数列知识点总结.

1、数列知识点总结1. 等差数列的定义与性质定义： an 1 and ( d 为常数 )， ana1n1 d等差中项： x， A， y 成等差数列2 Axya1an nn n1d前 n 项和 Snna122性质：an 是等差数列(1)若 mnpq ，则amanapaq；(2) 数列a2n 1 , a2n, a2n 1仍为等差数列，Sn， S2 nSn， S3nS2 n仍为等差数列，公差为 n 2d ；(3)若三个成等差数列，可设为 a d， a， a d(4)若 an， bn 是等差数列，且前 n 项和分别为 Sn， Tn，则 amS2 m 1bmT2 m 1(5) an 为等差数列Sn an2

2、bn ( a， b 为常数，是关于 n 的常数项为 0 的二次函数)。的最值可求二次函数Sn2bn的最值；或者求出an中的正、负分界项， 即：Snan(当 a10，dan0可得 Sn 达到最大值时的 n 值;当 a10，d0 ，由0 ，解不等式组10anan0可得 Sn 达到最小值时的 n 值 . )an 10(6)项数为偶数 2n 的等差数列 an，有S2n n(a1 a2 n ) n(a2a2 n1 )n(anan 1 )( an , an 1为中间两项 )S偶S奇nd ， S奇an .S偶 an 1(7)项数为奇数 2n1 的等差数列an ， 有S2n 1(2n1)an (an 为中间项

3、 ) ，S奇S偶an ， S奇n.S偶n12. 等比数列的定义与性质定义： an 1q ( q 为常数， q0 )， ana1q n 1an.等比中项： x G y 成等比数列G2xy ，或 Gxy .na1 (q 1)前 n 项和： Sna1 1qn1)1(qq性质：an 是等比数列(1)若 m np q ，则 a ·aa ·amnpq(2) Sn，S2 n Sn， S3 n S2n 仍为等比数列 ,公比为 q n . 3求数列通项公式的常用方法 由 Sn 求 an 。(anSnSn1 , n2)S1 ,n1例 1：数列 an ， 1 a11a21an2n 5 ，求 an

4、2222n解 n 1时， 1 a12 1 5 ， a1142n 2 时， 1 a112 a21n an2n 52221 a112 a21n 1 an 12n 1 5222得： 12 ， an2n 1， an14(n1)2n 1 ( n 2)2n an练习数列an 满足 SnSn15 an 1 a14 ，求 an3注意到 an 1Sn 1Sn ，代入上式整理得 Sn 14，又 S14 ， Sn 是等比数列，Sn故 Sn 4n 。 n2 时， anSnSn 13·4n 1 故an3 4n 1 , n 24,n1 由递推公式求an(1)累加法 ( an 1anf (n)形式 )例 2：数列

5、 an中， a11，an3n 1an 1n 2，求 ananan 13n 1解： nan1an23n 2累加得 ana1332n 13(3n 11)232a2a13an 1 (3n1)2(2)累乘法 ( an 1f (n)形式 )an例 3：数列 an中， a1an 1n，求 an3nan1解： a2·a3an1·2n 1 ， an1 又 a13 ， an3a1 a2an 12 3na1nn .(3)构造新数列 (构造的新数列必为等比数列或等差数列 )取倒构造 ( an 1 等于关于 an 的分式表达 )例 4： a1 1 an 12an ，求 anan2解：由已知得：1a

6、n 211， 111an 12an2 anan 1an21为等差数列， 11，公差为 1 ， 11n1·11n 1 ，ana12an22an2n 1 同除构造例 5： a1 1, an 13an3n ,求an 。解：对上式两边同除以 3n1 ，得 an 1an1 ，则 an为等差数列， a11 ，3n 13n33n33公差为1，an1(n 1)1 n， ann 3nn 3n 1。33n33 33例 6： a1, an 12an3n 1 ，求 an 。1解 ： 对 上 式 两 边同 除 以 2 n 1 ， 得 an 1an( 3 )n 1 ， 令 bnan， 则 有2 n12n22n3

7、n 1( 3)21 ( 3) n 13 (1 ) n9 ，又 b1a1bn 1bn，累加法可得 bn b12221 , 则24282213bn3 ( 1) n5 ，即 an3 ( 1 )n5 , an52n3 。4 282 n4 2884例 7： a11, anan 12an an 10, 求an 。解：对上式两边同除以 anan1，得 1120，即 112 ，则1an 1 ananan 1an为等差数列， 11，公差为 2， 112(n1)2n1， an1。a1an2n 1取对构造 ( 涉及 an 的平方 )例 8：a13,an 13 2,求an.an解：对上式两边取对数，得 lg alg

8、3a 2 ，由对数运算性质得 lg an 1 2 lg anlg 3n 1n两边同时加 lg 3 ，整理得 lg an 1 lg 32(lg an lg 3),即 lg 3an 1 2 lg an , 则 lg 3an 为公比为 2 的等比数列，由此推知 an 通项公式。等比型 ( 常用待定系数 )例 9： a11, an 13an 2, 求an 。解：待定系数法设上式可化为如下形式： an 1k 3(an k) ，整理可知 2k2 ，则 k 1 ，原式可化为 an 11 3(an1) ，则 an1 为公比 =3 的等比数列，由此推知 an 通项公式。例 10： a12, an 14an3n

9、1，求 an 。解：待定系数法设上式可化为如下形式：an 1(n1)b4(ankn) ，整理kb3k3，得k1,b0，原式可化为( 1)4() ，则 a n可知3bk1an 1nannn为公比 =4 的等比数列，由此推知an 通项公式。提公因式例 11： a11, an 1 an 12an , 求an 。解：上式变形为 an 1ananan1，等号左边提公因式得 anan 11anan11an111，1an 1 1, 两边取倒数得an 11 an,1 an 1an1an1 an 1为 1 的等差数列，由此推知an 通项公式。例 12： a12, a23,2an 13anan 1 (当n2) ，

10、求 an 。解：上式变形为2an 12ananan 1 ,2 an1ananan 1 ，令 bnan1bn 1 bn 1 ， b 为首项 b1, 公比为 1 的等比数列， bn11，a1an2n12n2n由累加法可求得 an 通项公式。4. 求数列前 n 项和的常用方法(1) 分组求和 ( 分组后用公式 )例 13：求和 1 12 13 1n 1。2482n解：原式 =112131n1(1 2 3n) ( 1112482n24811=n(n1)2(12n )11n( n1)2112n22(2)裂项相消 (把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项常用：111 ；11(11 ) ；

11、1n 1n(n 1) nn 1 n( n 2) 2nn 2nn 11，为公差an ，则n 11；21 )2n. )n 。(3)错位相减 (通项可表示为等差乘等比的形式 )例14：S12x3x24x3nxn 1求 Sn。n解： Sn12x3x24x3nxn 1x· Snx 2x23x34x4n 1 xn 1nxn1x Sn1xx2xn 1nxn1xnnn n 1x 1时， Snx ， x 1 时， Sn21 2 3nn1x1x2练习 求数列nnnSn 。(答案： Sn2n2n2 )2(4)倒序相加 ( 前后项之和为定值。把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. )Sna1a2an 1an 相加 2Sn a1 ana2 an 1a1 anSnanan 1a2a15. 求数列绝对值的前 n 项和 ( 根据项的正负，分类讨论 )例 15：已知数列 an的通项 an 112n ， bnan，求 bn