测值向是观测值向量的真误差，量的真误差，V是观测值是观测值L的余差的余差 。nnPX令令 ，称，称J为平差因子阵。它是投影矩阵。为平差因子阵。它是投影矩阵。J.JJ(幂等幂等)，JAA，J的秩为的秩为m。它的正交补投影记为。它的正交补投影记为R，RI-J(I是是n阶阶单位阵单位阵)，R亦幂等，且有亦幂等，且有 ，RA0，R的秩为的秩为n-m。因因JAX0AX0L+J(L+)，有，有(I-J)-(I-J)L，或，或 R= -R L (3.1)这是关于这是关于真误差真误差和观测值和观测值L的确定关系式的确定关系式，也可看成关于，也可看成关于的线性方程的线性方程组。方程组组。方程组(

35、3.1)是秩亏的，秩亏数是秩亏的，秩亏数d=n-(n-m)=m。TTAAAAJ1)(0RAT设选设选 择了择了r r个拟准观测，个拟准观测，rd=m,rd=m,相应的真误差为相应的真误差为r r, ,非拟准观测非拟准观测的真误差为的真误差为 。在如下条件下，求解秩亏方程。在如下条件下，求解秩亏方程(3.1)(3.1) 为了说明求解由式为了说明求解由式(3.1)和式和式(3.2)组成的联合方程组的意义，先讨组成的联合方程组的意义，先讨论一般情况，即在式论一般情况，即在式(3.1)基础上，附加适当要求的条件，得到如基础上，附加适当要求的条件，得到如下方程组下方程组其中：其中：R+RL=R(+L)是

36、拟合残差，是拟合残差，G是系数阵，是系数阵，w是是m维常维常数向量。数向量。 2m i nTrrr(3.3a)(3.3b) 式式(3.3b)是是需要满足的需要满足的m个独立条件，假设个独立条件，假设R和和G的行向量是线性无关的。的行向量是线性无关的。 (3.2) nmn nmm nRR LGw l构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数并求条件极值，得法方程并求条件极值，得法方程 GR0TGKwRL= wGAARLGGRwGAAMRLT111)()()(进一步可得进一步可得11)()(GGRRGGRQTTTTTTAGAGAAGGRM11)()(其中其中)(2wGKTT设选择了设选择了r r个拟准观测，

37、个拟准观测，rd=m,rd=m,相应的真误差为相应的真误差为 , ,非拟准观测的真误差为非拟准观测的真误差为 rl附加条件为附加条件为0)0(rTrrlTrQQAAGTTQTQQTQQAGAAGAGGRM111)()()(类似前面有类似前面有wGAARLGGRwGAAMRLT111)()()(真误差的拟准解真误差的拟准解11)()(GGRRGGRQTT可以证明可以证明 这就是说真误差的拟准解这就是说真误差的拟准解 是在附加拟准观是在附加拟准观测真误差范数极小的条件下得到的。如果拟准观测选择正确，附加的条件是测真误差范数极小的条件下得到的。如果拟准观测选择正确，附加的条件是符合客观实际的，因而符

38、合客观实际的，因而 反映的实际意义也是准确的。当观测值中含有反映的实际意义也是准确的。当观测值中含有粗差时，真误差的拟准解粗差时，真误差的拟准解 的分布特征呈现明显分群现象，相应于拟准的分布特征呈现明显分群现象，相应于拟准观测的真误差估值观测的真误差估值 明显小于非拟准观测的真误差估值明显小于非拟准观测的真误差估值 ，这就，这就为辨识和定位含粗差的观测提供了可靠的依据。根据一定的标准，可将那些为辨识和定位含粗差的观测提供了可靠的依据。根据一定的标准，可将那些真误差估值明显大的观测判定为含粗差观测。真误差估值明显大的观测判定为含粗差观测。 minrTrQQQrl粗差和参数的估值粗差和参数的估值将

39、观测方程式改写为将观测方程式改写为 0bbAXLLCN 其中是代表粗差的其中是代表粗差的b b维参数向量，维参数向量，C Cb b是其系数阵，是其系数阵，n nb b维，维，N N代表分离代表分离了粗差的真误差。了粗差的真误差。通过拟准检测，假设第通过拟准检测，假设第j j个观测被判为含粗差，可用一个个观测被判为含粗差，可用一个n n维单位向量维单位向量 ( (第第j j个分量为个分量为1 1，其余为，其余为0)0)将它标记出来。如果将它标记出来。如果找到找到b b个粗差，得到个粗差，得到b b个这种单位向量，可构成个这种单位向量，可构成 C Cb b=(e=(e1 1e eb b) )。平差

40、后得到粗差估值平差后得到粗差估值bTje)0.010.00(11()()bTTbbbbTbbC RCC RLQC RC 参数估值参数估值真误差真误差N N的估值的估值()bbbbbTvbbTTTTbbVAXCLR LCQRRC Q C RV VL RLL RC Q C RL 单位权方差估值单位权方差估值 2/()nmb1111)()()()()(AAACQCAAAAAQCLAAAXTTbbTTTxbbTTb以上关于粗差和参数的估值以及相应的统计特性的关系式都是严密以上关于粗差和参数的估值以及相应的统计特性的关系式都是严密的，没有作任何近似的，没有作任何近似 。如何正确选择拟准观测，这是拟准检定

41、法的关键。通常可分两阶段如何正确选择拟准观测，这是拟准检定法的关键。通常可分两阶段选择：选择：初选和复选初选和复选用法来判别相对稳定点组用法来判别相对稳定点组XALLLVVVenen设有观测方程设有观测方程 ： 为运动模型参数估值（在这里可认为是地壳运动参数为运动模型参数估值（在这里可认为是地壳运动参数），），A为表征模型为表征模型参数与观测值之间线性化后的函数关系的系数矩阵，即设计矩阵。按照下参数与观测值之间线性化后的函数关系的系数矩阵，即设计矩阵。按照下列步骤列步骤（1212步）步）进行相对稳定点组的判别。进行相对稳定点组的判别。 X（1）计算参数估值：）计算参数估值： PLAPAAXTT

42、1)(（2）算平差因子矩阵）算平差因子矩阵J： PA)PAA(AJT1T（3）计算）计算J的正交投影补矩阵的正交投影补矩阵R： JIR(4) )计算（计算（1）式的改正数：）式的改正数： nieididVVV (5) 求出全部改正数求出全部改正数Vi的中位值的中位值 ，并以之作为单位权中误差，并以之作为单位权中误差 的估计的估计 （避免粗差影响）（避免粗差影响） iVmed00(6) 计算初选指标计算初选指标ui 0iiiiVuR其中其中 是投影矩阵的第是投影矩阵的第i个对角元素个对角元素 iiR11*iiiinneeVdUfVdUf（7）初选相对稳定点组）初选相对稳定点组 对于对于2 2维的位移矢量，如果维的位移矢量，如果 则此点被初步选入则此点被初步选入“相对稳定点组相对稳定点组”，f1f1为我们选定的一个判别准则为我们选定的一个判别准则（因子）。否则被初步判定为（因子）。否则被初步判定为“不合群不合群”的点