第3章 线性方程组的解法—迭代法

1、上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 3.4 线性代数方程组的解法线性代数方程组的解法(二二) 迭代方法迭代方法 引言引言 基本迭代法基本迭代法 迭代法的收敛性迭代法的收敛性上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页其中其中A为非奇异矩阵为非奇异矩阵, 当当A为为低阶稠密矩阵低阶稠密矩阵时时, 前面前面讨论的选主元消去法是有效的讨论的选主元消去法是有效的. 但对于但对于大型稀疏大型稀疏矩阵方程组矩阵方程组(A的阶数的阶数n很大，但很大，但零元素较多零元素较多), 利用利用迭代法求解是合适的迭代法求解是合适的. 本章将介绍迭代法的一些基本理论及本章将介绍迭代法的一些基本理论及雅

2、可比雅可比迭代法迭代法，高斯高斯-赛德尔迭代法赛德尔迭代法，超松弛迭代法超松弛迭代法。 下面举简例，以便了解迭代法的思想下面举简例，以便了解迭代法的思想. 对线性方程组对线性方程组 Ax=b， (1.1) 引言引言上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 例例1 求解方程组求解方程组)2 . 1(.361236,33114,20238321321321 xxxxxxxxx记为记为Ax=b，其中，其中.363330,12361114238321 bxxxxA方程组的精确解是方程组的精确解是x*=(3,2,1)T. 现将改写为现将改写为上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页)3

3、. 1().3636(121),334(111),2023(81213312321 xxxxxxxxx或写为或写为x=B0 x+f，其中，其中.,0001236113382012312611111482830 fB上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 我们任取初始值，例如取我们任取初始值，例如取x(0)=(0, 0, 0)T. 将这些值将这些值代入代入(1.3)式右边式右边(若若(1.3)式为等式即求得方程组的解，式为等式即求得方程组的解，但一般不满足但一般不满足)，得到新的值，得到新的值x(1)=(x1(1), x2(1), x3(1)T=(3.5, 3, 3)T ，再将，再将x

4、(1)分量代入分量代入(1.3)式右边得到式右边得到 x(2)，反复利用这个计算程序，得到一向量序列和一般的计反复利用这个计算程序，得到一向量序列和一般的计算公式算公式(迭代公式迭代公式),)(3)(2)(1)()1(3)1(2)1(1)1()0(3)0(2)0(1)0( kkkkxxxxxxxxxxxx上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页)4 . 1(.12/ )3636(,11/ )334(, 8/ )2023()(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1 kkkkkkkkkxxxxxxxxx简写为简写为 x(k+1)=B0 x(k) +f，其中其中k表示迭代次

5、数表示迭代次数(k=0,1,2,). 迭代到第迭代到第10次有次有;)999813. 0,999838. 1,000032. 3()10(Tx ).(000187. 0)10()10()10( xx 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页从此例看出，由迭代法产生的向量序列从此例看出，由迭代法产生的向量序列x(k)逐步逐步逼近方程组的精确解是逼近方程组的精确解是x*=(3,2,1)T. 即有即有 对于任何一个方程组对于任何一个方程组x=Bx+f(由由Ax=b变形得到的变形得到的等价方程组等价方程组)，由迭代法产生的向量序列，由迭代法产生的向量序列x(k)是否一定是否一定逐步逼近方程组的

6、解逐步逼近方程组的解x*呢？回答呢？回答是不一定是不一定. 考虑用迭考虑用迭代法解下述方程组代法解下述方程组 . 53, 521221xxxxx(k)x* xxkk)(lim上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页对于给定方程组对于给定方程组x=Bx+f，设有唯一解，设有唯一解x*，则，则 x*=Bx*+f .(1.5)又设又设x(0)为任取的初始向量为任取的初始向量, 按下述公式构造向量序列按下述公式构造向量序列 x(k+1)=Bx(k)+f , k=0,1,2,.(1.6)其中其中k表示迭代次数表示迭代次数. 定义定义1 (1)对于给定的方程组对于给定的方程组x=Bx+f , 用公

7、式用公式(1.6)逐步代入求近似解的方法称为逐步代入求近似解的方法称为迭代法迭代法(或称为或称为一阶定一阶定常迭代法常迭代法，这里，这里B与与k无关无关). B称为称为迭代矩阵迭代矩阵. (2) 如果如果limx(k) (k)存在存在(记为记为x*), 称此称此迭代法迭代法收敛收敛, 显然显然x*就是方程组的解就是方程组的解, 否则称此否则称此迭代法发散迭代法发散.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页基本迭代法基本迭代法其中，其中，A=(aij)Rnn为非奇异矩阵，下面研究任何建为非奇异矩阵，下面研究任何建立立Ax=b的各种迭代法的各种迭代法. 设线性方程组设线性方程组 Ax=b，

8、 (2.1) 其中，其中，M为可选择的非奇异矩阵，称为可选择的非奇异矩阵，称M为为分裂矩阵分裂矩阵. 将将A分裂为分裂为 A=M- -N. (2.2) 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 于是，求解于是，求解Ax=b转化为求解转化为求解Mx=Nx+b ，即求解，即求解.11bMNxMxbAx 求求解解可构造一阶定常迭代法可构造一阶定常迭代法)3 . 2(), 1 , 0()()()1()0( kfBxxxkk，初初始始向向量量其中其中 B=M- -1N=M- -1(M- -A)=I- -M- -1A ， f=M- -1b. 称称 B=I- -M- -1A为迭代法的为迭代法的迭代矩

9、阵迭代矩阵，选取，选取M矩阵，就得矩阵，就得到解到解Ax=b的各种迭代法的各种迭代法. 设设aii 0 (i=1,2,n)，并将，并将A写成三部分写成三部分上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页.00000000, 121, 211, 1121,212, 11 , 1212211ULDaaaaaaaaaaaaaaaAnnnnnnnnnnnnnn 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 1122nnaaDa 2112000nnaLaa1212000nnaaaU即即A=D- -L- -U上页上页上页上页上页上页下页下页下页

10、下页下页下页3.4.1 雅可比雅可比(Jacobi)迭代法迭代法 设设aii 0 (i=1,2,n)，选取，选取M为为A的对角元素部分的对角元素部分,即选取即选取M=D(对角阵对角阵)，A=D- -N，由，由(2.3)式得到解方式得到解方程组程组Ax=b的的雅可比雅可比(Jacobi)迭代法迭代法. 又称又称简单迭代法简单迭代法.其中其中BJ=I- -D- -1A=D- -1(L+U), f=D- -1b. 称称BJ为解为解Ax=b的的雅可比迭代法的迭代矩阵雅可比迭代法的迭代矩阵.kkJxxB xfk(0)(1)( )()(2.5)(0,1,),初初始始向向量量，上页上页上页上页上页上页下页下

11、页下页下页下页下页于是雅可比迭代法可写为于是雅可比迭代法可写为矩阵形式矩阵形式bDxULDxkk1)(1)1()( 其其Jacobi迭代矩阵迭代矩阵为为 )(1ULDBJ 0002122222211111112nnnnnnnnaaaaaaaaaaaa上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页下面给出雅可比迭代法下面给出雅可比迭代法(2.5)的分量计算公式的分量计算公式, 记记,),()()()(1)(Tknkikkxxxx 由雅可比迭代法由雅可比迭代法(2.5)有有,)()()1(bxULDxkk 每一个分量写出来为每一个分量写出来为)., 2 , 1(1)(11)()1(nibxaxa

12、xainijkjijijkjijkiii 即当即当aii 0时，有时，有)., 2 , 1()(11)(11)()1(nibxaxaaxinijkjijijkjijiiki 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页等等价价方方程程组组其中其中 aii(i) 0 (i=1,2,n)11221111221122221122111nnnnnnnnnnxa xa xbaxa xa xbaxa xa xba 即由方程组即由方程组Ax=b得到的得到的上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页建立的雅可比迭代格式为建立的雅可比迭代格式为 )(1)(1)(1)(11)(11) 1(2)(2)(3

13、23)(12122) 1(21)(1)(313)(21211) 1(1nknnnknnnknknnkkkknnkkkbxaxaaxbxaxaxaaxbxaxaxaax上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页于是，解于是，解Ax=b的雅可比迭代法的计算公式为的雅可比迭代法的计算公式为)6 . 2()., 1 , 0(), 2 , 1(,/ )(,),(1)()1()0()0(1)0( 表表示示迭迭代代次次数数kniaxabxxxxiinijjkjijikiTn 由由(2.6)式可知，雅可比迭代法计算公式简单，式可知，雅可比迭代法计算公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法且计算每

14、迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法且计算过程中原始矩阵过程中原始矩阵A始终不变始终不变. 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 例例1 用雅可比迭代法解方程组用雅可比迭代法解方程组 2 . 453 . 82102 . 7210321321321xxxxxxxxx )2 . 4(51)3 . 82(101)2 . 72(101)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx.3 . 12 . 11 . 1 x解解确确精精 解：解： Jacobi 迭代格式为迭代格式为上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页kx1(k)x2(k)

15、x3(k)10.720.830.8420.9711.071.1511 1.099993 1.199993 1.29999112 1.099998 1.199998 1.299997取取 x(0)=(0,0,0)T 计算计算结果结果如下：如下：上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页3.4.2 高斯赛德尔迭代法高斯赛德尔迭代法在在 Jacobi 迭代中，计算迭代中，计算 xi(k+1)(2 i n)时时，使用使用xj(k+1)代替代替xj(k) (1 j i- -1)，即有即有 )(1)(1)(1) 1(11) 1(11) 1(2)(2)(323) 1(12122) 1(21)(1)(3

16、13)(21211) 1(1nknnnknnnknknnkkkknnkkkbxaxaaxbxaxaxaaxbxaxaxaax建建立立迭迭代代格格式式上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页或缩写为或缩写为称为称为高斯高斯塞德尔塞德尔(Gauss Seidel)迭代法迭代法.bLDxULDxkk1)(1)1()()( 其其Gauss Seidel迭代矩阵迭代矩阵为为BG = (D- -L)- -1U于是高斯于是高斯塞德尔迭代法可写为塞德尔迭代法可写为矩阵形式矩阵形式)., 2 , 1()(11)(11)1()1(nibxaxaaxinijkjijijkjijiiki 上页上页上页上页上页

17、上页下页下页下页下页下页下页 这就是说，选取分裂矩阵这就是说，选取分裂矩阵M为为A的下三角部分的下三角部分,即选取即选取M= D- -L(下三角阵下三角阵)，A=M- -N，由，由(2.3)式得到式得到解解Ax=b的的高斯高斯塞德尔塞德尔(Gauss Seidel)迭代法迭代法.其中其中BG=I- -(D- -L)- -1A= (D- -L)- -1U, f=(D- -L)- -1b. 称矩阵称矩阵BG=(D- -L)- -1U为解为解Ax=b的的高斯高斯塞德尔塞德尔迭代迭代法的迭代矩阵法的迭代矩阵.kkGxxB xfk(0)(1)( )()(2.7)(0,1,),初初始始向向量量，上页上页上

18、页上页上页上页下页下页下页下页下页下页由由高斯高斯塞德尔迭代法塞德尔迭代法(2.7)有有,)()()1(bUxxLDkk 每一个分量写出来为每一个分量写出来为)., 2 , 1(1)(11)1()1(nixaxabxanijkjijijkjijikiii 即当即当aii 0时，有时，有(与前面一样的式子与前面一样的式子)., 2 , 1()(11)(11)1()1(nixaxabaxnijkjijijkjijiiiki 或或,)()1()1(bUxLxDxkkk 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页于是，解于是，解Ax=b的的高斯高斯塞德尔塞德尔迭代法的计算公式为迭代法的计算公式为

19、)8 . 2()., 1 , 0(), 2 , 1(,/ )(),(),(1)(11)1()1()0()0(1)0( 表表示示迭迭代代次次数数初初始始向向量量kniaxaxabxxxxiinijkjijijkjijikiTn上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 雅可比迭代法雅可比迭代法不使用变量的最新信息计算不使用变量的最新信息计算xi(k+1)，而由而由高斯高斯塞德尔迭代公式塞德尔迭代公式(2.8)可知，计算可知，计算x(k+1)的的第第 i个分量个分量xi(k+1)时，利用了已经计算出的最新分量时，利用了已经计算出的最新分量xj(k+1) (j=1,2,i- -1). 可看作可

20、看作雅可比迭代法雅可比迭代法的一种改的一种改进进. 由由(2.8)可知，可知，高斯高斯塞德尔迭代公式塞德尔迭代公式每迭代一次每迭代一次只需计算一次矩阵与向量的乘法只需计算一次矩阵与向量的乘法.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 例例2 用用高斯高斯塞德尔迭代法塞德尔迭代法解例解例1的方程组的方程组(1.2).)., 2 , 1 , 0(.12/ )3636(,11/ )433(, 8/ )2320()1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1 kxxxxxxxxxkkkkkkkkk 解解 用用高斯高斯塞德尔迭代公式：塞德尔迭代公式：取取x(0)=(0, 0,

21、 0)T.迭代到第迭代到第7次有次有;)9999930. 0,9999987. 1,000002. 3()7(Tx .1002. 24)7()7( xx 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 由此例可知，用由此例可知，用高斯高斯塞德尔迭代法塞德尔迭代法，雅可比雅可比迭代法迭代法解线性方程组解线性方程组(1.2)(且取且取x(0)=0)均收敛，而均收敛，而高高斯斯塞德尔迭代法塞德尔迭代法比比雅可比迭代法雅可比迭代法收敛较快收敛较快(即取相即取相同的同的x(0)，达到同样精度所需迭代次数较少，达到同样精度所需迭代次数较少)，但这结，但这结论只当论只当A满足一定条件时才是对的满足一定条件

22、时才是对的. 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 解：解：Gauss-Seidel 迭代格式为迭代格式为 )2 . 4(51)3 . 82(101)2 . 72(101)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx 例例2 用用GaussSeidel 迭代法解上题迭代法解上题. 2 . 453 . 82102 . 7210321321321xxxxxxxxx上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页取取 x(0)=(0,0,0)T 计算计算结果结果如下：如下：kx1(k) x2(k)x3(k)10.720.9021.1

23、64481.0999981.1999991.3上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页3.4.3 松弛迭代法松弛迭代法(SOR方法方法) 我们取我们取 0为为松弛因子松弛因子，建立迭代格式如下，建立迭代格式如下).,2,1(),()1 (,/ )()()1()()1()()1(1)(11)1()1(nixxxxxxaxaxabxkikikikikikiiinijkjijijkjijiki 即即./ )()(11)1()()1(iinijkjijijkjijikikiaxaxabxx 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页或改写为或改写为.)()1()(1)(1)1(bLDxU

24、DLDxkk 其其逐次超逐次超松弛迭代矩阵松弛迭代矩阵为为11L( DL) ()DU . 逐次超松弛法逐次超松弛法可写为可写为矩阵形式矩阵形式./ )()(11)1()()1(iinijkjijijkjijikikiaxaxabxx , 2 , 1 , 0), 2 , 1(./ )()1 ()(11)1()()1( kniaxaxabxxiinijkjijijkjijikiki 称为称为逐次超逐次超松弛迭代法松弛迭代法，简称，简称SOR方法方法. 显然，显然， =1就是就是GaussSeidel 迭代法迭代法.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 下面用矩阵方法推导，选取分裂矩阵下

25、面用矩阵方法推导，选取分裂矩阵M为带参为带参数的下三角矩阵数的下三角矩阵从而得到解从而得到解Ax=b的的逐次超松弛迭代法逐次超松弛迭代法 (Successive Over Relaxation Method，简称，简称SOR方法方法).).(1LDM 其中其中 0为可选择的为可选择的松弛因子松弛因子. 于是，由于是，由(2.3)可构造一个迭代法，其迭代矩阵为可构造一个迭代法，其迭代矩阵为.)1()()(11UDLDALDIL 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页)10. 2(), 1 , 0()()()1()0( kfxLxxkk ，初初始始向向量量 解解Ax=b的的SOR方法方法

26、为为.其中其中.)(,)1()(11bLDfUDLDL 下面给出解下面给出解Ax=b的的SOR方法方法的分量计算公式的分量计算公式. 记记,),()()()(1)(Tknkikkxxxx 由由(2.10)式可得式可得,)1()()()1(bxUDxLDkk ).()()()1()()1(kkkkkDxUxLxbDxDx 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页由此，得到解由此，得到解Ax=b的的SOR方法方法的计算公式的计算公式)11. 2(.), 2 , 1 , 0;, 2 , 1(/ )()1 (,),()(11)1()()1()0()0(1)0( 为为松松弛弛因因子子 kniax

27、axabxxxxxiinijkjijijkjijikikiTn上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 (1) 显然，当显然，当 =1时即为时即为GaussSeidel 迭代法迭代法. (2) SOR方法方法每迭代一次主要运算量是计算一次每迭代一次主要运算量是计算一次矩阵与向量的乘法矩阵与向量的乘法. (3) 当当 1时，称为时，称为超松弛法超松弛法；当；当 1时，称为时，称为低低松弛法松弛法.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页3.4.4 迭代法的收敛性迭代法的收敛性一阶定常迭代法的基本定理一阶定常迭代法的基本定理其中，其中，A=(aij)Rnn为非奇异矩阵，记为非奇异矩

28、阵，记x*为为(3.1)精确精确解，且设有等价的方程组解，且设有等价的方程组 设线性方程组设线性方程组 Ax=b， (3.1) 于是于是.fBxxbAx )2 . 3(.fBxx 设有解设有解Ax=b的一阶定常迭代法的一阶定常迭代法)3 . 3(.)()1(fBxxkk 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页有意义的问题是：迭代矩阵有意义的问题是：迭代矩阵B满足什么条件时，满足什么条件时，由迭代法产生的向量序列由迭代法产生的向量序列x(k)收敛到收敛到x*. 引进引进误差向量误差向量)., 2 , 1 , 0()()( kxxkk 由由(3.3)式减式减(3.2)得到得到误差向量的递

29、推公式误差向量的递推公式)., 2 , 1 , 0(,)0()()()1( kBBkkkk 由由6.1节可知，研究迭代法节可知，研究迭代法(3.3)收敛性问题就是要研收敛性问题就是要研究迭代矩阵究迭代矩阵B满足什么条件时，有满足什么条件时，有.).)(0 kBk零零矩矩阵阵上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 定理定理3 设设B=(bij)Rnn，则，则limBk=0 (k)(零零矩阵矩阵)的充分必要条件是矩阵的充分必要条件是矩阵B的谱半径的谱半径 (B)1.证明证明 由矩阵由矩阵B的的若当标准形若当标准形,存在非奇异矩阵存在非奇异矩阵P使使,211JJJJBPPr 其中其中若当若

30、当(Jordan)块块,11iinniiiiJ 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页且，显然有且，显然有nnrii 1其中其中,11 PPJBPJPBkk.21 krkkkJJJJ)., 2 , 1( , 0lim0lim0limriJJBkikkkkk 于于是是上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 显然有显然有, Et,0=I, Et,k=0(当当kt)，(Et,1)k= Et,k. 由于由于Ji=I+Et,1 ，因此，因此下面考查下面考查Jik的情况的情况. 引进记号引进记号).(000,ittktntRktIE 101 ,01 ,1 ,)()()(tjjtjkij

31、kkjjtjkijkktikiECECEIJ 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页)., 2 , 1(11)2(211)1(12211riCCCCCCttkikiktkitkkikkitkitkkikkikki 其中其中.!)1()1()!( !jjkkkjkjkCjk 得得到到利利用用极极限限),0, 10(0lim rcckkrk. 10lim jkjkkC. 1)(), 2 , 1( 10lim BriJikik 即即所所以以上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 定理定理4(迭代法基本定理迭代法基本定理) 设有方程组设有方程组 x=Bx+f. (3.4) 及一阶定

32、常迭代法及一阶定常迭代法 x(k+1)=Bx(k)+f. (3.5) 对任意选择初始向量对任意选择初始向量x(0)，迭代法，迭代法(3.5)收敛的充要条收敛的充要条件是矩阵件是矩阵B的谱半径的谱半径 (B)1.证明证明 充分性充分性. 设设 (B)1，易知，易知Ax=f(其中其中A=I- -B)有唯一解，记为有唯一解，记为x*，则，则 x*=Bx*+f.误差向量误差向量.,)0()0()0()()( xxBxxkkk 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页由设由设 (B)1，应用定理，应用定理3，有，有 . 于是对任意于是对任意x(0)有有 ，即，即 .0lim kkB0lim kk

33、 xxkk)(lim其中其中x(k+1)=Bx(k)+f . 显然，极限显然，极限x*是方程组是方程组(3.4)的解，的解，且对任意且对任意x(0)有有必要性必要性. 设对任何设对任何x(0)有有0lim kkB).(0)0()()( kBxxkkk ,lim)( xxkk由定理由定理2知知再由定理再由定理3，即得，即得 (B)1.定理定理4是一阶定常迭代法的基本理论是一阶定常迭代法的基本理论.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 定理定理3和定理和定理4的结论和起来即为的结论和起来即为 (1) 迭代法迭代法x(k+1)=Bx(k)+f 收敛收敛limBk=O； (2) 迭代法迭代

34、法x(k+1)=Bx(k)+f 收敛收敛 (B)1. 推论推论 设设Ax=b，其中，其中A=D- -L- -U为非奇异矩阵且为非奇异矩阵且D非奇异矩阵，则有非奇异矩阵，则有 (1) Jacobi迭代法迭代法收敛收敛 (BJ)1, 其中其中BJ =D- -1(L+U). . (2) G- -S迭代法迭代法收敛收敛 (BG)1, 其中其中BG =(D- -L)- -1U. . (3) SOR迭代法迭代法收敛收敛 (L)1, 其中其中L=(D- -L)- -1(1- -)D+U. . 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 例例5 考察用考察用Jacobi方法解方程组方法解方程组(1.2)

35、的收敛性的收敛性. 解解 因为方程组因为方程组(1.2)的矩阵的矩阵A及迭代矩阵及迭代矩阵J为为解得解得, 0039772727. 0034090909. 0)det(317638833 JI,3445. 01841. 0,3445. 01841. 0,3082. 0321ii . 13592. 0, 13082. 0321 即即 (J)1. ,62, 1 这说明用迭代法解此方程组这说明用迭代法解此方程组不收敛不收敛. 迭代法的基本定理在理论上是重要的，根据谱迭代法的基本定理在理论上是重要的，根据谱半径的性质半径的性质 (B)|B|，下面利用矩阵，下面利用矩阵B的范数建立的范数建立判别迭代法收

36、敛的充分条件判别迭代法收敛的充分条件.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 定理定理5(迭代法收敛的充分条件迭代法收敛的充分条件) 设有方程组设有方程组 x=Bx+f， B=(bij)Rnn，及一阶定常迭代法及一阶定常迭代法 x(k+1)=Bx(k)+f. 如果有如果有B的某种算子范数的某种算子范数|B|=q1 ，则，则 (1) 迭代法收敛，即对任取迭代法收敛，即对任取x(0)有有.,lim)(fBxxxxkk 且且.)2()0()(xxqxxkk .1)3()1()()( kkkxxqqxx.1)4()0()1()(xxqqxxkk 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下

37、页证明证明 (1)由基本定理由基本定理4结论结论(1)是显然的是显然的.(2) 显然有关系式显然有关系式x*- -x(k+1)=B(x*- -x(k) 及及x(k+1) x(k)=B(x(k) x(k- -1).于是有于是有 (a) |x(k+1) x(k)|q|x(k) x(k- -1)|; (b) |x*- -x(k+1)|q|x*- -x(k)|.反复利用反复利用(b)即得即得(2). (3) 考查考查 |x(k+1) x(k)|=|x*x(k)(x*x(k+1)| |x*x(k)| x*x(k+1)| (1q)|x*x(k)|,上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页.111)

38、1()()()1()( kkkkkxxqqxxqxx即得即得 (4) 利用利用(3)的结果反复利用的结果反复利用(a)，则得到，则得到(4). 即即 .11)0()1()1()()(xxqqxxqqxxkkkk 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页6.3.2 关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性 在科学及工程计算中，要求解方程组在科学及工程计算中，要求解方程组Ax=b，其，其矩阵矩阵A常常具有某些特性常常具有某些特性. 例如，例如，A具有对角占优性具有对角占优性质或质或A为不可约阵，或为不可约阵，或A是对称正定阵，下面讨论用是对称正定阵，下面讨论用基

39、本迭代法解这些方程组的收敛性基本迭代法解这些方程组的收敛性.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 定义定义3(对角占优阵对角占优阵) 设设A=(aij)nn . (1) 如果如果A的元素满足的元素满足)., 2 , 1(1niaanijjijii 称称A为为严格严格(按行按行)对角占优阵对角占优阵. (2) 如果如果A的元素满足的元素满足)., 2 , 1(1niaanijjijii 且上式至少有一个不等式成立，称且上式至少有一个不等式成立，称A为为弱弱(按行按行)对角对角占优阵占优阵.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 定义定义4(可约与不可约矩阵可约与不可约矩阵)

40、 设设A=(aij)nn (n2)，如果存在置换阵如果存在置换阵P使使)6 . 3(,0221211 AAAAPPT其中其中A11为为r阶方阵，阶方阵，A22为为n- -r阶方阵阶方阵(1rn)，则称，则称A为为可约矩阵可约矩阵. 否则，如果不存在这样置换阵否则，如果不存在这样置换阵P使使(3.6)式成立，则称式成立，则称A为为不可约矩阵不可约矩阵. A为可约矩阵意即为可约矩阵意即A可经过若干行列重排化为可经过若干行列重排化为(3.6)或或Ax=b可化为两个低阶方程组求解可化为两个低阶方程组求解(如果如果A经过两行经过两行交换的同时进行相应两列的交换，称对交换的同时进行相应两列的交换，称对A进

41、行一次行进行一次行列重排列重排).上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 事实上，由事实上，由Ax=b可化为可化为PTAP(PTx)=PTb. 于是，求解于是，求解Ax=b化为求解化为求解且记且记 ,其中其中yi, di为为r维向量维向量. 2121,ddbPdyyxPyTT .,22221212111dyAdyAyA由上式第由上式第2个方程组求出个方程组求出y2,再代入第再代入第1个方程组求出个方程组求出y1. 显然，如果显然，如果A所有元素都非零，则所有元素都非零，则A为不可约阵为不可约阵.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 例例7 设有矩阵设有矩阵),(.4110

42、140110410114,11122211都都不不为为零零iiinnnnncbaBbacbacbacbA 则则A, B都是不可约矩阵都是不可约矩阵.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 定理定理6(对角占优定理对角占优定理) 如果如果A=(aij)nn为为严格对严格对角占优矩阵角占优矩阵或或A为为不可约弱对角占优矩阵不可约弱对角占优矩阵，则，则A为非为非奇异矩阵奇异矩阵. 证明证明 只就只就A为为严格对角占优矩阵严格对角占优矩阵证明此定理证明此定理. 采用反证法，如果采用反证法，如果det(A)=0，则，则Ax=b有非零解，记有非零解，记为为x=(x1, x2,xn)T，则，则 .

43、0max1 inxkxx 由齐次方程组第由齐次方程组第k个方程个方程, 01 njjijxa则有则有,|111 nkjjkjknkjjjkjnkjjjkjkkkaxxaxaxa即即,1 nkjjkjkkaa这与假设矛盾，故这与假设矛盾，故det(A)0.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 定理定理7 设方程组设方程组Ax=b，如果，如果(1) A为为严格对角占优阵，则解严格对角占优阵，则解Ax=b的的Jacobi迭迭代法代法, Gauss- -Seidel 迭代法迭代法均收敛均收敛.(2) A为弱对角为弱对角占优阵，且占优阵，且A为不可约矩阵为不可约矩阵, 则则解解Ax=b的的J

44、acobi迭代法迭代法, Gauss- -Seidel 迭代法迭代法均收敛均收敛. 证明证明 只证只证(1)，(2)作为练习作为练习.因为因为A是严格对角占优阵，所以是严格对角占优阵，所以aii0(i=1,n).)(1ULDJ 0002122222211111112nnnnnnnnaaaaaaaaaaaa则则|J| 1，所以，所以 Jacobi 迭代法迭代法收敛收敛.Jacobi迭代阵迭代阵上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页)(det)det(1ULDIGI . 0)(det)det(1 ULDLD )(. 0)(det ULD 下面证明下面证明GaussSeidel 迭代法迭代

45、法收敛收敛.由由G=(D- -L)- -1U，得，得下面证明下面证明| |1. 若不然若不然, 即即| | 1, 则则. ), 2 , 1(|111 ijnijijijijijiiniaaaa 由于由于. 0)det(1 LD所以所以上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页即矩阵即矩阵 ULD)( 是严格对角占优矩阵，故可逆，这与是严格对角占优矩阵，故可逆，这与(*) 式矛盾，所式矛盾，所以以| |1, 从而从而 (G)0.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页).(),(),(),(ibayLyLyyyyLT 所以所以| |1, 从而从而 (G)1, 故故Gauss- -S

46、eidel迭代法迭代法收敛收敛.1)(|22222 baba 令令 - -(Ly, y)=a+ib，则由复向量内积的性质有，则由复向量内积的性质有.)(),(),(),(ibaibayLyyDyyyLT 下面研究对于解方程组下面研究对于解方程组Ax=b的的SOR方法方法中松弛中松弛因子因子在什么范围内取值，在什么范围内取值，SOR方法方法才可能收敛才可能收敛.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页定理定理8(SOR方法收敛的必要条件方法收敛的必要条件) 设解设解方程组方程组 Ax=b的的SOR迭代法迭代法收敛，则收敛，则0 2. 1)1 ()1 ()()1det()det()det(

47、1111 nniiiniiiaaUDLDL 证证 A=D- -L- -U，L =(D- - L)- -1(1- - )D + U, 由于由于SOR迭代法迭代法收敛，则收敛，则 (L )1. 设迭代矩阵设迭代矩阵L 的特征值的特征值为为 i (i=1,n)，则有，则有det(L )| 1 2 n| (B )n1.于是于是所以所以|1- - | |1 1，即，即 0 2.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页定理定理8说明解说明解Ax=b的的SOR迭代法迭代法，只有在，只有在(0, 2)范范围内取松弛因子围内取松弛因子 ，才可能收敛，才可能收敛.定理定理9(SOR方法收敛的充分条件方法收

48、敛的充分条件) 设有设有方程组方程组 Ax=b，如果：，如果：(1) A为对称为对称正定矩阵正定矩阵，A=D- -L- -LT;(2) 0 2.则解则解方程组方程组 Ax=b的的SOR迭代法迭代法收敛收敛.证证 在上述假定下，设迭代矩阵在上述假定下，设迭代矩阵L 的任一特征值的任一特征值为为 ，只要证明，只要证明| |0. 令令 - -(Ly, y)=a+ib，则由复向量内积的性质有，则由复向量内积的性质有).(),(),(),(ibayLyLyyyyLT 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页,2),)(),(0ayyLLDyAyT 因为因为.)()(biabia ,),(),()

49、,(),(),(yLyyDyyyLyDyyDyT .)()(2222222baba 当当0 2时，有时，有(分子减分母分子减分母). 0) 2)(2()()(22 aaa即即L 的任一特征值满足的任一特征值满足| |1, 故故SOR迭代法迭代法收敛收敛.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页由定理由定理3证明中可知，如果证明中可知，如果 (B)1且且 (B)越小时，越小时，迭代法收敛越快迭代法收敛越快. 现设有方程组现设有方程组下面讨论迭代法的收敛速度下面讨论迭代法的收敛速度. x=Bx+f， B=(bij)Rnn，及一阶定常迭代法及一阶定常迭代法 x(k+1)=Bx(k)+f (k=0,1,)， 由基本定理有由基本定理有0 (B)1，且误差向量，且误差向量(k)=x(k)- -x*满足满足且设且设迭代法迭代法收敛，即对任取收敛，即对任取x(0)，记，记.,lim)(fBxxxxkk 则则(k)=Bk(0)，上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页故故.)0()( kkB 现设现设B为对称矩阵，则有为对称矩阵，则有.)(2)0(2)0(22)( kkkBB 下面确定使初始误差缩小下面确定使初始误差缩小10-s所需的迭代次数所需的迭代次数, 即使即使.10)(skB 取对数，得到所需最少迭代次数为取对数，得到所需最少迭代次数为.)(ln10lnBsk 此